迎战2021年中考数学考点强化训练-六十：相似

迎战2021中考数学考点强化训练——专题六十：相似

1.如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q.

(1)请写出图中各对相似三角形(相似比为1除外)；

(2)求BP：PQ：QR.

2.如图，在锐角三角形板中，点。，£分别在边友；四上，ZGJL死于点G,AFLDE于点、F,NEAF=N

GAC.

(1)求证：AADEs2ABC；

(2)若AZ=3,A3=5,求差而值.

3.如图，在位△侬?中，/a90°,岭4cm,BO3cm.动点”，〃从点C同时出发，均以每秒1腐的速度

分别沿。、应向终点48移动，同时动点尸从点夕出发，以每秒2防的速度沿物向终点4移动，连接

PM,PN,设移动时间为t(单位：秒，0Vt<2.5).

(1)当t为何值时，以4P,〃为顶点的三角形与△胸相似？

(2)是否存在某一时刻t,使四边形在也的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说

明理由.

4.已知：如图，D、E分别是△4BC的边43、4C上的点，且/4EZ?=/ABG联结BE、CD相交于点户.

(1)求证：/_ABE=AACD\

B

5.(1)如图1,已知AB，/,DELI,垂足分别为AE,且C是/上一点，NACD=90°,求证：

△CED;

(2)如图2,在四边形4BCD中，已知N4BC=90°,43=3,BC=4,GD=10,。4=5遂，求即的长.

6.如图，点E是正方形4BCD的对角线4c上的一个动点(不与/、C重合)，作用工/。交边于点

F,连接亦BE交于点G.

(1)求证：匕CAFsXCBE,

(2)若AF平分NH4C,求证：AC=2A&AF.

B

7.如图，E是边长为8的正方形488的边4B上的点，且4E=2,EF[DE交BC于氐F.求线段b的

8.如图，在正方形43co中，E为边40的中点，点户在边CD上，且NBEF=90°,延长母1交8C的延

长线于点G.

(1)求证：XABESMEGB.

(2)若4B=6,求CG的长.

9.如图，在△/0C中，点。、G在边4c上，点E在边8c上，DB=DC,EGUAB,AE.AD交于点尸,

BF=AG.

(1)求证：△*无△CGE;

(2)当N4EG=NC1时，求证：A^=AG-AC.

10.已知：如图，在△4BC中，点。在边4C上，即的垂直平分线交G4的延长线于点瓦交8。于点尸,

联结班，E]y=EA*EC.

(1)求证：AEBA=/_C\

(2)如果BD=CD,求证：A^=AJ>AC.

11.如图，在等边△4BC中，点。、E分别是边8C、4c上的点，且即=8,连接BE、AD,相交于点F.

(1)求证：XABD^XBCE,

(2)图中共有对相似三角形(全等除外).

并请你任选其中一对加以证明.你选择的是

12.已知：点?在内，且满足(如图)，ZAR&4-ZA4C=180°.

(1)求证：△尸C4;

(2)如果NARS=120°,ZASC=90°,求生的值；

PB

(3)如果NH4C=45°,且△4BC是等腰三角形，试求tan/PSC的值.

13.如图，在。488中，尸是40上一点，且Af=3E＞户，毋1与CD的延长线交点E.

(1)求证：XABF^l\CEB,

(2)若△。石尸的面积为1,求。438的面积.

14.如图，在正方形438中，在边上取中点E,连接。E,过点E做石产LEO交43于点G、交AD

延长线于点R

(1)求证：XECEXDEF，,

(2)若8=4,求心的长.

15.如图，一块材料的形状是锐角三角形43G边8C长13cm,8C边上的高40为6s,把它加工成正方

形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在48、AC1.

(1)求证：XAEF^XABC,

(2)求这个正方形零件的边长.

