改编、构造、拓展例谈试题的编制方法

创造一个问题比解决一个问题更为困难，创造问题几乎没有什么一般的准则-------德国数学家亚瑟·恩格尔

命题就是创造问题的过程，因为它充满了不可预知的魅力，所以他向无数喜爱数学的人们提出了挑战。对于数学教师来说，深入研究数学命题技巧，是课改的需要，是教师反思自身教学行为，改进教学方法的重要环节之一。改编、构造、拓展

------例谈试题的编制方法县实验中学单国炎shangy2005@163.com一、试题改编中的一些常用模式典型问题新的问题背景新试题+典型问题新的表述方式新试题+新的设问形式原有知识点新的表述方式新试题+新的问题载体增删知识点常规封闭题条件或结论开放规律或性质探索阅读理解型的问题图表表述信息的问题新试题推理型问题问题的起源问题的形成问题的探究新试题分解重组二、试题改编中的一些常用方法对知识赋予新的问题情境原题:原题意图：将四边形问题转化为三角形来解决。本质特征：∠A+∠B+∠C=∠BDC。一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°，∠B、∠C应分别等于29°和21°，检验人员量得∠BDC=141°就断定这个零件不合格，你能说明理由吗？案例1：改编1:把一副三角板按如图放置，则两条斜边所成的钝角=

度。如图有一块直角三角板DEF放置在△ABC上，恰好三角板DEF的两条直角边DE、DF分别经过点B、C。在△ABC中，∠A=30°，则∠ABD+∠ACD=

度。改编2:

改编3:若△ABC不动，改变直角三角板DEF的位置，使它的两条直角边DE、DF仍然分别经过点B、C，那么∠ABD+∠ACD的大小是否会发生变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABD+∠ACD的大小。

改编4:如图，∠ABD、ACD的10等分线交于点G1、G2、……、G9，若∠BDC=140°，∠BG1C=77°，求∠A的度数。改编5:如图，∠ABD、∠

ACD的n等分线交于点G1、G2、……、Gn，若∠BDC=140°，∠BG1C=77°，试用含n的代数式表示∠A。已知实数a、b、c满足ab=c2+1，a+4b=4，求a、b、c的值

原题:案例2：原题意图：配方法，非负数性质或构造一元二次方程⊿≥0。本质特征：配方法的应用。已知点P（a、b）是双曲线(c为常数)和直线则a2+b2+c2的值是

。一个交点，改编:2.根据原有试题类比联想编制试题。如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行与坐标轴，点C在反比例函数的图像上.若点A的坐标为（-2，-2），则k的值为（）

A.1B.-3C.4D.1或-3原题:案例3：改编:反比例函数图像如图所示，点M是该函数图像上一点,PA⊥OA,PB⊥OB,如果SPAOB=2，则k的值为

.3.围绕知识点和方法构造试题。正方形ABCD、正方形CEFG的位置如图所示，正方形ABCD的边长为1，则△DBF的面积为

.正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RQPF的位置如图所示，点G在线段DQ上，正方形BEFG的边长为3，则△DEQ的面积为

.原题:案例4：原题意图：求三角形面积，转化思想。本质特征：利用平行线等积变形改编:已知矩形ABCD的对角线相交于点O.如图，若∠DAC＝30°，AE平分∠BAD交BC于点E，连结OE，则∠BOE＝

；原题:案例5：原题意图：矩形性质。本质特征：特殊三角形性质。如图，在⊿ABC中，AB=AC，AF=BC，∠A＝20°，求∠BFC的度数。原题意图：等腰三角形性质。本质特征：构造全等图形解题。

M改编:已知矩形ABCD的对角线相交于点O.（1）如图1，若∠DAC＝30°，AE平分∠BAD交BC于点E，连结OE，则∠BOE＝

；（2）如图2，若∠DAC＝20°，E为AC上一点，F为AD上一点，且AE＝AD，AF＝DE，连结EF,求∠DFE的度数.参考：解答：（1）75°

（2）（2）解：在AD的下方作等边三角形ADP，边结PE，原题:案例6：如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°,BD⊥DC，∠BCD的平分线交BD于点E，BD＝12，CE＝8，求梯形ABCD的面积.

Rt⊿ABC中，BD是角平分线，且BD=8，AC=12，求⊿ABC的面积。原题意图：角平分线性质，三角形面积。本质特征：方程思想，几何问题代数解法。改编:整理得，x3-12x2-64x+384=0(x-4)(x2-8x-96)=0所以x=4,舍去(本题12分)如图，直角梯形ABCD中,AD∥BC，∠A=90°，点F在边AD上，且满足∠FBC=∠BCD=80°∠FCB=60°，在边CD上取一点E，使∠EBC=50°，连接EF.求∠EFC的度数.M13.解：AD∥BC，∠FBC=∠BCD=80°，可得等腰。连结BD交CF于G，连EG.可证△BCG，△GDF均为正三角形.可证CB=CE=CG.从而可证∠EGD=∠EDG=40°，∵EG=ED，于是易证△FDE≌△FGE，∴∠CFE=∠DFE=∠DFC=30°.4.动手操作编制探究类试题

一块直角三角形木板，它的一条直角边AB长为1.5m，面积为1.5m2。现在要把它加工成一个面积最大的正方形桌面。甲、乙两位同学的加工方法分别如图（1）、（2）所示。请用学过的知识说明哪位同学的加工方法符合要求。原题:案例7：原题意图：裁正方形，方案比较。本质特征：相似三角形性质。如图，大正方形中有两个小正方形，如果它们的面积分别是S1、S2，那么S1、S2的大小关系是（）。A、S1>S2

