复变函数第1章

复变函数论与积分变换多媒体教学课件数学与统计学院吴昭君

说明：1、本课件以樊孝菊等主编的《复变函数与积分变换》为蓝本．2、本课程共计54学时（或51学时），3学分。引言

在解方程时会遇到-1开平方的问题．16世纪,意大利数学家卡尔丹(Cardano1501-1576)在解三次方程时,引进了复数的概念.他把40看作与的乘积．（形式上的）一、复数的引入17世纪,微积分的创立,使得复数与平面向量建立了联系.使复数有了几何解释．

瑞士数学家欧拉(Euler)在1777年系统地建立了复数的理论．发现了复指数函数与三角函数的关系，创立了复变函数论的一些基本理论．§1.1复数与复平面1.1.1复数的基本概念

或第一章复数与复变函数，称定义1.1

对于任意两个实数规定称为虚数单位，为复数。的实部和虚部，记为分别称为复数

与

定义1.2设当且仅当时，称

定义1.3称为复数的共轭复数，记为数的推广；全体复数构成的集合称为复数集。因此复数是实看作实数时，称为纯虚数；当当时，注意与实数不同，一般两个复数不能比较大小，只能说相等和不相等。

1.1.2.复数的几何表示

一个复数本质上由一对有序实数惟一确定，称为复数的实数对形式．

有序实数对与平面直角坐标系中的点是一一对应的。由此可以建立复数集与平面坐标系中的点集之间的一一对应。1.复数与复平面实轴虚轴

平面上全部的点和全体复数间有着一一对应关系．

这个平面称为复平面或平面,记为

引进了复平面之后，“数”与“点”之间就建立了一一对应的关系，为了方便起见，我们不再区分“数”和“点”，即“数”表示“点”，而“点”表示“数”．2.复数的模与辐角

在复平面上，复数可以由自原点指向点的向量来表示，这种表示建立了复数集与平面向量集合的一一对应关系，向量的长度称为复数的模。

正实轴到向量的有向角合于称为复数的幅角(Argument)，记为

非零复数的幅角有无穷多，称满足下列条件的幅角为的主值，记为所以注当时，幅角无意义．有着如下关系，当当当当当

例

1

求及

解1.1.3复数的运算

全体复数并引进了复数的和、差、积、商运算之后就称为复数域，常用表示．

定义1.4

设则

复数的和、差、积、商的定义。

注：在复数域内，一切代数恒等式，如等等，仍然成立．复数的运算满足下列运算律．(1)交换律(2)结合律(2)分配律

复数的模和共轭复数有下面性质：例2

设证明证明

由于复数和向量构成了一一对应的关系，再由复数的运算可知，两个复数的加减运算和相应向量的加减运算一致。它们可以用平行四边形及三角形法则来表示。其几何意义如下图所示。

从直角坐标与极坐标的关系，我们可以用复数的模和幅角来表示非零复数

当时，有这种复数称为单位复数．1.1.4复数的三角表示与指数表示即

由我们熟知的欧拉公式容易验证并有即

我们分别称（1.2）和（1.3）式为非零复数的三角形式和指数形式，并称为复数的代数形式．这三种形式可以互换，它们各有其便．

例3.

例4将复数化为指数形式

解原式＝我们也可以用常规的方法解这一题，见课本P4，可以看到要复杂的多。1.1.5复数的乘方和开方1.复数的乘积和商则设

若则（或为整数）．

我们容易得到所以

定理1.1

两个复数乘积的模等于它们模的乘积，两个复数乘积的辐角等于它们的辐角之和。

定理1.2

两个复数商的模等于它们模的商，两个复数商的辐角等于它们的辐角之差。

例5

计算解因为所以

例6

已知等边三角形两个顶点为和，求另一个顶点。

解如图，由等边三角形的性质知，向量可看成旋转而成，设所求顶点为，则即同理可求另一顶点为例7解2.复数的乘幂与方根

1)乘幂设则从而有当时，则得棣莫弗(DeMoivre)公式

2)方根若整数）则其方根是(1.7)的根，其根的总体记为，下面我们来讨论它们．设则(1.7)变形为从而得解得取算术根从而有因此的次方根为这里取实际上只要取就可得(1.8)的个不同的根．

(1.8)可表为这里为得到的不同值，可由依次绕原点旋转当取到时，与重合．例8解即1.1.6无穷远点和复球面

在复变函数中，有些函数当自变量趋于一个定点时，函数值趋于无穷。故我们有必要将复数域加以扩充，引入一个数。在数学分析中，不是一个定值，它代表的是变量无限增大的符号；而在这里，我们把它作为一个定值。无穷远点的引入:

