考研数学答题技巧及汇总

2016考研数学二：高数必考重点及题型分析

重要度等

章节知识点题型

级

等价无穷小代换、洛必达

求函数的极限★★★★★

第一章函数、极限、法则、泰勒展开式

连续函数连续的概念、函数间判断函数连续性与间断点

★★★

断点的类型的类型

导数的定义、可导与连续按定义求一点处的导数，可

★★★★

之间的关系导与连续的关系

函数的单调性、函数的极

讨论函数的单调性、极值★★★★

第二章一元函数微值

分学闭区间上连续函数的性

质、罗尔定理、拉格朗日

微分中值定理及其应用★★★★★

中值定理、河西中值定理

和泰勒定理

积分上限的函数及其导

变限积分求导问题★★★★★

,数

第三章一元函数积

计算被积函数为有理函数、

分学有理函数、三角函数有理

三角函数有理式、简单无理★★

式、简单无理函数的积分

函数的不定积分和定积分

函数在一点处极限的存在

隐函数、偏导数、全微分性，连续性，偏导数的存在

的存在性以及它们之间性，全微分存在性与偏导数★★

第四章多元函数微

的因果关系的连续性的讨论与它们之

积分学

间的因果关系

二重积分的概念、性质及

二重积分的计算及应用★★★★★

计算

一阶线性微分方程、齐次

用微分方程解决一些应用

第五章常微分方程方程，微分方程的简单应★★★★★

问题

用

2016考研数学二：线性代数必考重点及题型分析

重要度等

章节知识点题型

级

第一章行列式行列式的运算计算抽象矩阵的行列式★★

第二章矩阵矩阵的运算求矩阵高次慕等★★★

矩阵的初等变换、初等矩阵与初等变换有关的命题★★★★★

向量组的线性相关及无关

向量组的线性相关性★★★★★

的有关性质及判别法

第三章向量

判定向量能否由向量组

线性组合与线性表示★★★★

线性表示

齐次线性方程组的基础解求齐次线性方程组的基

第四章线性方程组★★★★

系和通解的求法础解系、通解

实对称矩阵特征值和特征

向量的性质,化为相似对角有关实对称矩阵的问题★★★★★

第五章矩阵的特征值

阵的方法

和特征向里

相似变换、相似矩阵的概念相似矩阵的判定及逆向

★★★★

及性质题

二次型的概念求二次型的矩阵和秩★★

第六章二次型合同变换与合同矩阵的概

判定合同矩阵★★★

念

一、高等数学

L在题设条件中给出一个困数f(x)二阶和二阶以上可导，“不管三七二十一"，把

HX)在指定点展成泰勒公式。

2一在题设条件或欲证结论中有定积分表达式时，则“不管三七二十一”先用积分中

值定理对该积分式处理一下。

3一在题设条件中函数々x)在［a⑼上连续，在(a⑼内可导，且削尸0或f(b)=O或

f(a)=f(b)=O,则“不管三七二十一”先用拉格朗日中值定理处理。

4.对定限或受限积分，若被积函数或其主要部分为复合国数，贝『‘不管三七二十一”

先做变里替换使之成为简单形式鼠目。

二、线性代数

L题设条件与代数余子式.句或A*有关，则立即联想到用行列式按行(列)展开定理

以及AA*=A*A=AE。

2若涉及到A、B是否可交换，即AB=BA，则立即联想到用逆矩陈的定义去分析。

工若题设n阶方阵A满足我A)=0,要证aA+bE可逆，则先分解出因子aA-bE再说。

4.若要证明一组向里al,虱户，as线性无关，先考虑用定义。

5一若已知阳川，则将B的每列作为Ax=O的解来处理。

6.若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零。

7若已知A的特征向量，0,则先用定义ACO=A0<0处理。

S.若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则用定义处理。

数学高手教你五招考研数学考场答题技巧

考研数学备考，基础知识很重要，考生们需要打好基础，才能取得高分，但是，考试中的一

些解题技巧往往能够帮助大家提高解题效率及准确率，下面小编就为大家整理一些考研牛人的答

题技巧，希望大家认真阅读，灵活运用。

一、踩点得分

对于同一道题目,有的人理解得深，有的人理解得浅，有的人解答得多，有的人解答得少.

