数列通项公式奇数项偶数项分段的类型

数列通项公式奇数项偶数项分段的类型例76数列{an}的首项a1＝1，且对任意n∈N，an与an＋1恰为方程x2－bnx＋2n＝0的两个根.(Ⅰ)求数列{an}和数列{bn}的通项公式；(Ⅱ)求数列{bn}的前n项和Sn.解：(Ⅰ)由题意n∈N*，an·an＋1＝2n∴eq\f(an＋1·an＋2,an·an＋1)＝eq\f(an＋2,an)＝eq\f(2n＋1,2n)＝2'(1分)又∵a1·a2＝2'a1＝1'a2＝2∴a1，a3，…，a2n－1是前项为a1＝1公比为2的等比数列，a2，a4，…，a2n是前项为a2＝2公比为2的等比数列∴a2n－1＝2n－1'a2n＝2n'n∈N*即an＝又∵bn＝an＋an＋1当n为奇数时，bn＝2eq\f(n－1,2)＋2eq\f(n＋1,2)＝3·2eq\f(n－1,2)当n为偶数时，bn＝2eq\f(n,2)＋2eq\f(n,2)＝2·2eq\f(n,2)∴bn＝(Ⅱ)Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn当n为偶数时，Sn＝(b1＋b3＋…＋bn－1)＋(b2＋b4＋…＋bn)＝eq\f(3－3·2\f(n,2),1－2)＋eq\f(4－4·2\f(n,2),1－2)＝7·2eq\f(n,2)－7(当n为奇数时，Sn＝b1＋b2＋…＋bn－1＋bn＝Sn－1＋bn＝10·2eq\f(n－1,2)－7(Sn＝例77数列的通项，其前n项和为.(1)求;(2)求数列｛｝的前n项和.解:(1)由于,故,故()(2)两式相减得故例78数列(Ⅰ)求并求数列的通项公式；(Ⅱ)设证明：当.解:(Ⅰ)因为所以一般地，当时，＝，即所以数列是首项为1、公差为1的等差数列，因此当时，所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此故数列的通项公式为(Ⅱ)由(Ⅰ)知，①②①-②得，所以要证明当时，成立，只需证明当时，成立.证法一(1)当n=6时，成立.(2)假设当时不等式成立，即则当n=k+1时，由(1)、(2)所述，当n≥6时，.即当n≥6时，证法二令，则所以当时，.因此当时，于是当时，综上所述，当时，例79设个不全相等的正数依次围成一个圆圈．（Ⅰ）若，且是公差为的等差数列，而是公比为的等比数列；数列的前项和满足：，求通项；解：因是公比为d的等比数列，从而由，故解得或（舍去）。因此又。解得从而当时，当时，由是公比为d的等比数列得因此例80已知数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0（1）求证：数列SKIPIF1<0与SKIPIF1<0都是等比数列；（2）求数列SKIPIF1<0前SKIPIF1<0的和SKIPIF1<0；（3）若数列SKIPIF1<0前SKIPIF1<0的和为SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立，求SKIPIF1<0的最大值。解：（1）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0 2分∴数列SKIPIF1<0是以1为首项，SKIPIF1<0为公比的等比数列；数列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，SKIPIF1<0为公比的等比数列。 4分（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0 9分（3）SKIPIF1<0SKIPIF1<0当且仅当SKIPIF1<0时取等号，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的最大值为－48例82.在单调递增数列中，，，且成等差数列，成等比数列，．（1）分别计算，和，的值；（2）求数列的通项公式（将用表示）；（3）设数列的前项和为，证明：，．解：（1）由已知，得，，，．（2）∵成等差数列，∴，；∵成等比数列，∴，．又，，，……；，，，……∴猜想，，，…以下用数学归纳法证明之．①当时，，，猜想成立；②假设时，猜想成立，即，，那么，．∴时，猜想也成立．由①②，根据数学归纳法原理，对任意的，猜想成立．∴，．∴当为奇数时，；当为偶数时，．即数列的通项公式为．（3）由（2），得．显然，；当为偶数时，；当为奇数（）时，.综上所述，，．例83已知等比数列的公比为，首项为，其前项的和为．数列的前项的和为，数列的前项的和为．（1）若，，求的通项公式；（2）①当为奇数时，比较与的大小；②当为偶数时，若，问是否存在常数（与n无关），使得等式恒成立，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．解:(1)∵,∴∴或∴，或.(2)∵常数，=常数，∴数列，均为等比数列，首项分别为，，公比分别为，．①当为奇数时，当时,，，,∴.当时,，，,∴.当时,