中考数学专题练-7四边形

中考数学专题练——7四边形一．选择题（共8小题）1．（2022•秦淮区二模）如图，已知菱形ABCD与菱形AEFG全等，菱形AEFG可以看作是菱形ABCD经过怎样的图形变化得到？下列结论：①经过1次平移和1次旋转；②经过1次平移和1次翻折；③经过1次旋转，且平面内可以作为旋转中心的点共有3个．其中所有正确结论的序号是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③2．（2022•秦淮区一模）如图，P是正方形ABCD的边AD上一点，连接PB，PC，则tan∠BPC的值可能是（）A．0.9 B．1.2 C．1.5 D．1.83．（2022•鼓楼区一模）要判断一个四边形的窗框是否为矩形，可行的测量方案是（）A．测量两组对边是否相等 B．测量对角线是否相等 C．测量对角线是否互相平分 D．测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等4．（2022•南京一模）已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（）A．∠D＝90° B．AB＝CD C．AC＝BD D．BC＝CD5．（2022•雨花台区校级模拟）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件中，不能判断这个平行四边形是菱形的是（）A．AB＝AD B．∠BAC＝∠DAC C．∠BAC＝∠ABD D．AC⊥BD6．（2021•秦淮区二模）百度百科这样定义凹四边形：把四边形的某边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形．关于凹四边形ABCD（如图），以下结论：①∠BCD＝∠A+∠B+∠D；②若AB＝AD，BC＝CD，则AC⊥BD；③若∠BCD＝2∠A，则BC＝CD；④存在凹四边形ABCD，有AB＝CD，AD＝BC．其中所有正确结论的序号是（）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④7．（2021•鼓楼区二模）如图，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，连接DE，若CD＝3，DE＝5，则AD的长是（）A．6 B．7 C．8 D．108．（2021•鼓楼区二模）如果一个正多边形的每一个外角都是36°，那么这个多边形的边数是（）A．10 B．11 C．12 D．13二．填空题（共10小题）9．（2022•鼓楼区校级二模）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BA，BC的中点．若BD＝2，则EF的长是．10．（2022•鼓楼区校级二模）如图，在▱ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分线分别交AD于点E，F．若AB＝a，CF＝b，则BE的长为．（用含a，b的代数式表示）11．（2022•玄武区二模）如图，菱形ABCD和正五边形AEFGH，F，G分别在BC，CD上，则∠1﹣∠2＝°．12．（2022•南京二模）在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点坐标为A（1，5），B（﹣1，1），C（3，2），则点D的坐标是13．（2022•鼓楼区二模）如图，正六边形ABCDEF与平行四边形GHMN的位置如图所示，若∠ABG＝19°，则∠NMD的度数是°．14．（2022•鼓楼区一模）如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，E是CD的中点，连接OE．若OE＝5，BD＝12，则AC＝．15．（2022•南京一模）如图Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝4，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为．16．（2022•秦淮区校级模拟）如图，在平行四边形ABCD与正方形AEFG中，点E在BC上．若∠BAE＝38°，∠CEF＝13°，则∠C＝°．17．（2021•建邺区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，菱形DEFG顶点D、E在边AB上，F、G分别在边BC、AC上，则DE的取值范围是．18．（2021•建邺区二模）如图，直线l将正九边形ABCDEFGHI分为两个区域，且分别与AB、FG相交于P点、Q点．若∠APQ＝85°，则∠PQF＝°．三．