为了区分这种情况，阅卷评分办法是懂多少知识就给多少分。也叫踩点给分，即踩上知识点就得

分，踩得多就多得分。因此，对于难度较大的题目可以采用这一策略，其基本精神就是会做的题

目力求不失分，部分理解的题目力争多得分。因此，会做的题目要特别注意表达准确、逻辑清晰、

书写规范、语言严谨，防止被“分段扣点分”。

二、大题拿小分

有的大题难度比较大，确实啃不动。一个聪明的解题策略是，将它们分解为一系列的步骤，

或者是一个个小问题，先解决问题的一部分，能解决多少就解决多少，能演算几步就写儿步。尚

未成功不等于失败，特别是那些解题层次明显的题目，或者是已经程序化r的方法，每进行,步

得分点的演算都可以得分。最后结论虽然未得出，但分数却一过半。

三、以后推前

考生在解题过程中卡在某一步是很常见，这时可以换一种思路，也许就会柳暗花明又一村。

同学们可以把卡壳处空下来，先承认中间结论，再往后推，看能否得到结论。如果不能，说明这

个途径不对，立即改变方向；如果能得出预期结论，就回过头来，集中力量攻克这一“卡壳处”。

四、跳步解答

由于考试时间的限制，“卡壳处”来不及攻克了，那么可以把前面的写下来，再写出“证实

某步之后，继续有……”一直做到底，这就是跳步解答。也许，后来中间步骤又想出来，这时不

要乱七八糟插上去，可补在后面，“事实上，某步可证明或演算如下“，以保持卷面的工整。若

题目有两间，第一间想不出来，可把第一问作“已知”，“先做第二问"，这也是跳步解答。

五、以退求进

以退求进是一种重要的解题策略，也是做题的最高境界。如果你不能解决所提出的问题，那

么可以从一般退到特殊，从抽象退到具体，从复杂退到简单，从整体退到部分，从较强的结论退

到较弱的结论。总之，退到一个能够解决的问题。为了不产生“以偏概全”的误解，应开门见山

写上“本题分几种情况”。这样，还会为寻找正确的、一般性的解法提供有意义的启发。这个技

巧需要同学们做题做到一定境界来体会，如果可以做到这一步，那么什么难题都不是难题/.

