工程数学线性代数(同济大学第六版)课后习题答案课件

工程数学线性代数(同济大学第六版)课后习题答案课件绪论与基本概念行列式及其性质矩阵的运算与性质向量组的线性相关性线性方程组解的结构与性质特征值与特征向量二次型及其标准形contents目录绪论与基本概念01CATALOGUE向量空间研究向量及其线性组合性质的空间。线性变换保持向量加法与数乘运算封闭性的变换。矩阵理论以矩阵为研究工具，探讨线性方程组、向量空间及线性变换的理论。线性代数的研究对象030201矩阵的定义与性质由数值组成的矩形阵列，具有相应的加法、数乘及乘法运算规则。向量的定义与性质具有大小和方向的量，可用矩阵表示，满足向量加法和数乘运算规则。特殊矩阵与向量如零矩阵、单位矩阵、对角矩阵、对称矩阵等，以及零向量、单位向量等。矩阵与向量的基本概念123用矩阵表示线性方程组，简化表达形式。线性方程组的表示探讨解的存在性、唯一性及解的表示方法。线性方程组的解的性质通过矩阵的秩判断线性方程组的解的情况。矩阵的秩与线性方程组的关系线性方程组与矩阵表示习题一答案解析习题二答案解析习题三答案解析习题四答案解析课后习题答案解析详细解析第一章课后习题一的解题思路与步骤。详细解析第一章课后习题三的解题思路与步骤。详细解析第一章课后习题二的解题思路与步骤。详细解析第一章课后习题四的解题思路与步骤。行列式及其性质02CATALOGUE行列式的定义与性质行列式的定义由n个数按一定规则排成的n行n列的数表称为n阶行列式。行列式的性质行列式具有线性性、交换性、结合性、对行和列的可分性等基本性质。行列式的计算方法主要包括降阶法、拆项法、升阶法、范德蒙德行列式等。特殊行列式的计算对于某些具有特殊结构的行列式，如箭型行列式、两条线型行列式等，可以采用特定的方法进行计算。行列式的计算Cramer法则是利用行列式解决线性方程组的一种方法，通过计算系数行列式和常数项行列式，可以得到方程组的解。Cramer法则行列式在矩阵运算、向量空间、特征值等问题中有着广泛的应用，是解决这些问题的重要工具之一。行列式的应用Cramer法则与行列式应用VS本书提供了详细的课后习题答案，方便读者进行自我检查和巩固所学知识。答案解析针对部分难度较大的习题，本书还提供了详细的答案解析，帮助读者深入理解解题思路和方法。习题答案课后习题答案解析矩阵的运算与性质03CATALOGUE矩阵的加法两个矩阵只有当它们是同型矩阵时才能进行加法运算，即它们具有相同的行数和列数。加法运算是将对应位置的元素相加。矩阵的数乘数乘运算是指一个数与矩阵相乘，具体操作是将该数与矩阵中的每一个元素相乘。矩阵的乘法两个矩阵相乘，要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。乘法运算的过程是，将第一个矩阵的每一行与第二个矩阵的每一列对应相乘后相加，得到的结果矩阵中的元素就是这些乘积的和。矩阵的加法、数乘与乘法矩阵的转置把矩阵A的行和列互相交换所产生的矩阵称为A的转置矩阵，记为AT。要点一要点二逆矩阵对于n阶方阵A，如果有一个n阶方阵B，使得AB=BA=I（I为单位矩阵），则称A是可逆的，B是A的逆矩阵，记为A^(-1)。矩阵的转置与逆矩阵矩阵的分块与初等变换将一个矩阵用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为原矩阵的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。矩阵的分块初等变换包括三种，分别是对调两行（列）、以数k≠0乘某一行（列）中的所有元素、把某一行（列）所有元素的k倍加到另一行（列）对应的元素上去。初等变换课后习题答案解析由于篇幅原因，这里无法给出所有课后习题的答案解析。但是，可以通过参考教材、教辅或者在线资源来获取详细的答案解析和解题思路。