重庆市江津2023年高三二诊模拟考试数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.某市政府决定派遣8名干部（5男3女）分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少3人,

且女干部不能单独成组，则不同的派遣方案共有（）种

A.240B.320C.180D.120

2.《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化.如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、

艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中表示一个阳爻，表示一个阴爻）若从八卦中任取两卦，

这两卦的六个爻中恰有两个阳爻的概率为（）

3.在满足0<外<y44,x”短的实数对（4y,）（i=1,2,…,“，…）中，使得玉+/+…+<3x„成立的正整

数〃的最大值为（）

A.5B.6C.7D.9

4.已知函数/（x）的定义域为（0,+。），且2尼）.2小）=4零，当0<%<1时，/⑴<°•若/⑷=2，则函数/（x）

在［U6］上的最大值为（）

A.4B.6C.3D.8

5.单位正方体黑、白两蚂蚁从点A出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段白蚂蚁爬

地的路线是--，黑蚂蚁爬行的路线是48T8办--，它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2段与第i段

所在直线必须是异面直线（ieN*）.设白、黑蚂蚁都走完2020段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白两蚂

蚁的距离是（）

A.1B.72C.>/3D.0

6.设A（2,-l）,3（4,1）,则以线段A3为直径的圆的方程是（）

A.（x-3）2+y2=2B.（x-3）2+y2=8

C.0+3）2+寸=2D.（x+3）2+y2=8

7.某校为提高新入聘教师的教学水平，实行“老带新”的师徒结对指导形式，要求每位老教师都有徒弟，每位新教师都

有一位老教师指导，现选出3位老教师负责指导5位新入聘教师，则不同的师徒结对方式共有（）种.

A.360B.240C.150D.120

8.设等差数列｛4｝的前〃项和为S“，若％=5凡=81,则4。=（）

A.23B.25C.28D.29

9.直线y=Ax+l与抛物线C：/=4>交于-B两点,直线///AB,且/与C相切，切点为尸，记Q43的面积

为S,则S-|A用的最小值为（）

10.已知函数f(x)=sin2&x—gsin2xcos工x,贝！|/'(1)+/'(2)+…+/(2020)的值等于()

444

A.2018B.1009C.1010D.2020

11.如图所示是某年第一季度五省GDP情况图，则下列说法中不正确的是（）

与

去

12年

108同

期

6相

4比

增

2长

率

O(

东

宁

辽)

A.该年第一季度GDP增速由高到低排位第3的是山东省

B.与去年同期相比，该年第一季度的GDP总量实现了增长

C.该年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省份有2个

D.去年同期浙江省的GDP总量超过了4500亿元

12.中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图

所示（单位：寸），若4取3,当该量器口密闭时其表面积为42.2（平方寸），则图中X的值为（）

俯视图

A.3B.3.4C.3.8D.4

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知两个单位向量满足K+“=|4，则向量Q与人的夹角为.

14.给出下列等式：y[2=2cos~,也+夜=2cos工,12+也+夜=2cos）,…请从中归纳出第〃个等式:

4816

J2+…+小2+"=

"个2

15-根据如图所示的伪代码'若输出的）'的值为3'则输入的、的值为

Readx

Ifx<0Then

Else

y^-2x

EndIf

Printy

22

16.已知双曲线r二v-2=1（“>0/>0）的一条渐近线经过点（1,2）,则该双曲线的离心率为_____.

ab-

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知函数f（x）=|x-l|+|x-2|.若不等式|a+b|+|a-b以a|f（x）（a/）,a、bGR）恒成立，求实数x的取值范围.

18.（12分）将棱长为2的正方体截去三棱锥2-ACO后得到如图所示几何体，。为4c的中点.

⑴求证：03〃平面ACD”

(2)求二面角C—A。一G的正弦值.

22((0

19.(12分)已知椭圆：U*■+方=1(4＞匕＞0),四点片(1,1),6(0,1),鸟-1，,R1，半中恰有三

\7

点在椭圆。上.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设椭圆C的左右顶点分别为A5.P是椭圆C上异于A3的动点，求NAPB的正切的最大值.

-11I「10一

20.(12分)已知矩阵4=,，二阶矩阵8满足A8=

0—101

(1)求矩阵8；

(2)求矩阵B的特征值.

21.(12分)已知函数/(x)=(%—2)e*—-1)二其中aeR,g(x)=x-lnx.

⑴函数/(X)的图象能否与X轴相切?若能，求出实数。；若不能，请说明理由.