作为考研人，唯一的目的就是考出高分考进梦想中的院校。

2015考研数学答题技巧一填空题

在考研数学中，填空题包含6道小题，每小题4分，共24分，填空题考查的知识点也是比

较基础的知识，但是主要考察考生的基本运算能力。最常用的技巧是“代入法”，考生可以把一

些特殊的数字带入的题目中去运算。填空题只是要最后的结果，不用写出运算步骤，因此我们只

要得出结果就行，不管用什么样的方法。因此，在做填空题时，方法和过程不重要，重要的是运

算结果，要用最简单、最有效的方法算出结果。考生在日常做题时要经常运用这些技巧，将填空

题计算常用的方法技巧烂熟于心，运用起来才更加得心应手。

填空题的答案也是唯一的，做题的时候给出最后的结果就行，不需要推导过程，同样也是答

对得满分，答错或者不答得。分，不倒扣分。这一部分的题目一般是需要一定技巧的计算，但不

会有太复杂的计算题。题H的难度与选择题不相上下，也是适中。填空题总共有6个，一般高数

4个，线代和概率各1个，主要考查的是考研数学中的三基本：基本概念、基本原理、基本方法

以及一些基本的性质。做这24分的题目时需要认真审题，快速计算，并且需要有融会贯通的知

识作为保障。

2015考研数学答题技巧一选择题

1.推演法。提示条件中给出一些条件或者一些数值，你很容易判断，那这样的题就用推演法

去做。推演法实际上是一些计算题，简单一点的计算题。那么从提示条件中往后推，推出哪个结

果选择哪个。

2.赋值法。给一个数值马上可以判断我们这种做法对不对，这个值可以加在给出的条件上，

也可以加在被选的4个答案中的其中几个上，我们加上去如果得出和我们题设的条件矛盾，或者

是和我们己知的事实相矛盾。比方说2小于1就是明显的错误，所以把这些排除了，排除掉3

个最后一个肯定是正确的。

3.举反例排除法。这是针对提示中给出的函数是抽象的函数，抽象的对立面是具体，所以我

们用具体的例子来核定，这个跟我们刚才的赋值法有某种相似之处。一般来讲举的范例是越简单

越好，而且很多考题你只要简单的看就可以看出他的错误点。

4.类推法。从最后被选的答案中往前推，推出哪个错误就把哪个否定掉，再换一个。我们推

出3个错误最后一个肯定是正确的。后面三种方法有些相似之处，类推法这种方法是费时费力的，

一般来讲我们不太用。

总结：经常进行自我总结，错题总结能逐渐提高解题能力。大家可以在学完每一章后，自己

通过画图的形式回忆这章有哪些知识点，有哪些定理，他们之间有些什么联系，如何应用等;对

做错的题分析一下原因：概念不清楚、定理用错了还是计算粗心?数学思维方法是数学的精髓，

只有对此进行归纳、领会、应用，才能把数学知识与技能转化为分析问题、解决问题的能力，使

解题能力“更上一层楼”。

2015考研数学答题技巧一证明题

1.结合几何意义记住零点存在定理、中值定理、泰勒公式、极限存在的两个准则等基本原

理，包括条件及结论。

知道基本原理是证明的基础，知道的程度（即就是对定理理解的深入程度）不同会导致不同的

推理能力。如2006年数学-真题第16题（1）是证明极限的存在性并求极限。只要证明了极限存

在，求值是很容易的，但是如果没有证明第一步，即使求出了极限值也是不能得分的。因为数学

推理是环环相扣的，如果第一步未得到结论，那么第二步就是空中楼阁。这个题目非常简单，只

用了极限存在的两个准则之一：单调有界数列必有极限。只要知道这个准则，该问题就能轻松解

决，因为对于该题中的数列来说，“单调性”与“有界性”都是很好验证的。像这样直接可以利

用基本原理的证明题并不是很多，更多的是要用到第二步。

2.借助几何意义寻求证明思路

一个证明题，大多时候是能用其几何意义来正确解释的，当然最为基础的是要正确理解题目

文字的含义。如2007年数学一第19题是一个关于中值定理的证明题，可以在直角坐标系中画出

满足题设条件的函数草图，再联系结论能够发现：两个函数除两个端点外还有一个函数值相等的

点，那就是两个函数分别取最大值的点（正确审题：两个函数取得最大值的点不一定是同一个点）

之间的一个点。这样很容易想到辅助函数F（x）=f（x）-g（x）有三个零点，两次应用罗尔中值定理

就能得到所证结论。再如2005年数学一第18题（1）是关于零点存在定理的证明题，只要在直角

坐标系中结合所给条件作出函数y=f(x)及y=『x在［0,1］上的图形就立刻能看到两个函数图形

