重庆市2023-2024学年高二上学期1月期末考试数学

2023年秋高二（上）期末联合检测试卷数学数学测试卷共4页，满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。若在试题卷上作答，答案无效。3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．直线的倾斜角为（）A．B．C．D．2．在等差数列中，，则（）A．B．1C．2D．43．若方程表示的曲线是双曲线，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．4．正方体中的有向线段，不能作为空间中的基底的是（）A．B．C．D．5．古代“微尘数”的计法：“凡七微尘，成一窗尘；合七窗尘，成一兔尘；合七兔尘，成一羊尘；合七羊尘，成一牛尘；合七牛尘，成于一虮；合于七虮，成于一虱；合于七虱，成一芥子；合七芥子，成一大麦；合七大麦，成一指节；累七指节，成于半尺……”这里，微尘、窗尘、兔尘、羊尘、牛尘、虮、虱、芥子、大麦、指节、半尺的长度构成了公比为7的等比数列．那么1指节是（）A．兔尘B．羊尘C．兔尘D．羊尘6．已知直线与抛物线交于A，B两点，若线段AB的中点为，则（）A．4B．6C．8D．107．正三棱柱的所有棱长均相等，E，F分别是棱上的两个动点，且，则异面直线BE与AF夹角余弦的最大值为（）A．1B．C．D．8．己知是椭圆的左焦点，过椭圆上一点P作直线与圆相切，切点为Q，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．设，已知数列为等比数列，则（）A．一定为等比数列B．一定为等比数列C．当时，一定为等比数列D．当时，可能为等比数列10．直线与圆相交，则弦长可能为（）A．2B．3C．D．511．类比平面解析几何中直线的方程，我们可以得到在空间直角坐标系中的一个平面的方程，如果平面的一个法向量，已知平面上定点，对于平面上任意点，根据可得平面的方程为．则在空间直角坐标系中，下列说法正确的是（）A．若平面过点，且法向量为，则平面的方程为B．若平面的方程为，则是平面的法向量C．方程表示经过坐标原点且斜率为的一条直线D．关于x，y，z的任何一个三元一次方程都表示一个平面12．已知点M，N是双曲线上不同的两点，则（）A．当M，N分别位于双曲线的两支时，直线MN的斜率B．当M，N均位于双曲线的右支上时，直线MW的斜率C．线段MN的中点可能是D．线段MN的中点可能是三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知直线与，若，则实数m的值为___________．14．己知是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P，使得，则椭圆的离心率为___________．15．设，数列满足，若，则__________．16．已知圆，圆，若存在使得两圆有公共点，则实数a的取值范围为___________．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）记数列的前n项和为，已知．（1）求数列的通项公式；（2）在数列中，从第二项起，每隔三项取出一项组成新的数列，求数列的前n项和．18．（12分）设点是椭圆的左、右顶点，动点P使得直线与的斜率之积为2，记点P的轨迹为．（1）求的方程；（2）设过原点O的直线l与动点P的轨迹交于A，B两点，与椭圆C交于E，F两点，若，求直线l的方程．19．（12分）在如图所示的四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，点E，F分别在棱AB，PC上，且满足，．（1）证明：平面PAD；（2）若平面底面ABCD，和为正三角形，求直线EF与底面ABCD所成角的正切值．20．（12分）已知数列是等比数列，．（1）求数列的通项公式；（2），记数列的前n项和为，若对于任意，都有，求实数的取值范围．21．（12分）在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．在如图所示的“阳马”中，侧棱底面ABCD，．记的重心为G．（1）求点G到平面PBC的距离．（2）求平面GBD与平面PBC夹角的大小．22．（12分）已知双曲线的渐近线为，双曲线与双曲线C的渐近线相同，过双曲线的右顶点的直线与，在第一、四象限围成三角形面积的最小值为8．（1）求双曲线的方程；（2）点P是双曲线上任意一点，过点P作依次与双曲线C和交于A，B两点，再过点P作依次与双曲线C和交于E，F两点，证明：为定值．2023年秋高二（上）期末联合检测试卷数学参考答案一、选择题1~8BCDAACDA7题解析：设，以A为原点，方向分别为x，z轴正方向建立空间直角坐标系，可得，，故所求角的余弦值为，当时取“”．8题解析：设为椭圆的右焦点，由题知，故，令时，函数均递增，故递增，所以，选A．二、选择题9．ABD10．BC11．ABD12．AD12题解析：双曲线渐近线为，当M，N分别位于双曲线的两支时，直线MN较渐近线更平缓，故，当M，N均位于双曲线的右支上时，直线MN较渐近线更陡，故，所以A对B错；记，中点，由M，N是双曲线C上的点，有，两式相减可得，当时，有，对于C，与双曲线方程联立可知直线MN与方程无交点，故C错；对于D，，故此时M，N分别位于双曲线的左右两支，故D正确．三、填空题13．114．15．216．15题解析：，所以．16题解析：，故点C在直线上，点D在以为圆心，2为半径的圆上，故圆D上的点均在以M为圆心，3为半径的圆上及其内部，由题，即为圆与圆C有交点，即，解得．四、解答题17．（10分）解：（1）由题：，当时，有，两式相减可得：，当时，，不满足上式，故；5分（2）由题可知，由于，故，故10分18．（12分）解：（1）由题意得，设动点，则动点P不与点相同，即，∴直线的斜率为，直线的斜率，由题意得，即，即动点P的轨迹的方程为：5分（2）轨迹是以原点O为中心的双曲线，轨迹、椭圆C、直线l都关于原点O中心对称，由，则，当点A，E在同一象限时，则点E为OA的中点，设点，直线l的斜率为，则，，即，即，直线l的方程为．12分19．（12分）解：（1）在中过点F作并交PD于点G，则，由得，由得，是平行四边形，，是平行四边形，，，而AG在平面PAD中，平面PAD；5分（2）在平面PCD中过点F作于点O，连接OE，若平面底面ABCD，底面ABCD，即为直线EF与底面ABCD所成角，设，则，在，由题意知底面ABCD是菱形，，∴可求得，在，，∴直线EF与底面ABCD所成角的正切值．12分20．（12分）解：（1）设数列的首项为，公比为q，由题意得所以数列的通项公式为5分（2），恒成立，可知．12分21．（12分）解：（1）以点A为原点，AD为x轴，AB为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系则所以重心设平面PBC的法向量为所以点G到平面PBC的距离为：6分（2），设平面GBD的法向量为设平面GBD与平面PBC的夹角为，则．12分2