解答题（共9小题）19．（2022•南京二模）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，对角线AC、BD交于点O，过点B作BE∥CD交AC于点E，连接DE．（1）求证：四边形BCDE为菱形；（2）若AB＝5，E为AC的中点，当BC的长为时，四边形BCDE为正方形．20．（2022•秦淮区二模）如图，DE是△ABC的中位线，延长DE至点F，使EF＝DE，连接AF，CF，AD．（1）求证：四边形ABDF是平行四边形；（2）要使四边形ADCF是菱形，△ABC的边需要满足的条件是．21．（2022•玄武区二模）如图，在平行四边形ABCD中，E是AD的中点，连接CE并延长，与BA的延长线交于点F．（1）求证EF＝EC；（2）连接AC，DF，若AC平分∠FCB，求证：四边形ACDF为矩形．22．（2022•南京一模）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且AE＝CF．直线EF分别交BA，DC的延长线于点G，H．（1）求证：四边形BHDG是平行四边形；（2）若AB＝4，BC＝8，当AE的长为时，四边形BHDG是菱形．23．（2022•建邺区一模）如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD＝5，BC＝CD＝53，∠B＝90°．点M在边AD上，AM＝2，点N是边BC上一动点．以MN为斜边作Rt△MNP，若点P在四边形ABCD的边上，则称点P是线段MN的“勾股点”．（1）如图①，线段MN的中点O到BC的距离是．A．3B．5C．3D．23（2）如图②，当AP＝2时，求BN的长度．（3）是否存在点N，使线段MN恰好有两个“勾股点”？若存在，请直接写出BN的长度或取值范围；若不存在，请说明理由．24．（2022•建邺区一模）如图，在菱形ABCD中，E、F分别是BC、DC的中点．（1）求证：∠AEF＝∠AFE；（2）若菱形ABCD的面积为8，则△AEF的面积为．25．（2022•秦淮区一模）如图，在四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，连接AE，AF，已知△ABE≌△ADF．（1）若AD∥BC，求证：四边形ABCD是菱形；（2）以下条件：①∠BAD＝∠BCD；②AB＝CD；③BC＝CD．如果用其中的一个替换（1）中的“AD∥BC”，也可以证明四边形ABCD是菱形，那么可以选择的条件是（填写满足要求的所有条件的序号）．26．（2022•南京一模）如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，AF与DE相交于点G，CE与BF相交于点H．（1）证明：四边形EHFG是平行四边形；（2）当▱ABCD具备怎样的条件时，四边形EHFG是菱形？请直接写出条件，无需说明理由．27．（2022•玄武区一模）在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接BF，DE，M，N分别是BF，DE的中点，连接EM，FN．（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；（2）若AB＝12，EM＝EN＝5，则四边形ABCD的面积为．

中考数学专题练——7四边形参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2022•秦淮区二模）如图，已知菱形ABCD与菱形AEFG全等，菱形AEFG可以看作是菱形ABCD经过怎样的图形变化得到？下列结论：①经过1次平移和1次旋转；②经过1次平移和1次翻折；③经过1次旋转，且平面内可以作为旋转中心的点共有3个．其中所有正确结论的序号是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【解答】解：①如图1，先将菱形ABCD向右平移，再绕着点E顺时针旋转得到菱形AEFG，故①正确；②如图2，将菱形ABCD先平移，再沿直线l翻折可得菱形AEFG，故②正确；③如图3，经过1次旋转，且平面内可以作为旋转中心的点有A和G，共有2个，故③不正确；故选：A．2．（2022•秦淮区一模）如图，P是正方形ABCD的边AD上一点，连接PB，PC，则tan∠BPC的值可能是（）A．0.9 B．1.2 C．1.5 D．