有交点，这就是所证结论，重要的是写出推理过程。从图形也应该看到两函数在两个端点处大小

关系恰好相反，也就是差函数在两个端点的值是异号的，零点存在定理保证了区间内有零点，这

就证得所需结果。如果第二步实在无法完满解决问题的话，转第三步。

3.逆推法

从结论出发寻求证明方法。如2004年第15题是不等式证明题，该题只要应用不等式证明的

一般步骤就能解决问题：即从结论出发构造函数，利用函数的单调性推出结论。在判定函数的单

调性时需借助导数符号与单调性之间的关系，正常情况只需一阶导的符号就可判断函数的单调

性，非正常情况却出现的更多(这里所举出的例子就属非正常情况)，这时需先用二阶导数的符号

判定一阶导数的单调性，再用一阶导的符号判定原来函数的单调性，从而得所要证的结果。该题

中可设F(x)=ln*x-ln*a-4(x-a)/e*,其中eF(a)就是所要证的不等式。

对于那些经常使用如上方法的考生来说，利用三步走就能轻松收获数学证明的12分，但对

于从心理上就不自信能解决证明题的考生来说，却常常轻易丢失12分，后一部分同学请按“证

明三步走”来建立自信心，以阻止考试分数的白白流失。

考研数学：单选与证明题经典解题技巧

很多同学准备考研买了各种辅导机构的资料，大量练习认为这样的话一是能通过题复习知识点，

还有就是期望通过题海战术能做到考试真题。这种盲目的做题方法未必能高效提升成绩。同学们

一定要明确，做题不是目的，是为了更好的培养答题的感觉，理清思路，巩固知识点。对于考研

数学来说，题海无边但题型有限。我们可以通过对典型题型的练习，掌握相应的解题方法，能迅

速提高解题能力，节省考场上的宝贵时间。在此，我们数学教研室李老师为大家整理单选题和证

明题经典解题技巧。

一、单选题巧解技巧总结为五种方法：

第一种：推演法。提示条件中给出一些条件或者一些数值，你很容易判断，那这样的题就用推演

法去做。推演法实际上是一些计算题，简单一点的计算题。那么从提示条件中往后推，推出哪个

结果选择哪个。

第二种：赋值法。给一个数值马上可以判断我们这种做法对不对，这个值可以加在给出的条件上,

也可以加在被选的4个答案中的其中几个上，我们加上去如果得出和我们题设的条件矛盾，或者

是和我们已知的事实相矛盾。比方说2小于1就是明显的错误，所以把这些排除了，排除掉3

个最后一个肯定是正确的。

第三种：举反例排除法。这是针对提示中给出的函数是抽象的函数，抽象的对立面是具体，所以

我们用具体的例子来核定，这个跟我们刚才的赋值法有某种相似之处。一般来讲举的范例是越简

单越好，而且很多考题你只要简单的看就可以看出他的错误点o

第五种：类推。从最后被选的答案中往前推，推出哪个错误就把哪个否定掉，再换一个。我们推

出3个错误最后一个肯定是正确的。后面三种方法有些相似之处，类推法这种方法是费时费力的，

一般来讲我们不太用。

总结：经常进行自我总结，错题总结能逐渐提高解题能力。大家可以在学完每一章后，自己通过

画图的形式回忆这章有哪些知识点，有哪些定理，他们之间有些什么联系，如何应用等;对做错

的题分析一卜原因：概念不清楚、定理用错了还是计算粗心?数学思维方法是数学的精髓，只有

对此进行归纳、领会、应用，才能把数学知识与技能转化为分析问题、解决问题的能力，使解题

能力“更上一层楼”。

二、证明题总结为三大解题方法：

1.结合几何意义记住零点存在定理、中值定理、泰勒公式、极限存在的两个准则等基本原理，包

括条件及结论。

知道基本原理是证明的基础，知道的程度(即就是对定理理解的深入程度)不同会导致不同的推理

能力。如2006年数学一真题第16题(1)是证明极限的存在性并求极限。只要证明了极限存在，

求值是很容易的，但是如果没有证明第一步，即使求出了极限值也是不能得分的。因为数学推理

是环环相扣的，如果第一步未得到结论，那么第二步就是空中楼阁。这个题目非常简单，只用了

极限存在的两个准则之一：单调有界数列必有极限。只要知道这个准则，该问题就能轻松解决，

因为对于该题中的数列来说，"单调性''与"有界性''都是很好验证的。像这样直接可以利用基本原

理的证明题并不是很多，更多的是要用到第二步。

2.借助几何意义寻求证明思路。

一个证明题，大多时候是能用其几何意义来正确解释的，当然最为基础的是要正确理解题目文字

的含义。如2007年数学一第19题是一个关于中值定理的证明题，可以在直角坐标系中画出满足