⑵若〃(X)=-g(x)在X=1处取得极大值，求实数a的取值范围.

22.(10分)一种游戏的规则为抛掷一枚硬币，每次正面向上得2分，反面向上得1分.

(1)设抛掷4次的得分为X,求变量X的分布列和数学期望.

(2)当游戏得分为〃(〃eN*)时，游戏停止，记得〃分的概率和为Q.,0=g.

①求02；

②当〃eN”时，记A,=QN+；Q.，B“=QN-Q“，证明：数列｛4｝为常数列，数列｛纥｝为等比数列.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.C

【解析】

在所有两组至少都是3人的分组中减去3名女干部单独成一组的情况，再将这两组分配，利用分步乘法计数原理可得

出结果.

【详解】

两组至少都是3人，则分组中两组的人数分别为3、5或4、4,

/z-,4\

又因为3名女干部不能单独成一组，则不同的派遣方案种数为《+若-1Af=180.

故选：C.

【点睛】

本题考查排列组合的综合问题，涉及分组分配问题，考查计算能力，属于中等题.

2.C

【解析】

分类讨论，仅有一个阳爻的有坎、艮、震三卦，从中取两卦；从仅有两个阳爻的有巽、离、兑三卦中取一个，再取没

有阳爻的坤卦，计算满足条件的种数，利用古典概型即得解.

【详解】

由图可知，仅有一个阳爻的有坎、艮、震三卦，从中取两卦满足条件，其种数是=3；

仅有两个阳爻的有巽、离、兑三卦，没有阳爻的是坤卦，此时取两卦满足条件的种数是C；=3,于是所求的概率

C114•

故选:C

【点睛】

本题考查了古典概型的应用，考查了学生综合分析，分类讨论，数学运算的能力，属于基础题.

3.A

【解析】

由题可知：0〈七<4,且X；，=y：可得贴=见久,构造函数A（r）=_（0</<4）求导，通过导函数求出h（t）

xiy-it

的单调性，结合图像得出*“=2,即24王<e得出3x“<3e,

从而得出〃的最大值.

【详解】

因为=短

则Inxf=Inyf,即y,Inxt=x,Iny

Inx；Iny；

整理得一L=-,令f=%=y,

七力

设咐）=包（0<144）,

1,,

nil—,f—1,In/1[

贝〃，⑺=^^=早，

令〃'。）>0,则0</<e,令/2'（。<0,则e<r44,

故"⑺在（0,e）上单调递增，在（e,4）上单调递减，则/?（e）=L

e

因为％<必，〃（玉）=〃（y）,

由题可知：/i（f）=；ln4时，则fmin=2,所以2Wt<e,

所以2<xi<e<yi<4,

当X"无限接近e时，满足条件，所以2Wx.<e,

所以要使得内+入2++x,i<3x“<3e^8.154

故当玉=々=七=%=2时，可有』+X2+X3+Z=8<8.154,

故1W4,即〃W5,

所以：〃最大值为5.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查利用导数求函数单调性、极值和最值，以及运用构造函数法和放缩法，同时考查转化思想和解题能力.

4.A

【解析】

根据所给函数解析式满足的等量关系及指数毒运算，可得+利用定义可证明函数/（X）的单调

性，由赋值法即可求得函数/（X）在［1,16］上的最大值.

【详解】

函数/（X）的定义域为（0,+8），且2年）.2小）=4华，

贝u，［宁］+/（〃）='（'"）；

任取玉，毛2w（0,+oo）,且X1V%2，贝!10＜土＜1，

X?

故f-＜0,

\X2）

令〃?=%,〃=/，则/—+/（々）=/（%），

\X2）

即/（西）—/（%）=7・）＜仇

故函数”X）在（（）,+e）上单调递增，

故/Max="16），

令根=16,〃=4,

故/（4）+/（4）=/（16）=4,

故函数/（X）在［1,16］上的最大值为4.

故选：A.

【点睛】

本题考查了指数塞的运算及化简，利用定义证明抽象函数的单调性，赋值法在抽象函数求值中的应用，属于中档题.

5.B

【解析】

根据规则，观察黑蚂蚁与白蚂蚁经过几段后又回到起点，得到每爬1步回到起点，周期为1.计算黑蚂蚁爬完2020段

后实质是到达哪个点以及计算白蚂蚁爬完2020段后实质是到达哪个点，即可计算出它们的距离.

