初中数学-7.第五节 函数的综合应用

第三章函数第五节函数的综合应用(8年3考，9分)目录玩转广东8年中考真题教材改编题重难点突破例如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝

的图象相交于A(3，1)、B(m，－3)两点．(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)若经过点A、B的抛物线与y轴交于点C，且△ABC的面积为12，求点C的坐标；(3)在(2)的条件下，求该抛物线的解析式．(1)【思维教练】点A坐标已知，利用待定系数法可得反比例函数的解析式，进而可得点B的横坐标，由点A、B利用待定系数法可得一次函数的解析式；例题图例

解：(1)将点A(3，1)代入反比例函数y＝

中，得n＝3，∴反比例函数的解析式为y＝

.将B(m，－3)代入反比例函数y＝

中，得m＝－1，∴点B(－1，－3)．将点A(3，1)、B(－1，－3)分别代入一次函数y＝kx＋b中，得解得∴一次函数的解析式为y＝x－2；【自主作答】(2)【思维教练】设点C(0，c)，一次函数的图象与y轴的交点为D，y轴把△ABC分成△ACD和△BCD两部分，均以CD为底，利用三角形的面积公式分别表示出△ACD和△BCD，列方程求解可得c值，即可得点C的坐标；【自主作答】(2)如解图，设点C(0，c)，一次函数的图象与y轴的交点为D，令x＝0，则y＝x－2＝－2，∴点D(0，－2)，根据题意得S△ABC＝S△ACD＋S△BCD，即

|c＋2|·3＋

|c＋2|·|－1|＝12，整理，得|c＋2|＝6，∴c＋2＝6或c＋2＝－6，解得c＝4或c＝－8，∴点C(0，4)或C(0，－8)；例题解图(3)【思维教练】设过A、B、C三点的抛物线解析式，将三点坐标代入得到关于a，b，c的三元一次方程组，解方程组得a，b，c的值，确定抛物线的解析式．【自主作答】(3)已知点A(3，1)，由(1)知点B(－1，－3)，设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，当点C(0，4)时，把三点坐标代入，得解得故抛物线的解析式为y＝－2x2＋5x＋4；当C(0，－8)时，把三点坐标代入，得解得∴抛物线的解析式为y＝2x2－3x－8.综上所述，抛物线的解析式为y＝－2x2＋5x＋4或y＝2x2－3x－8.【满分技法】链接P47“微专题平面直角坐标系中的面积问题”．练习在平面直角坐标系中，反比例函数y＝

的图象与抛物线y＝x2＋(9m＋4)x＋m－1交于点A(3，n)．(1)求n的值及抛物线的解析式；(2)过点A作直线BC，交x轴于点B，交反比例函数y＝

(x＞0)的图象于点C，且AC＝2AB，求B、C两点的坐标；(3)在(2)的条件下，若点P是抛物线对称轴上的一点，且点P到x轴和直线BC的距离相等，求点P的坐标．练习

解：(1)∵点A(3，n)在反比例函数y＝

的图象上，∴n＝

，∴A(3，

)．∵点A(3，

)在抛物线y＝x2＋(9m＋4)x＋m－1上，∴

＝9＋(9m＋4)×3＋m－1，∴m＝－

.∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－

；(2)如解图，分别过点A、C作x轴的垂线，垂足分别为点D、E，∴AD∥CE.∴△ABD∽△CBE.∴∵AC＝2AB，∴由题意得AD＝

，∴∴CE＝4.即点C的纵坐标为4.当y＝4时，x＝1，∴点C(1，4)，∵

，DE＝2，∴

.∴BD＝1.∴点B(4，0)；练习题解图(3)∵抛物线y＝x2－2x－

的对称轴是x＝1，∴P在直线CE上．如解图，过点P作PF⊥BC于点F.由题意得PF＝PE.∵∠PCF＝∠BCE，∠CFP＝∠CEB＝90°，∴△PCF∽△BCE.∴由题意得BE＝3，BC＝5.练习题解图①当点P在第一象限内时，设P(1，a)(a＞0)．则有

解得a＝

∴点P(1，

)；②当点P在第四象限内时，设P(1，a)(a＜0)则有

解得a＝－6.∴点P的坐标为(1，－6)．∴综上所述，点P的坐标为(1，

)或(1，－6)．玩转广东8年中考真题一次函数与二次函数综合题(8年2考)命题点11.

(2017广东23题9分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋ax＋b交x轴于A(1，0)，B(3，0)两点，点P是抛物线上在第一象限内的一点，直线BP与y轴相交于点C.(1)求抛物线y＝－x2＋ax＋b的解析式；(2)当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标；(3)在(2)的条件下，求sin∠OCB的值．第1题图解：(1)把A(1，0)，B(3，0)代入y＝－x2＋ax＋b中，得解得∴y＝－x2＋4x－3；(2)如解图，过点P作

PD⊥x轴于点D.∵P点为BC的中点，PD∥y轴，∴PD为△BOC的中位线．又∵B(3，0)，∴P点的横坐标为把x＝

代入y＝－x2＋4x－3中，得y＝∴P(

)；第1题解图(3)由(2)知PD为△BOC的中位线，∴OC＝2PD＝2×又∵OB＝3，∴在Rt△BOC中，BC＝∴sin∠OCB＝一次函数、反比例函数与二次函数综合题(仅2016年考)命题点22.(2016广东23题9分)如图，在直角坐标系中，直线y＝kx＋1(k≠0)与双曲线y＝

(x＞0)相交于点P(1，m)．(1)求k的值；(2)若点Q与点P关于直线y＝x成轴对称，则点Q的坐标是Q(__________)；(3)若过P、Q二点的抛物线与y轴的交点为N(0，

)，求该抛物线的函数解析式，并求出抛物线的对称轴方程．第2题图解：(1)把点P(1，m)代入y＝

中，得m＝2.∴P(1，2)．把点P(1，2)代入y＝kx＋1中，得2＝k＋1.解得k＝1；(2)2，1；(3)设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋

，将点P(1，2)，Q(2，1)代入，得解得∴抛物线的解析式为y＝－

x2＋x＋

，∴其对称轴为直线x＝教材改编题1.(北师九下P53习题2.10第4题改编)若二次函数y＝－x2＋