题设条件的函数草图，再联系结论能够发现：两个函数除两个端点外还有一个函数值相等的点，

那就是两个函数分别取最大值的点(正确审题：两个函数取得最大值的点不一定是同一个点)之间

的一个点。这样很容易想到辅助函数F(x)=f(x)-g(x)有三个零点，两次应用罗尔中值定理就能得

到所证结论。再如2005年数学一第18题(1)是关于零点存在定理的证明题，只要在直角坐标系

中结合所给条件作出函数y=f(x)及y=l-x在［0,1］上的图形就立刻能看到两个函数图形有交点，

这就是所证结论，重要的是写出推理过程。从图形也应该看到两函数在两个端点处大小关系恰好

相反，也就是差函数在两个端点的值是异号的，零点存在定理保证了区间内有零点，这就证得所

需结果。如果第二步实在无法完满解决问题的话，转第三步。

3.逆推法

从结论出发寻求证明方法。如2004年第15题是不等式证明题，该题只要应用不等式证明的一般

步骤就能解决问题：即从结论出发构造函数，利用函数的单调性推出结论。在判定函数的单调性

时需借助导数符号与单调性之间的关系，正常情况只需一阶导的符号就可判断函数的单调性，非

正常情况却出现的更多(这里所举出的例子就属非正常情况)，这时需先用二阶导数的符号判定

一阶导数的单调性，再用一阶导的符号判定原来函数的单调性，从而得所要证的结果。该题中可

设F(x)=ln*x-ln*a-4(x-a)/e*,其中eF(a)就是所要证的不等式。

对于那些经常使用如上方法的考生来说，利用三步走就能轻松收获数学证明的12分，但对于从

心理上就不自信能解决证明题的考生来说，却常常轻易丢失12分，后一部分同学请按“证明三步

走”来建立自信心，以阻止考试分数的白白流失。

最后，李老师提醒大家：强化阶段大家应把复习过的知识系统化综合化，注意搞细搞透搞活，也

可适当做几套模拟题。数学题目千变万化，有各种延伸或变式，考生们要在考试中取得好成绩，

一定要脚踏实地地复习，华而不实靠押题碰运气是行不通的，多思多议，不断地总结经验与教训I,

做到融会贯通。

•jr

例1.(2010年数学一)极限一---f=()

A.1B.eC.产’D,4.

答案：A

特例法：首先，取a=0力=0,则结果显然是1,因此排除选项B.其次，由于a和b的地

位是一样的，即二者是“对称的“，因此排除C和D,结果为A.

例2.(2010年数一，数二)设函数z=z(xj)是由方程正(2,2]=0确定，其中尸为可

1XX)

微函数，且用*0,贝腾空+y当=()

otdy

A.xB.zC.-xD.-z

答案:B

特例法：为了满足题目条件并方便计算，不妨设FQ,v)=w+v,则尸(廿,2]=0化为

lx"

y+z=0,从而x包+y%=0-1y=-y=z,因此选项ACD都是错误的，只能选B.

dxdy

例3.(2011数学一和数学二)

己知/⑶在X=浏可导，田(0)=0则lim〃(x);2/(/)=()

A,-2/f(0)B.-/'(0)C.八0)D.0.

答案:B

特例法：为了区分四个选项并且满足题目条件，不妨取，(x)=x,则_r(o)=i

Hm//⑸12/(小)=xm小二狂=_],快速排除其他三个选项，只剩下选项B,因此

*TOXa。X

正确答案就是B。

例4.(2012年数一，数二，数三)设函数/(x)=(e*—3.一切，其中阀为正

整数，则/'(0)=()

答案：略

特例法：为了区分四个选项并满足题目条件，不妨取阀=2,则/0)=9*-1)(。2*-2),

则很容易选出正确答案来.

例5.(2012年数一)如果函数y(xj)在(0,0)点连续，那么下面命题正确的是()

A,若极限lim存在,则函数」(xj)在(0,0)点可微.

二:冈+|川

B,若极限Mm学*存在，则函数/。，内在(0,0)点可微.

C,若函数」(xj)在(0,0)点可微，则极Clim:_也存在.

二:|x|+|y|

D,若函数/(xj)在(0,0)点可微，则极限lim争当存在.

二次+/

答案:B

特例法：首先我们记得，若可微,则可偏导.因此对于选项A,令了（xj）=|x|+|川,它

在原点的偏导数显然不存在，因此它不可微。选项A是错误的.选项B是正确的.选项C

和D都是错误的，反例也很容易举出：/（xj）=x可微，但hm—--和都

二：团+|川二"+/

不存在.