【详解】

由题意，白蚂蚁爬行路线为A41TAiOI—OIG—GCTCBTBA,

即过1段后又回到起点，

可以看作以1为周期，

由2020+6=3364,

白蚂蚁爬完2020段后到回到C点；

同理，黑蚂蚁爬行路线为A5-3协―BiG—GOi—Qi。—ZM,

黑蚂蚁爬完2020段后回到Di点，

所以它们此时的距离为力.

故选B.

【点睛】

本题考查多面体和旋转体表面上的最短距离问题，考查空间想象与推理能力，属于中等题.

6.A

【解析】

计算的中点坐标为（3,0）,圆半径为r=近，得到圆方程.

【详解】

的中点坐标为：（3,0）,圆半径为r=网=正运=也，

22

圆方程为（x-3>+y2=2.

故选：A.

【点睛】

本题考查了圆的标准方程，意在考查学生的计算能力.

7.C

【解析】

可分成两类，一类是3个新教师与一个老教师结对，其他一新一老结对，第二类两个老教师各带两个新教师，一个老

教师带一个新教师，分别计算后相加即可.

【详解】

分成两类，一类是3个新教师与同一个老教师结对，有C；阀=6()种结对结对方式，第二类两个老教师各带两个新教

师'有竽=9。.

.,•共有结对方式60+90=150种.

故选：C.

【点睛】

本题考查排列组合的综合应用.解题关键确定怎样完成新老教师结对这个事情，是先分类还是先分步，确定方法后再

计数.本题中有一个平均分组问题.计数时容易出错.两组中每组中人数都是2,因此方法数为生L

2!

8.D

【解析】

由Sg=81可求生=9,再求公差，再求解即可.

【详解】

解：｛。,,｝是等差数列

S9=9a5=81

・'.%=9,又4=5,

公差为d=4,

«|0=包+6〃=29,

故选：D

【点睛】

考查等差数列的有关性质、运算求解能力和推理论证能力，是基础题.

9.D

【解析】

设出A8坐标，联立直线方程与抛物线方程，利用弦长公式求得\AB\,再由点到直线的距离公式求得尸到AB的距离,

得到AE4B的面积为S,作差后利用导数求最值.

【详解】

V="+1

设8(称必)，联立'2/，^x2-4Ax-4=0

x=4y

则%+/=4Z,X+必=%(X+%2)+2=4公+2

贝！J|=y+%+〃=4k2+4

丫21

f

由％2=4y,得y=1zz>y=­X

2

设。伍，%)，则;&nXo=2k,ya=k

则点P到直线y="+l的距离d="2+121

从而5=3,邳々=2,2+1).而工7

5-|AB|=2(Z:2+l)-VF+l-4(Z:2+l)=2J3-4i/2(J>l).

令/(x)=-4x2=/'(X)=6/-8x(x>1)

当时，/'(x)<0；当x>g时，/'(x)>0

故/(可*=/(^=一|^，即S—|AB|的最小值为一捺

本题正确选项：D

【点睛】

本题考查直线与抛物线位置关系的应用，考查利用导数求最值的问题.解决圆锥曲线中的面积类最值问题，通常采用

构造函数关系的方式，然后结合导数或者利用函数值域的方法来求解最值.

10.C

【解析】

首先，根据二倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，根据所求函数的周期性，得到其周期为4,然后借助于三角函

数的周期性确定其值即可.

【详解】

解：/(x)=sin2—x-^sin—xcos—x.

444

1万、6.乃

=—(1-cos—x)---sin—x

2222

.，万万、I

=-sin(—x+—)+-,

262

f(x)=-sin(—x—)H—,

7=至=4

・•・/(X)的周期为£,

2

f(l)=W，/⑵=1,”3)=竽，/(4)=0,

/(1)+/(2)+/(3)+/(4)=2.

.-./(1)+/(2)++/(2020)

=505x[/(l)+/(2)+/(3)+/(4)]

=505x2

=1010.

故选：c

【点睛】

本题重点考查了三角函数的图象与性质、三角恒等变换等知识，掌握辅助角公式化简函数解析式是解题的关键，属于

中档题.

11.D

【解析】

根据折线图、柱形图的性质，对选项逐一判断即可.

【详解】

由折线图可知A、B项均正确，该年第一季度GOP总量和增速由高到低排位均居同一位的

省份有江苏均第一.河南均第四.共2个.故C项正确；4632.1-(1+3.3%)®4484<4500.

故D项不正确.

故选：D.

【点睛】

本题考查折线图、柱形图的识别，考查学生的阅读能力、数据处理能力，属于中档题.