利用测地投影法，我们可以建立复平面与球面的对应关系，方法如图.由此可知,复平面与除掉N点后的球面是一一对应的.复平面上的点的模趋于无穷时,它在球面上的对应点趋于N点.所以,我们假想有一个点,称其为无穷远点,并记为（与N点相对应）.复平面加上无穷远点称为扩充复平面,而把球面称为复球面.扩充复平面与复球面一一对应.(我们也称复平面为有限复平面)记为关于无穷远点的几点规定:(1)无意义;（2）（3）(4)的实部、虚部及辐角都无意义,(5)复平面上每一条直线都通过点，没有一个半平面包含点注：直线不是简单闭曲线．E.X.P10.T2；(2),(3),(4);T3（2）；1.2复平面点集1.2.1点集的概念:1.邻域2.内点3.边界与闭包4.开集与闭集5.有界集、无界集例1例2例31.2.2区域说明1.区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立的点所组成的.2.以上基本概念的图示区域邻域边界点边界1.2.3平面曲线如果令,则该曲线可以表示为表示一条平面曲线，称此曲线为连续曲线。

设为两个连续的实函数，定义1.15

方程组

其中称为曲线的起点，称为曲线的终点，如果,则称曲线为闭曲线。定义1.16

如果是连续的，且对，那么称该曲线为光滑曲线。，有

一切由几条依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为按段光滑曲线。当时，称为曲线的重点凡无重点的连续曲线，称为简单曲线或若尔当曲线，的简单曲线称为简单闭曲线，也称为周线或围线。

定理1.3（若尔当定理）：任意一条若尔当闭曲线把整个复平面分成两个没有公共点的区域：一个有界的称为该简单曲线的内部，另一个无界的称为该简单曲线的外部．定义1.18

设G是一个区域，如果其中任意一条简单闭曲线的内部总属于G，称G为单连通区域;不是单连通区域的区域称为多（复）连通区域;1.2.4单连通区域与多连通区域

单连通区域的特征：单连通区域G内的任意一条简单闭曲线在G内可以经过连续变形而缩为一点。例4

指出满足下列条件的点集是什么？并确定其开闭性、有界性、连通性。解（1）表示以为边界的带形区域，是连通闭区域，无界。

(2)表示以为心，为半径的圆的内部除去圆心的点集，是有界多连通区域。

(3)表示起点为，斜率为1的半射线（不包括端点），是无界连通集。

(4)表示焦点为的椭圆内部和椭圆上的点，是连通的有界闭区域。

(5)化为令，代入得表示以为心，为半径的圆上的点和圆外的点的集合，是无界的多连通闭区域。

定义1.19设为一个复数集,若对G内每一复数z,有唯一确定的复数与之对应,则称在上确定了一个单值函数．若对内每一复数,有几个或无穷多个与之对应,则称在上确定了一个多值函数.

称为定义域,称为值域.1.3.1复变函数的概念均为单值函数．均为多值函数．

例1

例2

设，令则设则

而是复数，故都是的函数，即是二元实函数。复函数可以理解为两个复平面上的点集间的映射，即平面的点集，通过复变函数映射到平面的点集2.映射的概念考虑映射例3（1）求点的像；（2）曲线在平面的像；由得当时，得（3）角形域映射成什么？消去得直线1.3.2.复变函数的极限与连续

定义1.20设于点集上有定义,为聚点.如存在一个复数,使对有，只要就有则称沿于有极限,并记为

定理1.4设函数则的充要条件是

注：1.复变函数极限的定义与二元实函数极限定义相似。2.的方式是任意的。

证明必要性如果根据定义，对必当时，有所以，当时，有即

充分性如果即当时，有于是当时，有即极限的性质:(1)若极限存在,必然唯一;(2)四则运算与实函数的极限性质相同.定理1.5设则

例4

判断下列函数在原点处的极限是否存在，若存在，试求出极限值。解因为所以取当时，有由极限定义知（2）设，则从而于是让沿直线趋于0，有显然它随值不同而不同，故不存在，由定理1.4知不存在。2.复变函数的连续性

复变函数的连续性定义与二元函数连续性定义相似。

定义1.21设，则称在点连续，若函数在区域的每一点都连续，则称在区域连续。

定理1.6若在点连续，则其和、差、积、商（分母不为零）在点也连续。

定理1.7

若函数在点连续，函数在连续，则复合函数在处连续。

定理1.8

设函数