例6.（2012年数二）设函数可微，且对任意的x,y都有空三星＞0,更包里＜0,

dxdy

则使不等式/（公,1yi）＜/（勺,乃）成立的一个充分条件是（）

A.再＞勺/1＜尸2B.再＞孙，》＞必C.再＜与，》＜乃D・毛＜工2，必＞^2・

答案：D

特例法：不妨取」（工,力=式-尸，对于这个函数，选项D是正确的，其他的都是错误的.

因此只能选D。

最权威的考研数学解题技巧——用最短的时间取得高分

第一部分：单选题的基本解题方法

1.推演法：从题设条件出发，按惯常思维运用有关的概念、性质、定理等，经过直接的推理、演算，

得出正确结论。

适用对象：对于围绕基本概念设置的，或备选项为数值形式结果的或某种运算律形式或条件为某种运

算形式的，常用推演法。

个人观点：这种方法应该是最常用的，井旦所有的题都能通过这种方法解出来，大家应该注重对基本

概念和定理的记忆和运用。

2.图示法：是指根据条件作出所研究问题的几何图形，然后借助几何图形的直观性，''看"出正确选项。

适用对象：对于条件有明显的几何意义：如五性：对称性，奇偶性，周期性，凹凸性，单调性或平面

图形面积，空间立体体积等，常用图示法。

个人观点：相信大家一定很喜欢这种解题方法吧，画图直观，简便，但一定要注意图形的准确性，一

点细微的概念差错也许会导致图形的错误。

3.赋值法：是指用满足条件的''特殊值"，包括数值、矩阵、函数以及几何图形，通过推理演算，得出

正确选项。

适用对象：对于条件中有......对任意，必……特征的题目，或选项为抽象的函数形式结果的，可用

赋值法。

个人观点：赋值法应该说是•种特殊的，而且最快速的方法，可惜适用范围比较狭窄，所以大家在用

这种方法时，一定要注意使用条件，不要遇到什么题都赋特殊值。

4.排除法：从题设条件出发，或利用推演法排错，或利用赋值法排错、从而得出正确结论。

适用对象：理论性较强，选项较抽象，且不易证明的题目。

个人观点：根据我的观察有些选择题，尤其是理论性的选择题，有些答案是相互矛盾的，也就是说二

者之中必有一对，所以建议大家遇到这种题时''聪明"一下。

5.逆推法：将备选项依次代入题设条件的方法。

适用对象：备选项为具体数值结果，且题干中含有合适的验证条件。

个人观点：这种方法对于有些题还是比较好用的，缺点就是如果正确选项放在A还好，如果放在D,

可能要浪费些时间了。

第二部分:单选题

1：只要遇到向量线性相关性问题，就要想到考查由其所构造的齐次线性方程组有无非零解，只要遇到

某向量能否由一向量组线性表示问题，就要想到考查由其构造的非齐次方程组有无解。

2：只要遇到无穷小比较或8.0型未定式极限问题;或通项中含有''反对三指”函数关系的数项级数的敛

散性问题，就要想到利用等价无穷小代换或皮亚诺型余项的泰勒公式求解。注：”反对三指"：反三角函数,

对数函数，三角函数，指数函数.

个人说明：大家应该熟记基本函数的泰勒公式，一般展开到三阶的就可以了。此外特提供不常见的三

个重要展开式：

arcsinx=x+x八3/3!+o(x八3)注：此公式后项无此规律！

tanx=x+xA3+o(xA3)注：此公式后项无此规律!

arctanx=x-x^3+o(xA3)