1.8【解答】解：点P在正方形边AD上运动，当P与点A或点D重合时，∠BPC最小，此时tan∠BPC的值也最小，此时tan∠BPC＝tan45°＝1；当P运动到AD中点时，∠BPC最大，此时tan∠BPC的值也最大，如图，取AD中点P′，连接BP′，CP′，过点B作BE⊥CP′于点E，设正方形的边长为1，则AP′＝DP′=1∴BP′=A同理CP′=C∵BE⊥CP′，∴∠BEC＝∠CDP′＝90°，∵∠BCE+∠DCP′＝DCP′+∠CP′D＝90°，∴∠BCE＝∠CP′D，∴△BCE∽△CP′D，∴BCCP'∴15∴BE=255，∴P′E＝CP′﹣CE=5∴tan∠BP′C=BE∴1≤tan∠BPC≤4∴tan∠BPC的值可能是1.2，故选B．3．（2022•鼓楼区一模）要判断一个四边形的窗框是否为矩形，可行的测量方案是（）A．测量两组对边是否相等 B．测量对角线是否相等 C．测量对角线是否互相平分 D．测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等【解答】解：A、测量两组对边是否相等，可以判定为平行四边形，故选项A不符合题意；B、测量对角线是否相等，不能判定为平行四边形，更不能判定为矩形，故选项B不符合题意；C、测量对角线是否互相平分，可以判定为平行四边形，故选项C不符合题意；D、测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等，可以判定为矩形，故选项D符合题意；故选：D．4．（2022•南京一模）已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（）A．∠D＝90° B．AB＝CD C．AC＝BD D．BC＝CD【解答】解：在四边形ABCD中，∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，∴四边形ABCD为矩形，而判断矩形是正方形的判定定理为：有一组邻边相等的矩形是正方形，故D正确，故选：D．5．（2022•雨花台区校级模拟）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件中，不能判断这个平行四边形是菱形的是（）A．AB＝AD B．∠BAC＝∠DAC C．∠BAC＝∠ABD D．AC⊥BD【解答】解：A、邻边相等的平行四边形是菱形，故A选项不符合题意；B、对角线平分对角的平行四边形是菱形，故B选项不符合题意；C、由∠BAC＝∠ABD不一定能够判断这个平行四边形是菱形，故C选项符合题意；D、对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形，故D选项不符合题意．故选：C．6．（2021•秦淮区二模）百度百科这样定义凹四边形：把四边形的某边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四边形．关于凹四边形ABCD（如图），以下结论：①∠BCD＝∠A+∠B+∠D；②若AB＝AD，BC＝CD，则AC⊥BD；③若∠BCD＝2∠A，则BC＝CD；④存在凹四边形ABCD，有AB＝CD，AD＝BC．其中所有正确结论的序号是（）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④【解答】解：①连接AC并延长至点E，∵∠BCE为△ABC的外角，∴∠BCE＝∠BAC+∠B，∵∠DCE为△DAC的外角，∴∠DCE＝∠CAD+∠D，∴∠BCD＝∠BCE+∠DCE＝∠BAC+∠DAC+∠B+∠D＝∠BAD+∠B+∠D．故①正确，符合题意．②连接AC，BD，在△ABC和△ACD中，AB=ADBC=DC∴△ABC≌△ACD（SSS）．∴∠BAC＝∠DAC，又∵AB＝AD，∴△ABD为等腰三角形，∴AC⊥BD，故②正确，符合题意．③若∠BCD＝2∠A，由∠BCD＝∠A+∠B+∠D可得∠A＝∠B+∠D，不能得出BC＝CD．故③错误，不符合题意．④连接BD，假设存在凹四边形ABCD，有AB＝CD，AD＝BC，则在△ABD和△CDB中，AB=CDAD=BC∴△ABD≌△CDB（SSS）．∴∠A＝∠BCD，又∵∠BCD＝∠A+∠B+∠D，故④错误，不符合题意．故选：A．7．（2021•鼓楼区二模）如图，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，连接DE，若CD＝3，DE＝5，则AD的长是（）A．6 B．7 C．8 D．10【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝90°，AB＝CD，AD∥BC，AD＝BC，∵ED＝5，CD＝3，∴EC2＝DE2﹣CD2＝25﹣9＝16，∴CE＝4，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAE；∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠AEB，∴BE＝AB＝CD＝3，∴BC＝BE+EC＝7，∴AD＝7，故选：B．