月

16.探究：如图①，在正方形4BCD中，点E在边上（点E不与点8、。重合），连结4E,过点E作

AELEF,石尸交边8于点片求证：XABEOECF.拓展：如图②，△4BC是等边三角形，点。在边

上（点。不与点AC重合），连结40,以40为边作N4DE=N4BC,DE交边AC于箴E,若46=

3,BD=x,CE=y,求了与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）.

17.如图，在Rt^ABC中，N/=90°,AC=16an,AJ3=8an,动点。从点B出发，沿84方向运动；同

时动点E从点/出发，沿4。方向运动.如果点E的运动速度为4cm/s,点。的运动速度为2cm/s,那么

运动几秒时，△4BC和△4DE相似？

18.如图，在正方形438中，E是。上一点，连接过点。作。垂足为MOO经过点

A,B,M,与40相交于点F.

(1)求证：XDFM，,

(2)若正方形4BCD的边长为5,。。的直径为倔，求AE的长.

迎战2021中考数学考点强化训练——专题六十：相似参考答案

1.如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q.

(1)请写出图中各对相似三角形(相似比为1除外)；

(2)求BP：PQ：QR.

【答案】

解：(l)Z\BCPs/\BER,APCQ^APAB,APCQ^ARDQ,APAB^ARDQ.

(2)四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，

PC1

.*.BC=AD=CE,AC/7DE,.*.PB=PR,—

KtN

又：PC〃DR,/.△PCQ^ARDQ.

1点R是DE的中点,ADR=RE.

PQPCPC1

二加=加=近=7..•QR=2PQ-

又：BP=PR=PQ+QR=3PQ,

ABP：PQ：QR=3：1：2.

2.如图，在锐角三角形板中，点。，£分别在边/C,ABh,AG工BC于点G,AFLDE于点F,AEAF=A

GAC.

(1)求证：XADEsXABC；

(2)若4>=3,AB=59求第的值.

A

B

G

【答案】

（1）证明：在AABC中，；AG，BC于点G,AFLDE于点F,

...NAFE=NAGC=90°,

在4AEF和4ACG中，

■:NAFE=ZAGC,NEAF=ZGAC,

:.AAEF^AACG,:.NAEF=NC.（2分）

在△ADE和△ABC中，

VZAED=ZC,ZEAD=ZCAB,

.,.△ADE^AABC；（4分）

⑵解：由（1）知△ADES2\ABC,

.ADAE3

••矿而飞，6分）

AFAE3

又,.,△AEFs/iACG,二77=77=£.（8分）

3.如图，在RtAABC中,N390。，Agcm,BC=3cm.动点〃，“从点C同时出发，均以每秒的速度

分别沿。、或向终点4B移动,同时动点尸从点8出发，以每秒2c〃的速度沿的向终点/移动，连接

PM,PN,设移动时间为亡（单位：秒，0<tV2.5）.

（1）当t为何值时，以/,P,〃为顶点的三角形与△被相似？

（2）是否存在某一时刻t,使四边形初历的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说

明理由.

【答案】解：•如图，在欣△胸中，/俏90°,AC-4an,BO3cm.

,根据勾股定理，得AB=JAC，+BC?=5cm.

(1)以4P,〃为顶点的三角形与△胸相似，分两种情况：

z-x।,APAM5—2t4-t.3

①当△阳—△A胞时，一=——,即-----=——，解得/=一；

ACAB452

z-x1..AMA,P4—t5—2t...

②当△加如△四C时，——­=——,即——=-----,解得夕0(不合题意，舍去).

ACAB45

3

综上所述，当1=—时，以4、只〃为顶点的三角形与△腑■相似.

2

(2)存在某一时刻t,使四边形在％1的面积S有最小值.理由如下：

假设存在某一时刻大，使四边形山讹'的面积S有最小值.

如图，过点尸作皿5c于点〃则用〃4G

71

+y(0<r<2.5).

|>0,

」.s有最小值.

321

当f=，时，S*小他=—.