同时，也鼓励同学们在学习过程中多思考、多总结，形成自己的解题方法和技巧。向量组的线性相关性04CATALOGUE给定向量组$A:alpha_1,alpha_2,ldots,alpha_s$，对于任意一组实数$k_1,k_2,ldots,k_s$，称向量$beta=k_1alpha_1+k_2alpha_2+ldots+k_salpha_s$为向量组$A$的一个线性组合。若向量$beta$可以表示为向量组$A:alpha_1,alpha_2,ldots,alpha_s$的一个线性组合，即存在一组实数$k_1,k_2,ldots,k_s$使得$beta=k_1alpha_1+k_2alpha_2+ldots+k_salpha_s$，则称向量$beta$可由向量组$A$线性表示。向量组的线性组合向量组的线性表示向量组的线性组合与线性表示向量组的线性相关若存在不全为零的实数$k_1,k_2,ldots,k_s$，使得$k_1alpha_1+k_2alpha_2+ldots+k_salpha_s=0$，则称向量组$A:alpha_1,alpha_2,ldots,alpha_s$线性相关。向量组的线性无关若只有当$k_1=k_2=ldots=k_s=0$时，才有$k_1alpha_1+k_2alpha_2+ldots+k_salpha_s=0$，则称向量组$A:alpha_1,alpha_2,ldots,alpha_s$线性无关。向量组的线性相关与线性无关极大无关组：若向量组$A$的部分组$A_0:alpha_{i1},alpha_{i2},ldots,alpha_{ir}$满足$A_0$线性无关；称向量组$A_0$是向量组$A$的一个极大无关组。若向量组$A$中任意添加一个向量$alpha_j$（$jnotin{i1,i2,ldots,ir}$），则新向量组线性相关。向量组的秩：向量组的秩是指向量组中极大无关组所含向量的个数。记作$r(A)$。向量组的秩与极大无关组课后习题答案解析线性方程组解的结构与性质05CATALOGUE齐次线性方程组解的性质与结构齐次线性方程组一定有解，至少有一个零解。如果齐次线性方程组的系数矩阵的秩等于未知数的个数，则它只有零解。如果齐次线性方程组的系数矩阵的秩小于未知数的个数，则它有非零解，且解空间的维数等于未知数的个数减去系数矩阵的秩。非齐次线性方程组解的性质与结构01非齐次线性方程组有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩。02如果非齐次线性方程组的系数矩阵的秩等于未知数的个数，且常数项向量可由系数矩阵的列向量线性表示，则它有唯一解。03如果非齐次线性方程组的系数矩阵的秩小于未知数的个数，且常数项向量可由系数矩阵的列向量线性表示，则它有无穷多解。04如果非齐次线性方程组的系数矩阵的秩小于未知数的个数，且常数项向量不能由系数矩阵的列向量线性表示，则它无解。求解线性方程组是工程数学中的基本问题之一，它在许多领域都有广泛的应用，如电路分析、信号处理、图像处理、最优化问题等。在电路分析中，通过列写电路方程可以求解电路中的电流和电压。这些方程通常是线性方程组，可以通过高斯消元法、克拉默法则等方法求解。在信号处理和图像处理中，经常需要解决线性方程组问题。例如，在图像恢复中，可以通过求解一个包含噪声和模糊效应的线性方程组来恢复原始图像。线性方程组的应用举例课后习题答案解析课后习题是巩固和加深对所学内容理解的重要途径。通过解析课后习题答案，可以帮助学生检查自己的学习效果和发现存在的问题。在解析课后习题答案时，应注意解题思路和方法的正确性、规范性和简洁性。同时，还应关注解题过程中可能出现的错误和疏漏，以便及时纠正和改进。特征值与特征向量06CATALOGUE特征向量的计算求解特征多项式|λE-A|=0，得到特征值λ，将λ代入方程组(λE-A)X=0，求解得到特征向量X。