8．（2021•鼓楼区二模）如果一个正多边形的每一个外角都是36°，那么这个多边形的边数是（）A．10 B．11 C．12 D．13【解答】解：∵一个多边形的每个外角都是36°，∴n＝360°÷36°＝10，故选：A．二．填空题（共10小题）9．（2022•鼓楼区校级二模）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BA，BC的中点．若BD＝2，则EF的长是1．【解答】解：连接AC，如图所示，∵四边形ABCD是正方形．∴AC＝BD＝2．∵E，F分别是BA，BC的中点．∴EF是△ABC的中位线．∴EF=12AC故答案为：1．10．（2022•鼓楼区校级二模）如图，在▱ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分线分别交AD于点E，F．若AB＝a，CF＝b，则BE的长为4a2−b2【解答】解：过点E作EH∥AB交BC于H，连接AH，AH交BE于O，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠BAD＝∠BCD，∴∠AEB＝∠EBH，四边形ABHE是平行四边形，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBH，∴AB＝AE，∴四边形ABHE是菱形，∴AH⊥BE，OB＝OE，OA＝OH，AH平分∠BAD，∴∠AHB＝∠HAD=12∠∵CF平分∠BCD，∴∠FCB=12∠∴∠AHB＝∠FCB，∴AH∥CF，∴四边形AHCF是平行四边形，∴AH＝CF＝b，∴OA=12AH在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB=A∴BE＝2OB=4故答案为：4a11．（2022•玄武区二模）如图，菱形ABCD和正五边形AEFGH，F，G分别在BC，CD上，则∠1﹣∠2＝36°．【解答】解：如图，过M作EM∥BC，∵五边形AEFGH是正五边形，∴∠AEF＝∠EAH=1∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴AD∥EM，∴∠AEM+∠DAE＝180°，即∠AEM+∠2+∠EAH＝180°，∴∠2＝180°﹣∠AEM﹣∠EAH＝180°﹣∠AEM﹣108°＝72°﹣∠AEM，∵EM∥BC，∴∠1+∠AEM＝108°，∴∠1＝108°﹣∠AEM，∴∠1﹣∠2＝108°﹣∠AEM﹣（72°﹣∠AEM）＝108°﹣∠AEN﹣72°+∠AEM＝36°，故答案为：36．12．（2022•南京二模）在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点坐标为A（1，5），B（﹣1，1），C（3，2），则点D的坐标是（5，6）【解答】解：∵▱ABCD的顶点坐标为A（1，5），B（﹣1，1），C（3，2），∴点D的坐标是（5，6），故答案为：（5，6）．13．（2022•鼓楼区二模）如图，正六边形ABCDEF与平行四边形GHMN的位置如图所示，若∠ABG＝19°，则∠NMD的度数是41°．【解答】解：∵四边形GHMN是平行四边形，∴GH∥MN，∴∠NMD＝∠H，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠ABC＝∠BCD＝（6﹣2）×180°×1∴∠BCH＝180°﹣∠BCD＝60°，∵∠GBC＝∠ABC﹣∠ABG＝120°﹣19°＝101°，∴∠H＝∠GBC﹣∠BCH＝101°﹣60°＝41°，∴∠NMD＝41°，故答案为：41．14．（2022•鼓楼区一模）如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，E是CD的中点，连接OE．若OE＝5，BD＝12，则AC＝16．【解答】解：∵菱形ABCD对角线AC与BD交于点O，∴DO⊥CO，DO＝BO=12∵E是DC边上的中点，∴OE=12∴DC＝10，∴OC=D∴AC＝2OC＝16，故答案为：16．15．（2022•南京一模）如图Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝4，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为455【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝4，∴BC=AC2∵四边形APCQ是平行四边形，∴PO＝QO，CO＝AO，∵PQ最短也就是PO最短，∴过O作BC的垂线OP′，∵∠ACB＝∠P′CO，∠CP′O＝∠CAB＝90°，∴△CAB∽△CP′O，∴COBC∴22∴OP′=2∴则PQ的最小值为2OP′=4故答案为：4516．