25

321

答：当1=二时，四边形的面积S有最小值，其最小值是一.

25

4.已知：如图，D、E分别是△4BC的边/田、4C上的点，且NAEE>=//BC,联结BE、8相交于点户.

(1)求证：£ABE=AACD-,

(2)如果ED=EC,求证:

【答案】(1)证明：•••//££>=NA8C,N/=N4,

XADE^XACB,

.AE=AB

"AD-AC)

•'Z.-A=Z.A,

：.XADC^XAEB,

：.AABE=£ACD\

(2)证明：：ED=EC,

:.乙EDC=LECD,

：.AEDC=/.EBD,

,：ADEF=Z.DEB,

：.^EDP^^EBD,

.DF=EF=DE

■-BD-DE-BE，

(DF)』雪迈

BDDEBE'

.DF2_EF

,W'EB'

5.(1)如图1,已知48，/,DE]_1,垂足分别为AE,且C是/上一点，AACD=90°,求证：△488

△CEO;

(2)如图2,在四边形4BCD中，已知N4BC=90°,AB=3,BC=4,CD=10,DA=5娓,求助的长.

▼D

A

图1图2

【答案】证明：(1)DELJ,

\/_ABC=ACED=^°,Z.ACB^/_BAC=^°,

・・/48=90°,

\/_ACB+/_DCE=^°,

\/_BAC=/_DCE,

•・AABC^ACED;

(2)如图，连接4G

/ZTWC=90°,

24C=7AB2+BC2=V32+42=5»

：AD=5-Js，CD=10,

•.4ACD满足A(^+CI^=AI^,

♦./48=90°,

如图，过点。作。ELBC延长线于点E,

图1图2

由(1)得此时△4B8Z\CED,

.CE_DE_CD_

"AB"BC'AC"2

CE=6,Z>F=8,

在RtABDE中，BD=7BE2+DE2=V(4+6)2+82=2^"41-

6.如图，点E是正方形43。的对角线4c上的一个动点(不与4、。重合)，作ML/C交边BC于点

F,连接4RBE交于点G.

(1)求证：WCAPsXCBR,

(2)若"平分NH4G求证：A(^=2A&AF.

AD

【答案】(1)证明：•.・四边形AB8是正方形,

：.^ABC=90°,

■：EFLAC,

:"FEC=90°=2ABC,

又，：乙FCE=LACB,

:.XCEP^XCBA,

•CF=CE

•'在一示

又,：乙ACF=(BCE,

：.XCAF^XCBE:

(2),:XCAP^XCBE,

zCAF=zCBE,

•.•4F平分NH4G

：./_BAF=/_CAFy

：.LBAF=/_CBE,

：.zBAF¥zAFB=zCBE+ZAFB=90°,

即NABF=NBG^=90°,

■：ABAG=/.BAF,

：.XABF^XAGB,

.AB=AF

"AG-AB，

：.ABL=AG>AF,

•.,正方形4BCD中，A<^=2ABi,

：.A<^=2AG*AF

7.如图，E是边长为8的正方形ABCD的边AB上的点，且4E=2,EF^DE交BC于氤F.求线段CF的

长.

D

【答案】解：••・4BCD是正方形，

.♦.//=25=90",

：.AADE+ADEA=()G°,

又EF1DE,

：.^AELH-Z.FEB=90°,

：.AADE=/_FEB,

/XADE^/XBEF.

.AD=AE

…瓦一丽’

♦3=2

"6BF'

:.BF=—

2

■.BC=8,

iq

：.CF=BC-BF=—.

2

8.如图，在正方形ABCD中，E为边40的中点，点户在边8上，且/班产=90°,延长哥■交8C的延

长线于点G.

(1)求证：XAB所XEGB.

【答案】(1)证明：1.四边形4BCD为正方形，且NBEG=90°,

乙A=LBEG,

■：AABE+AEBG=^°,AG+AEBG=90°,

：./_ABE=/_G,

：.XABEs&EGB：

(2)解：••・AB=4D=6,万为AD的中点，

：.AE=DE=3.