12.D

【解析】

根据三视图即可求得几何体表面积，即可解得未知数.

【详解】

由图可知，该几何体是由一个长宽高分别为x,3」和

一个底面半径为上，高为5.4-x的圆柱组合而成.

2

该几何体的表面积为

2（x+3x+3）+〃・（5.4-x）=42.2,

解得x=4,

故选：D.

【点睛】

本题考查由三视图还原几何体，以及圆柱和长方体表面积的求解，属综合基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.生

3

【解析】

由|a+切得cos〈a,»=-；,即得解.

【详解】

由题意可知|。|=网=1,则|；+诉=2+立力=1.

11

解得。力=一耳，所以cos〈a,8〉=—a,

向量a与8的夹角为菖.

故答案为：y

【点睛】

本题主要考查平面向量的数量积的计算和夹角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

14.2cos广

【解析】

通过已知的三个等式，找出规律，归纳出第〃个等式即可.

【详解】

解：因为：V2=2cos-,42+及=2cos2,V2+72+V2=2cos—,

4816

等式的右边系数是2,且角是等比数列，公比为;，则角满足：第〃个等式中的角缶，

所以J2+...+J2+/=2cos券;

〃个2

冗

故答案为：2cos2“+]•

【点睛】

本题主要考查归纳推理，注意已知表达式的特征是解题的关键，属于中档题.

15.一逅

2

【解析】

X2-1x,,0

算法的功能是求丁=*的值，根据输出的值，分别求出当用时和当x〉o时的x值即可得解.

2Xx〉0

【详解】

解：由程序语句知：算法的功能是求)，=，一的值，

2x>0

当用,0时，y=xi-\=^-,可得：x=-—,或旦(舍去)；

222

当x>()时，y=2x=-,可得：%=-1(舍去).

2

综上x的值为：-逅.

2

故答案为：一旦.

2

【点睛】

本题考查了选择结构的程序语句，根据语句判断算法的功能是解题的关键，属于基础题.

16.V5

【解析】

根据双曲线方程，可得渐近线方程，结合题意可表示b=2z,再由双曲线”，b,c关系表示c=6a，最后结合双曲

线离心率公式计算得答案.

【详解】

r22b

因为双曲线为5-与v二13>0⑦>0),所以该双曲线的渐近线方程为y=±—工

crb-a

又因为其一条渐近线经过点(1,2),即2=&,则。=2。，

a

由此可得c=y/a2+b2=\[5ae=—=6.

故答案为：5

【点睛】

本题考查由双曲线的渐近线构建方程表示系数关系进而求离心率，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15

17.-<x<-

22

【解析】

\a一目+|a+例\a—Z?|+|a+/?|

J

由题知，|x-l|+|X-2|<——LJ——^恒成立，故|x-i|+|x—2|不大于——LJ——L的最小值.

1«1问

V|a+bH-|a-b|>|a+b+a-b|=2|a|,当且仅当(a+b)・(a-b)K)时取等号，

\a—^|+|a+Z>|

J——W——1的最小值等于2.

回

:.x的范围即为不等式|x一l|+|x—252的解，解不等式得;Wxwg.

18.(1)见解析；(2)立.

3

【解析】

(1)取AC的中点连接BM、DyM,连接BQ-证明出四边形MB。。为平行四边形，可得出。8〃加2,然

后利用线面平行的判定定理可证得结论；

(2)以点a为坐标原点，4。1、4月、4A所在直线分别为X、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可

求得二面角C-ADi-C,的余弦值，进而可求得其正弦值.

【详解】

(1)取AC中点连接MO、BM、RM,

441〃。C且/14|=。。］,，四边形416。为平行四边形，.・.47〃4。|且4。=4。1,

。、M分别为4G、4。中点，，人用〃4。且4知=4。，

则四边形AAOM为平行四边形，,OM〃A4,且。M=A4,,

A4,HBB、且AA=BB],OM//BB}且OM=BB{,

所以，四边形8耳。加为平行四边形，.二B用〃。。且3M=0n，

四边形MBOB1为平行四边形，.•・。3〃。加，

•.〃9<=平面AC。，03（Z平面AC",.•.03〃平面AC"；

（2）以点4为坐标原点，AR、4月、AA所在直线分别为X、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系4-孙z,

则C（2,2,2）、A（0,0,2）、C,（2,2,0）,D,（2,0,0）,

AD,=（2,0,-2）,AC=（2,2,0）,D,C,=（0,2,0）,

设平面ACD1的法向量为加=（x，y,zj,

m-AC-02%+2y=0

得,取玉=1,则X=TZi=l,=,

m-AD}-022-2Z]=0

设平面AA£的法向量为〃=（%,%,Z2）,

f,得；3Z2=0'取"1'则％肛Z2=l，."（I，。』），

由，

n•AD]=0

m-n2V6

cos<m-n>=।-j—j—j-=—j=—/=-二—sin<m,n>=Jl-cos2<m,n>=,

同加V3xV23'

3

因此，二面角A。-G的正弦值为且.