（2022•秦淮区校级模拟）如图，在平行四边形ABCD与正方形AEFG中，点E在BC上．若∠BAE＝38°，∠CEF＝13°，则∠C＝115°．【解答】解：∵四边形AEFG为正方形，∴∠AEF＝90°，∴∠AEB+∠CEF＝90°，∴∠AEB＝90°﹣∠CEF＝90°﹣13°＝77°，∵∠B+∠BAE+∠BEA＝180°，∴∠B＝180°﹣38°﹣77°＝65°，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，∴∠B+∠C＝180°，∴∠C＝180°﹣∠B＝115°，故答案为：115．17．（2021•建邺区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，菱形DEFG顶点D、E在边AB上，F、G分别在边BC、AC上，则DE的取值范围是6037≤DE≤【解答】解：如图1，当DEFG为正方形时，亦为菱形，∵GF∥AB．∴sinA＝sin∠CGF=BCAB=35，sin设DE＝x，则由题意可得AB=A∴CF=35x，CG=45∵CF+BF＝BC，∴35x+54如图2，当点E与点B重合时，即当DBFG为菱形时，∵GF∥AB，∴△CGF∽△CAB，∴CFCB∴3−BF3=BF5即DE=15如图3，当点D与点A重合时，即当GAEF为菱形时，设菱形边长为y，∵GF∥AB，∴△CGF∽△CAB，∴CGCA∴4−y4=y5由于6037综上所述，DE的取值范围为6037≤DE故答案为：6037≤DE18．（2021•建邺区二模）如图，直线l将正九边形ABCDEFGHI分为两个区域，且分别与AB、FG相交于P点、Q点．若∠APQ＝85°，则∠PQF＝105°．【解答】解：正九边形的内角和＝（9﹣2）×180°＝1260°，每个内角的度数为：1260°÷9＝140°，六边形APQGHI的内角和为（6﹣2）×180°＝720°，∴∠PQG＝720°﹣140°×4﹣85°＝75°,∴∠PQF＝180°﹣∠PQG＝180°﹣75°＝105°,故答案为：105．三．解答题（共9小题）19．（2022•南京二模）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，对角线AC、BD交于点O，过点B作BE∥CD交AC于点E，连接DE．（1）求证：四边形BCDE为菱形；（2）若AB＝5，E为AC的中点，当BC的长为5时，四边形BCDE为正方形．【解答】（1）证明：∵AB＝AD，CB＝CD，∴AC为BD的垂直平分线，即AC⊥BD，OB＝OD，∵BE∥CD，∴∠EBO＝∠CDO，在△EOB和△COD中，∠EBO=∠CDO∠BOE=∠DOC∴△EOB≌△COD（ASA），∴EO＝CO，∴四边形BCDE为平行四边形．∵CB＝CD，∴四边形BCDE是菱形；（2）解：设OB＝x，∵四边形BCDE是菱形，∴当OE＝OB＝x时，四边形BCDE是正方形，此时BC=2x∵E为AC的中点，∴AE＝CE＝2x，在Rt△AOB中，∵OB2+OA2＝AB2，∴x2+（3x）2＝52，解得x1=102，x2∴BC=2即当BC的长为5时，四边形BCDE为正方形．20．（2022•秦淮区二模）如图，DE是△ABC的中位线，延长DE至点F，使EF＝DE，连接AF，CF，AD．（1）求证：四边形ABDF是平行四边形；（2）要使四边形ADCF是菱形，△ABC的边需要满足的条件是AB2+AC2＝BC2．【解答】（1）证明：∵DE是△ABC的中位线，∴AE＝EC，DE∥AB，∵EF＝DE，∴四边形ADCF是平行四边形，∴AF∥BC，∴四边形ABDF是平行四边形；（2）解：AB2+AC2＝BC2，四边形ADCF是菱形，∵AB2+AC2＝BC2，∴∠BAC＝90°，∵DE∥AB，∴∠DEC＝90°，∴DF⊥AC，∵四边形ADCF是平行四边形，∴平行四边形ADCF是菱形．故答案为：AB2+AC2＝BC2．21．（2022•玄武区二模）如图，在平行四边形ABCD中，E是AD的中点，连接CE并延长，与BA的延长线交于点F．（1）求证EF＝EC；（2）连接AC，DF，若AC平分∠FCB，求证：四边形ACDF为矩形．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠EAF＝∠EDC，∵E是AD中点，∴AE＝DE，∵AE＝DE，∠FEA＝∠DEC，∠FAE＝∠EDC，∴△EAF≌△DEC（ASA），∴EF＝EC；（2）如图，∵EF＝EC，AE＝DE，∴四边形ACDF是平行四边形，∵AC平分∠FCB，∴∠ACE＝∠ECA，∵AD∥BC，∴∠EAC＝∠ECA，∴∠ACE＝∠EAC，∴AE＝CE，即AD＝FC，∴四边形ACDF为矩形．