在RtZkASE中，BE=VAB2+AE2=V62+32=3V5>

由(1)知，XABB^XEGB,

.AEBE

一而F'

即：号超

375GB

・・.8G=15,

・•.CG=BG-8C=15-6=9.

9.如图，在△43C中，点。、G在边47上，点石在边3c上，DB=DC,EGHAB,AE.皿交于点区

BF=AG.

(1)求证：XBFE〜XCGE,

(2)当N"G=/C时，求证：A^=A&AC.

【答案】证明：(1)

:./_DBC=(DCB,

：EGIIAB,

.CE_CG

•.而而

\'BF=AG,

.CE_CG

:•△BFE~l\CGE\

(2),:l\BFE~XCGE,

:'(BEF=LGEC,ABFE=/_EGC,

'：/_AEG=/_C.乙GEB=/_AE8乙AEB=乙6乙EGC,

：・4AEB=ZEGC,

・•・(BEF=ZGEC=ZBFE=ZEGC,

：.BE=BF,EC=GC,

：.BE=AG,

•・GEIIAB,

Z_AEG=/_BAE,

:,乙BAE=乙C、

又,••/4B—N4SC,

：.XABE^XCBA、

.AB_BE

•,而而

：.A^=AGBE=AOAG.

10.已知：如图，在△4灰7中，点。在边4C上，即的垂直平分线交”的延长线于点瓦交8。于点尸,

联结3石；Elf=EA・EC.

(1)求证：2EBA=2G

(2)如果即=8,求证：A&=AI>AC.

E

【答案】(1)证明：•.•&>!=E4・EG

.DE=EC

"EA-DE，

,:乙BEA=乙CEB,

:.XBABc丛CEB,

：./_EBA=-/_C.

(2)证明：・石户垂直平分线段助，

:.EB=ED,

：.LEDB=LEBD,

AZC+-ZDBC=ZEBA+ZABD,

•：^EBA=/_C,

：.ADBC=/.ABD,

：DB=DC,

：.£C=ADBC,

：.LABD=/.C,•：/_BAD=/.CAB,

：.l\BAD^l\CAB,

.AB=AD

"CA-AB，

：.A&=AJ>AC.

11.如图，在等边△ABC中，点。、E分别是边BC、/C上的点，且m=CE,连接BE、AD,相交于点尸.

(1)求证：△4BZ运△BCB;

(2)图中共有对相似三角形(全等除外).

并请你任选其中一对加以证明.你选择的是.

【答案】(1)证明：

・•・△48C是等边三角形，

：.AC=BA,NAaD=NC=60°,

在△48。和△BCE中，

fAB=BC

'ZABD=ZC

BD=CE

^ABD^^BCE(&45);

(2)4对，分别是△JBOeZ\AEGXDBF^XDAB、XAFE^XACD、XAFB^XBAE,

选择证明XAEP^XBEA、

•••Z\ABC是等边三角形，

：.AC=BA,^C=ABAJS=60°,AC=BC,

•：BD=CE,

.'.AE=CD,

：.i\ACD^f\BAE(&45),

：.ADAC=/LABE,

又,；NAEF=/B"

XAEP^XBEA.

12.已知：点尸在△49C内，且满足N4PS=N4PC(如图)，/.APBV/_BAC=\^.

(1)求证：△E4Bs△尸&4;

(2)如果N4RB=120°,N4BC=90°,求上的值；

PB

(3)如果N84C=45°,且△ABC是等腰三角形，试求tan/PSC的值.

【答案】证明：(1)•••ZABP^ZBAP^ZAPB=180°,AAPB\-/_BAC=\^,

：.AABPi-ABAP^Z.APB=AAPBi-ABAC,

即N4戍斗N必24N4PS=N升N847斗NC4P,

：.AABP=A.CAP,

又：4APB=NAPC,

：./\PAB^/\PCA.