例：当x->0时，x-arcsinx是的_无穷小，根据arcsinx的泰勒公式，可以轻松得到为同阶不等价

无穷小。求极限十法

3：无穷比无穷型未定式极限值取决于分子，分母最高暴次无穷大项之比，0比0型未定式极限值取

决于分子，分母最低阶无穷小项之比。

4：只要遇到由积分上限函数确定的无穷小的阶的问题，则想到：

①积分上限变量与被积函数的无穷小因子可用等价无穷小代换之。

②两个由积分上限函数确定的无穷小量，若其积分上限无穷小同阶，则其阶取决于被积函数无穷小的

阶;若被积函数无穷小同阶或都不是无穷小，则其阶取决于积分上限无穷小的阶。

5：由''你导我不导减去我导你不导"应想到''你我”做商的函数的导数的分子。注：你-f(x),我-g(x)。

''你导我不导减去我导你不导''即f(x)/g(x)的导数的分子！

6：只要遇到积分区间关于原点对称的定积分问题，就要想到先考查被积函数或其代数和的每•部分是

否具有奇偶性。

7：①只要遇到类似8=人(2形式的条件问题，就要想到考查乘积因子中有无可逆矩阵，以此获得B与

A或B与C的秩的关系，进而讨论B与A或B与C的行(列)向量组的线性相关性的关系，或以B与A或

B与C为系数矩阵的齐次线性方程组的解的关系。

②越乘秩越小

③灵活运用单位矩阵的方法：招之即来，挥之即去。

8：只要遇到题干条件或备选项中有f(-x),-f(x),-f(-x)等，就要想到利用图形对称性求解。

9：只要遇到对积分上限函数求导问题，就要想到被积函数中是否混杂着求导变量(显含或隐含)若显

含时，即被积函数为求导变量函数与积分变量函数乘积(或代数和)若隐含时，则必须作第二类换元法，把

求导变量从被积函数中''挖"出来，其出路只有两条：一是显含在被积函数中，二是跑到积分限上。

10：只要遇到抽象矩阵求逆问题或矩阵方程问题，就要想到利用AB=E，即若AB=E(A,B为方阵),

则A,B均可逆，且A的逆矩阵=8,B的逆矩阵=人。

11：①相关组加向量仍相关

②无关组减向量仍无关

③无关组加分量仍无关

1.求极限请注意自变量趋向什么。我们知道：lim(x趋向O)sinx/x=l,但是当x趋向无穷

lirasinx/x=O,原因：无穷小量X有界函数=无穷小量。这里：|sinx|〈=l,1/x是无穷小量。再

次重申：请注意x趋向什么。

2.关于极限的保号性。若limf(x)=A,A>0或(A<0),则存在6>0,当x取x0的6去心

x->x0邻域时,f(x)>0(或f(x"0)。这是最原始结论：如果结论中不取去心邻域，那么结论

是错的。比如举例分段函数：当x=0时，f(x)=-l,当x不为。时,f(x)=x~2+L显然lim(x

趋向0)f(x)=l>0,然而并不满足f(x)>0(在x=0处)。介绍这个定理的作用：解一类题。请看：

已知f(x)可导，且当x趋向0,limf(x)/|x|=L判断f(x)是否存在极值点。因为f(x)可导,

那么f(x)必连续，因为lim(x趋向0)f(x)/|x|=l这个极限存在且为1,那么我们得到结论：lim(x

趋向O)f(x)=O,否则不会存在极限的,又因为f(x)连续，那么f(0)=0,令f(x)"x|=g(x),根

据保号性，因为limg(x)=l>0,那么：g(x)>0,那么由于lx|在x趋向0时>0,所以f(x)〉O,而

0=f(0)，所以f(x)＞f(0),根据极小值的定义,x=0为f(x)的极小值点。★综上：已知limg(x)=a,

a的正负已知，可以使用保号性。

3.请注意当题目说：x趋向无穷时，那么题目包含两个意思：x趋向正无穷和x趋向负无

穷。在含有e'x,arctanx,等等类的题目时，请看清楚x趋向无穷还是趋向正无穷或者是负无

穷。补充：在含有绝对值的题目时，这点尤其重要，如果说x趋向无穷，那么在去|时，必须考

虑|x|中x是趋向正无穷还是负无穷，当然题目不一定非要以绝对值出现，有些题会以J(x，2)