特征值的性质n阶方阵A有n个特征值（包括重根），不同特征值对应的特征向量线性无关。特征值设A是n阶方阵，如果存在数λ和非零n维列向量x，使得Ax=λx成立，则称λ是A的特征值，x是A的对应于特征值λ的特征向量。特征值与特征向量的概念及计算相似矩阵设A、B都是n阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使得P^(-1)AP=B，则称B是A的相似矩阵，或说A和B相似。矩阵对角化的条件n阶矩阵A可对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。相似对角化的步骤求出A的特征值和特征向量，构造可逆矩阵P，使得P^(-1)AP为对角矩阵。相似矩阵及矩阵对角化的条件实对称矩阵的对角化及正交变换实对称矩阵的特征值都是实数，不同特征值对应的特征向量正交。实对称矩阵的对角化对于实对称矩阵A，必存在正交矩阵Q，使得Q^TAQ为对角矩阵。正交变换在实对称矩阵对角化的过程中，通过施密特正交化方法将线性无关的特征向量正交化，得到正交矩阵Q，该过程称为正交变换。实对称矩阵的性质解析方法根据特征值与特征向量的定义及性质，结合相似矩阵、矩阵对角化及实对称矩阵的相关知识点进行解析。注意事项在求解过程中要注意特征值和特征向量的对应关系，以及相似矩阵和正交变换的特殊性质。同时，对于复杂的题目可以尝试使用数学归纳法等方法进行证明。课后习题答案解析二次型及其标准形07CATALOGUE二次型是指n个变量的二次多项式，其一般形式为$f(x_1,x_2,...,x_n)=a_{11}x_1^2+a_{22}x_2^2+...+a_{nn}x_n^2+2a_{12}x_1x_2+...+2a_{n-1,n}x_{n-1}x_n$。只含有平方项的二次型称为二次型的标准形，即$f(x_1,x_2,...,x_n)=lambda_1y_1^2+lambda_2y_2^2+...+lambda_ny_n^2$，其中$lambda_i$为二次型的特征值。通过正交变换或配方的方法，可以将二次型化为标准形。正交变换保持向量的长度和夹角不变，因此可以通过求解二次型的特征值和特征向量，得到正交变换矩阵，从而将二次型化为标准形。配方的方法则是通过完成平方的方式，逐步消去交叉项，得到标准形。二次型的定义标准形的定义求标准形的方法二次型的概念及标准形的求法正定二次型的定义：对于任意非零向量$X$，都有$f(X)>0$，则称二次型$f(X)$为正定二次型。正定矩阵的定义：对于任意非零向量$X$，都有$X^TAX>0$，则称矩阵$A$为正定矩阵。其中$A$为二次型矩阵。判定方法：判定正定二次型或正定矩阵的方法有多种，如顺序主子式法、特征值法、定义法等。其中，顺序主子式法是指按照矩阵的主对角线顺序取子式，若所有顺序主子式都大于零，则矩阵为正定矩阵；特征值法是指求解矩阵的特征值，若所有特征值都大于零，则矩阵为正定矩阵；定义法则是直接根据正定二次型或正定矩阵的定义进行判定。正定二次型与正定矩阵的判定几何应用二次型可以描述平面或空间中的二次曲线或二次曲面，如圆、椭圆、双曲线、抛物线等。通过求解二次型的标准形和特征值，可以得到这些曲线的形状、大小和方向等信息。优化问题在多元函数的极值问题中，经常需要求解二次型的最大值或最小值。通过求解二次型的标准形和特征值，可以得到函数的最优解以及对应的极值。工程应用在结构力学、振动分析等领域中，经常需要用到二次型和正定矩阵的概念。例如，在结构力学中，可以通过求解结构的刚度矩阵和质量矩阵的特征值和特征向量，得到结构的固有频率和振型等信息。二次型的应用举例010203习题一解析本题要求求解一个二次型的标准形和特征值。首先写出二次型的矩阵形式，然后求解特征值和特征