初中数学-提分微课04 构造辅助圆

提分微课（四）构造辅助圆提分微课·思维与方法“隐圆”一般有如下呈现方式:①定点定长:当遇到同一个端点出发的等长线段时,通常以这个端点为圆心,等线段长为半径构造辅助圆;②定弦定角:当遇到动点对定线段所张的角为定值时,通常把张角转化为圆周角构造辅助圆.当遇到直角时,通常以斜边为直径构造辅助圆.“隐圆”常与线段最值结合考查.如图①,点A到圆O的最短距离为AB,最长距离为AC.如图②,点A到圆O的最短距离为AB,最长距离为AC.类型一定点定长1.如图W4-1,在四边形ABCD中,AB=AC=AD,若∠BAC=25°,∠CAD=75°,则∠BDC=

°,∠DBC=

°.

图W4-112.537.52.如图W4-2,在△ABC中,AC=6,BC=8,∠ACB=90°,将△ABC绕顶点C按顺时针方向旋转,得到△MNC.点P,Q分别是线段AC,MN的中点,在△ABC绕点C按顺时针方向旋转的过程中,线段QP长度的最小值为

,最大值为

.

图W4-2283.如图W4-3,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点F在边AC上,并且CF=2,点E为边BC上的动点,将△CEF沿直线EF翻折,点C落在点P处,则点P到边AB距离的最小值是

.

图W4-31.24.如图W4-4,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,AB=6,点D是AB上一动点,将△BCD沿CD所在直线折叠,使点B落在点P处,连接AP,则线段AP的最小值为

.

图W4-4[答案]4[解析]如图:5.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(2,3),在x轴上找一点P,使得△AOP是等腰三角形,则这样的点P共有

个.

6.如图W4-5,在四边形ABCD中,BC=CD,∠C=2∠BAD.O是四边形ABCD内一点,且OA=OB=OD.求证:(1)∠BOD=∠C;(2)四边形OBCD是菱形.图W4-5证明:(1)∵OA=OB=OD,∴点A,B,D在以点O为圆心,OA为半径的圆上.∴∠BOD=2∠BAD.又∠C=2∠BAD,∴∠BOD=∠C.6.如图W4-5,在四边形ABCD中,BC=CD,∠C=2∠BAD.O是四边形ABCD内一点,且OA=OB=OD.求证:(2)四边形OBCD是菱形.图W4-5类型二定弦定角或张角互补图W4-6【直角】7.如图W4-6,三角板ACD,BCE中,△ACD是等腰直角三角形,∠CAD=∠CBE=90°,直线a∥CD,则∠BCF=

.

[答案]45°[解析][解析]由题意可得C,B,A,F四点在同一个圆上.∴∠BFC=∠BAC.∵直线a∥CD,∴∠BAC=∠ACD.又∵△ACD是等腰直角三角形,∴∠ACD=45°.∴∠BFC=45°.∵∠CBF=90°,∴∠BCF=45°.8.[2016·宁波考纲]如图W4-7,在等腰直角三角形ABC中,AB=BC=2,点P为等腰直角三角形ABC所在平面内一点,且满足PA⊥PB,则PC的取值范围为

.

图W4-79.如图W4-8,E,F是正方形ABCD的边AD上两个动点,满足AE=DF,连接CF交BD于点G,连接BE交AG于点H,连接DH,若正方形的边长是2,则线段DH长度的最小值是

.

图W4-810.如图W4-9,AC=3,BC=5,且∠BAC=90°,D为AC上一动点,以AD为直径作圆,连接BD交圆于点E,连接CE,则CE的最小值为

.

图W4-911.[2015·淮安改编]将一张正方形纸片ABCD折叠,再展开,如图W4-10所示,其中CE,CF为折痕,∠BCE=∠ECF=∠FCD,点B'为点B的对应点,点D'为点D的对应点,EB',FD'相交于点O.连接AB',则∠AB'E的度数为

.

图W4-1045°图W4-11【定角】12.如图W4-11,△ABC为等边三角形,AB=2,若点P为△ABC内一动点,且满足∠PAB=∠ACP,则线段PB长度的最小值为

.

13.如图W4-12,等边三角形ABC边长为6,AB边中点为F,动点D,E分别从A,B两点同时出发,以相同的速度沿直线向各自终点C,A运动,连接BD,CE,交于点P,则线段PF的最小值为

.

图W4-1214.[2018·徐州节选]如图W4-13,将等腰直角三角形ABC对折,折痕为CD.展平后,再将点B折叠在