3

【点睛】

本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角，考查推理能力与计算能力，属于中等题.

19.(1)y+/=(2)—2夜

【解析】

(D分析可得与舄必在椭圆。上，(1,1)不在椭圆。上，代入即得解；

1女—女

(2)设直线PA,PB的倾斜角分别为。，△，斜率为。右，可得攵/2=-：•则=4-a,tanNAP8=?

利用均值不等式，即得解.

【详解】

(1)因为片巴关于轴对称，

所以4乙必在椭圆c上，

11,11

L方"/+乒

.•.(1,1)不在椭圆。上

b=\,a2=2>

即5+9=1.

(2)设椭圆上的点y0)(/工±&),

设直线PA,PB的倾斜角分别为a,0,斜率为&k2

又x；+2y；=2

=>ZAFB=j3-a,

=tana,k2=tanj3（不妨设5>a）.

故匕>0段<0

tanZAPB=tan4-a

1+&&2

、

=2|k+^—=-2[(-^)+(--^-)]

2<-2y/2

(J2切2右2kz

,1J?

当且仅当-左2=一不一，即网=—注时等号成立

2K22

【点睛】

本题考查了直线和椭圆综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.

11

20.(1)B=(2)特征值为1或一1.

()—1

【解析】

「101

(D先设矩阵8,根据AB=0],按照运算规律，即可求出矩阵庆

(2)令矩阵3的特征多项式等于0,即可求出矩阵B的特征值.

【详解】

h

解：(1)设矩阵B由题意,

d

10

因为AB

01

11ab10

所以

0-1d01

a+c=1

b+d=0b=l

，即

-c=0c=0

2

所以8

0-1

(2)矩阵3的特征多项式,f(/l)=(/l+l)(X—l),

令/")=(),解得/1=1或一1,

所以矩阵8的特征值为1或-1.

【点睛】

本题主要考查矩阵的乘法和矩阵的特征值，考查学生的划归与转化能力和运算求解能力.

(e-1、

21.(1)答案见解析(2)—,+co

I27

【解析】

(1)假设函数“X)的图象与x轴相切于(f,o),根据相切可得方程组/(；)=(),看方程是否有解即可;(2)求出/?(%)

的导数，设G(x)=e'-g—2a(尤>0),根据函数的单调性及〃(x)在x=l处取得极大值求出a的范围即可.

【详解】

(1)函数/(x)的图象不能与x轴相切，理由若下：

(x)=(x-l)e'-2a(x-l).假设函数/(x)的图象与x轴相切于。,0)

则［")=°即［("2)~(1)2=0

显然f/l,e'=2Q>0,代入了=0中得,/2一冬+5=0无实数解.

故函数f(x)的图象不能与x轴相切.

出〃(%)=(%-2)/-。(％-1)~+lnx-x(x>0)

=e'---2tzJ,/.%，(1)=0,

设G(x)=e"----2a(x>0),

G'(x)="+J恒大于零.

；.G(x)在(0,+。)上单调递增.

又x—>+oo,G(x)—>+00,X-。+,G(x)—>-O0

:.存在唯一X。，使G(%)=0,且

0<x</时G(x)<0,x>X。时G(x)>0,

①当天=1时,〃'(x)>0恒成立,〃(》)在(°，+。)单调递增，

//(%)无极值，不合题意.

②当为<1时,可得当工€(品,1)时,〃'(X)<O,当xw(l,+oo)时,〃'(X)>O.

所以h(x)在(小』)内单调递减，在(1,+8)内单调递增，

所以〃(x)在x=1处取得极小值，不合题意.

③当Xo>1时,可得当XW(0,1)时,//(X)>0,当X€(1,/)时,〃'(X)<0.

所以〃(可在(0,1)内单调递增，在(1,%)内单调递减，

所以〃(力在x=1处取得极大值，符合题意.

此时由%>1得6(1)<6(%)=0即e-l-2a<0,

e-l

/.a>----