B、S1=S2

C、S1<S2

D、S1、S2的大小关系不确定改编1:探究与计算：（1）如图，若三角形内有并排的两个全等的正方形，它们组成的矩形内接于ΔABC，则正方形的边长为

；（2）如图，若三角形内有并排的三个全等的正方形，它们组成的矩形内接于ΔABC，则正方形的边长为

。（3）如图，若三角形内有并排的n个全等的正方形，它们组成的矩形内接于ΔABC，请你猜想正方形的边长是多少，并对你的猜想进行证明。改编2:原题:案例8：矩形纸片ABCD，AB=4cm，AD=3cm，把矩形沿直线AC折叠，点B落在E处，连接DE，求重叠部分△AOC的面积。原题意图：折叠，求重叠面积。本质特征：矩形的性质，全等，方程思想。改编1:如图2，矩形纸片ABCD，AD=4cm，把矩形ABCD折叠，使点B恰好落在AD边的中点F处，折痕为CE，则折痕的长为多少？如图将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠（点E、F分别在边AB、CD上），使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P，连接EP．随着落点M在AD边上取遍所有的位置（点M不与A、D重合），△PDM的周长是否发生变化？请说明理由．改编2:图2-①BCEADFCNCPCMC在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5，折叠纸片，使点A落在BC边上的点A/处，折痕为PQ。当点A在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动。若限定点P、Q分别在AB、AD上移动，则点A/在BC上可移动的最大距离为

。改编3:根据点P、Q分别在AB、AD上移动，画出两个极限位置时的图形。554333极端思想改编4:将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中,O为原点,C在x轴上,OA=6,OC=10.（1）如图，在OA上取一点E，将△EOC沿EC折叠，使O落在AB边上的D点，求E点的坐标。勾股定理与方程思想10106862（2）如图2，在OA’、OC’边上选取适当的点E/、F，将△E/OF沿E/F折叠，使O点落在A’B’边上的D/点，过D/作D/G∥A’O交E/F于T点，交OC/于G点，求证TG=A’E/１32证明线段相等的方法有全等，等角对等边，平行四边形，等量线段的和差3）在（2）的条件下设T（x,y），探求y与x之间的函数关系式，并指出自变量x的取值范围。Rt⊿GOT中．由勾股定理，得:整理，得:T（X，Y）函数思想6-y因为点E/、F在OA’、OC’边上所以考虑极限位置：E/与A/重合时，X=6F与C/重合时，X=2(4)如图,如果将矩形OABC变为平行四边形OA//B//C//,使OC//=10,OC//边上的高等于6,其它条件不变,探求:这时T/(x,y)的坐标y与x之间是否仍然满足(3)中所得的函数关系,若满足,请说明理由;若不满足,写出你认为正确的函数关系式.解:将平行四边形OA“B”C“可以割补为下图中的矩形OMB′C′①当X≤6时，仍然满足②当X≥6时，点T不存在．图形化归

T/(x,y)运用化归思想，将变化后的图形还原成已知图形，寻找“变”中的“不变”。这也是我们验证图形发生变化时，结论是否改变的一种常用方法。(09温州)如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=1,点P在线段AB上运动，设AP=x

，现将纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF（点E、F为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原。（1）当x=0时，折痕EF的长为

；当点E与点A重合时，折痕EF的长为

；（2）请写出使四边形EPFD为菱形的的取值范围，并求出当时菱形的边长；（3）令，当点E在AD、点F在BC上时，写出y与x的函数关系式。当y取最大值时，判断⊿EAP与⊿PBF是否相似？若相似，求出的值；若不相似，请说明理由。温馨提示：用草稿纸折折看，或许对你有所帮助哦！5.利用生活中的素材编制试题。原题:案例9：（2010绍兴）水管的外部需要包扎,包扎时用带子缠绕在管道外部.若要使带子全部包住管道且不重叠（不考虑管道两端的情况）,需计算带子的缠绕角度（指缠绕中将部分带子拉成图中所示的平面ABCD时的∠ABC,其中AB为管道侧面母线的一部分）.若带子宽度为1,水管直径为2,则的余弦值为

.

第16题图如图1是一个三棱柱包装盒，它的底面是边长为10cm的正三角形，三个侧面都是矩形．现将宽为15cm的彩色矩形纸带AMCN裁剪成一个平行四边形ABCD（如图2），然后用这条平行四边形纸带按如图3的方式把这个三棱柱包装盒的侧面进行包贴（要求包贴时没有重叠部分），纸带在侧面缠绕三圈，正好将这个三棱柱包装盒的侧面全部包贴满．计算按图3方式包贴这个三棱柱包装盒所需的矩形纸带的长度．

参考：欣赏：１０．如图，直线y＝－x＋1与直线y＝2x、y＝x分别交于E、F两点，点P为x轴上一动点，过点P的直线y＝－x＋b与直线y＝2x、y＝x分别交于A、C两点，以线段AC为对角线作正方形ABCD．若点P从原点O出发，沿x轴的正方向运动，当正方ABCD与EF所在直线有公共点时，则b的取值范围为

.图1是一个非常熟悉的基本图形，直角梯形ABCD中（1）图1，当等腰Rt⊿DCE时，有AD=BE，AE=BC；（2）图2，当Rt⊿DCE时，有AD：BE=AE：BC；我们知道其中有一个基本模型（图3）：请你根据这个模型，编二道题。α

α

α

a