(2)如图1中，

•：^.APB^/_BAC=\^,£APB=12G°,

：./LBAC=(>0°,

在△4BC中，•••/4BC=90°,/_BAC=^,

•••AB-^-AC.

又「APABs^PCA,

.PB_PA_AB_1

"PA"PC"AC

.PBPBPA10npe“

PCPAPC4PB

(3)•：/LBAC=45°,LAP&rABAC=\^,/_APB=LAPC,

：.£APB=/_APC=\?>5°.

，N8PC=360°-Z.APB-ZAPC=360°-135°-135°=90°,

•/△PCMHPAB,

.PAPCAC

一而同K，

.PCPCPA/AC、2

PBPAPB、AB'

图2

当△45C是等腰三角形，且时，tan/PBC鼻=（黑'）2=1.

PBAD

②如图3中，

A

B

图3

当△4BC是等腰三角形，且48=BC时，/_ACB=/_BAC=^,ZA8C=90°,易得苗=/科

•■•tanZPBC=1|-=(^-)2=2-

③如图10-4,

图4

当△4BC是等腰三角形，且4C=8C时，NA5C=N84C=45°,N/C8=90°,易得设=爽,

AB2

Yan/PBC嗡=(零)29,

13.如图，在。488中，户是40上一点，且4f=3。?，班与CD的延长线交点E

(1)求证：4ABis/\CEB;

(2)若△。用1的面积为1,求。4B8的面积.

【答案】解：(1)证明：..・四边形4B8是平行四边形，

：.AA=/LCABHCD,

：.AABF=/_E,

：.AABP^/XCEB;

(2)在。48co中，ADUBC,

：.XDEP^XCEB,

又，：XABF^XCEB,

：.XABPsHDEF,

•：AF=3DF,△口£尸的面积为1,

:•SXAB产9■)

•：AD=BC=4DF,

:•S^CBE=16,

48co的面积=9+15=24.

14.如图，在正方形4BCD中，在BC边上取中点回连接。瓦过点E做EF_LED交AB于点G、交AD

延长线于点E

(1)求证：&ECEHDEF,

(2)若8=4,求/尸的长.

【答案】(1)证明：.•・四边形4BCD是正方形，EFLED,

:.乙FED=乙C=9G,BCIIAD,

：.LCED=/.FDE,

：.^ECD^^DEF-,

(2)解：•.•四边形488是正方形，

ZC=90°,AD=BC=CD=4,

YE为8C的中点，

：.CE=—BC=2,

2

在RtA7?CE中，由勾股定理得：DE=VCE2+DC2=V22+42=2^5，

•••XECEXDEF,

.CE=DE

,'瓦一所’

.2_2A/5

"275DF'

解得：。产=10,

•.AD=4,

4F=。产-40=10-4=6.

15.如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC,边长13an,边上的高40为6an,把它加工成正方

形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在4B、AC1.

(1)求证：△AEQZXA8G

(2)求这个正方形零件的边长.

【答案】解：(1)..•正方形EGHF,

：.EFHBC,

：.△AEfboAASC,

(2)谀EG=EF=x

,：XAEP^XABC

.EF=AK

一而一百，

.x_6-x

"13-"

._78

••x~~,

19

•..正方形零件的边长为餐

16.探究：如图①，在正方形/BCD中，点E在边BC上（点E不与点8、。重合），连结4E,过点E作

AELEF,EF交边CD于点、F,求证：XAB所〉ECF.拓展：如图②，△4BC是等边三角形，点。在边

BCY（点。不与点8、。重合），连结AD,以AD为边作N4DE=/4BGDE交边AC于氐E,若4B=

3,BD=x,CE=y,求了与x的函数关系式（不要求写出自变量*的取值范围）.

ZAJ3C=ZAEF=ZDCB=90"