22．（2022•南京一模）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且AE＝CF．直线EF分别交BA，DC的延长线于点G，H．（1）求证：四边形BHDG是平行四边形；（2）若AB＝4，BC＝8，当AE的长为3时，四边形BHDG是菱形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD，∠BAD＝∠BCD＝90°，∴∠AGE＝∠CHF，∵∠BAD+∠GAE＝∠BCD+∠HCF＝180°，∴∠GAE＝∠HCF＝90°，在△AGE和△CHF中，∠AGE=∠CHF∠GAE=∠HCF=90°∴△AGE≌△CHF（AAS），∴AG＝CH，∴AB+AG＝CD+CH，即BG＝DH，∵AB∥CD∴四边形BHDG是平行四边形；（2）∵四边形BHDG是菱形，∴BH＝DH，∵BH2＝BC2+CH2，∴BH2＝64+（BH﹣4）2，∴BH＝10＝DH，∴CH＝6，∵AB∥CD，∴△BGF∽△CHF，∴CHBG∴610∴CF＝3，故答案为：3．23．（2022•建邺区一模）如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD＝5，BC＝CD＝53，∠B＝90°．点M在边AD上，AM＝2，点N是边BC上一动点．以MN为斜边作Rt△MNP，若点P在四边形ABCD的边上，则称点P是线段MN的“勾股点”．（1）如图①，线段MN的中点O到BC的距离是C．A．3B．5C．3D．23（2）如图②，当AP＝2时，求BN的长度．（3）是否存在点N，使线段MN恰好有两个“勾股点”？若存在，请直接写出BN的长度或取值范围；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）如图1，过点M作MQ⊥AB交BA的延长线于点Q，过点O作OE⊥BC，垂足为E，过点M作MF⊥BC于点F，连接AC，∵AB＝AD，CB＝CD，AC＝AC，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠D＝∠B＝90°，∵AD＝5，DC＝53，∴AC=A∴∠DAC＝∠BAC＝∠QAM＝60°，∠DCA＝∠BCA＝∠QMA＝30°，∴∠DAC＝∠BAC＝60°，∠DCA＝∠BCA＝30°，∴QA＝1，QM=3∵MQ⊥AB，OE⊥BC，∠B＝90°，∴四边形MQBF是矩形，∴MF＝QB＝AB+QA＝5+1＝6，∵MF⊥CB，OE⊥BC，∴OE∥MF，∴ONOM∵OM＝ON，∴NE＝EF，∴OE=12故选：C；（2）过点M作MQ⊥AB交BA的延长线于点Q，∵点P是线段MN的“勾股点”，∴∠MPN＝90°，∴∠QPM＝∠BNP，又∵∠Q＝∠B＝90°，∴△QPM∽△BNP，∴QPBN∴3BN∴BN＝33；（3）①如图，以MN为直径的圆经过点A时，此时线段MN恰好有两个“勾股点”，∵∠NAM＝∠D＝90°，∴AN∥CD，∴∠C＝∠BNM＝60°，∴BN=AB如图，当BN=3时，线段MN∴当0＜BN＜533且BN≠②如图，当以MN为直径的圆经过点C和D时，此时线段MN恰好有两个“勾股点”，∴BN＝BC＝53．综上所述，当0＜BN＜533且BN≠3或BN＝524．（2022•建邺区一模）如图，在菱形ABCD中，E、F分别是BC、DC的中点．（1）求证：∠AEF＝∠AFE；（2）若菱形ABCD的面积为8，则△AEF的面积为3．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠D，∵E、F分别是BC、DC的中点．∴BE=12BC，DF=∴BE＝DF，在△ABE和△ADF中，AB=AD∠B=∠D∴△ABE≌△ADF（SAS），∴AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE；（2）解：连接AC交EF于H，连接BD交AC于点O，∵菱形ABCD的面积为8，∴S△ABC＝S△ADC＝4，AO＝CO，AC⊥BD，∵E、F分别是BC、DC的中点．∴S△ACE＝S△ACF＝2，EF∥BD，∴△CEF∽△CBD，∴CHCO∴CO＝2CH，∴AC＝4CH，∴S△AEH=34S△AEC=32，S△AFH=3∴S△AEF＝3，故答案为：3．25．（2022•秦淮区一模）如图，在四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，连接AE，AF，已知△ABE≌△ADF．（1）若AD∥BC，求证：四边形ABCD是菱形；（2）以下条件：①∠BAD＝∠BCD；②AB＝CD；③BC＝C