出现。

4.关于和差化积积化和差公式的记忆。8字II诀：同c异s,s异c同。前者用来记住积化

和差，后者用来记住和差化积。举例：sinacosb=?因为它们的三角函数名异名，那么使用s,

sinacosb=(l/2)(sin(a+b)+sin(a-b)),★说明：1,纯粹个人记忆方法，接受不了也正常；2,

这个口诀的使用基于你知道=右边的基础轮廓，比如所有的积化和差，右边是1/2(()+(或者

-)0);3,实在不会，死记硬背吧，或者请教别的大神。

5.关于极值点的3种判别法：■法一：定义法；・法二：若f(x)可导，f'(xo)=0,且f''

(x)不为0,则f(x)在xo处取得极值，若二阶导＜0,取得极大；＞0,极小。法三：(n阶判别法):

若f'(xo)=二阶导(xo)="=nT阶导(xo)=0,且n阶导不为0,若n为偶数，且n阶导＞0,极小，

反之，极大；若n为奇数，n阶导不等于0,则(xo,f(x。)为拐点，X。不是极值点.证明：略

6.参数方程二阶导问题(无数不懂事的孩子搞不清楚)，我们说一般地，y''表示对x的二阶

导数,不是对参数t的二阶导数。y''=/2y/dx'2=[d(dy/dx)]/dx,对于求dy/dx,我们采用求

关于t的y'(t),和关于t的x'(t),因为dy/dx=(dy/dt)X(dt/dx)=y'(t)/x'(t)。举例：已

知y=cost,x=t'2,那么求dy/dx,d'2y/dx'2«标准解答：1：y'(t)=-sint,x*(t)=2t.所以

dy/dx=~sint/2t；2：d~2y/dx~2=d(dy/dx)/dx={d[(-sint)/2t]}/dt*

(dt/dx)=(-tcost+sint)/(4t'3).....★综上:二阶导是一个整体记号，不是简单的除法。

7.等价无穷小只能使用于乘除(题外：其实它可以使用于加减的，这里不说，以防混淆)。

比如：初学者可能会认为这个极限为0,lim(x趋向0)(tanx-sinx)/x~3=0[计算思路：

(x-x)/x”3=0],事实上它等于1/2.原因：提取tanx后等价无穷小。等价无穷小必须自己去背的，

没有人可以帮你。

8.对隐函数求导的问题很多同学搞不清楚。错误一：把变量当做常量。比如：y=x-x,标准

解答lny=xlnx,两边对x求导，y'/y=l+lnx,所以y'=(x~x)(1+lnx)。错误做法:y=x~x,

y'=x(x.(xT))=x%。(但愿你们找到了错误在哪)，错误二：搞不清楚对x求导是什么意思。当

然：y=x~2求导大家都会吧,y'=2x,当出现对y~2=x~2,很多同学就迷茫了，我们说y是x的函

数，所以最后必须乘y',对y~2=x~2求导，得到：2yy'=2x.再则：对隐函数求导我们把其中一

个看成常量,比如y=yx+x~2,那么求导：y'=y+y'x+2x。★综上:对隐函数求导，若是单独y,

求导为y',一切关于y的函数仕匕如y~2,Iny,a~y等)，先对这个函数求导再乘y'.

9.函数在某点可导的本质仅仅是该点的问题，与它的邻域无关，也就是说点可导，在中心

点的去心邻域内的点未必可导。比如函数f(x)=0当x是有理数。

f(x)=x"2当x是无理数。

只在x=0处点连续，并可导-按定义可验证在x=0处导数为0.

10.无穷小X有界=无穷小，但是：无穷大X有界未必等于无穷大。正确结论：无穷大X有

界=未知，比如：当x趋向正无穷，X,x~2始终为无穷大，而1/x,l/x~2为有界量。注意到：

x*(l/x'2)=l/x就是一个无穷小,而x'2*(l/x)=x却是无穷大，而X*(l/x)=l却是有限的。

1L可导与连续是完全不一样的。有些同学看到题目说某个分段函数在某点xo连续，特别

开心，他说易得：左导=右导=f(xo),你太天真了。其实：连续是说左极限=右极限=f(xo),可导

是；lim(x->xo)f(x)=f(x。)，且左导=右导。请搞清楚你要处理的问题。不要学了一个学期都是

云里雾里，当然一学期没上过一节课的同学，除外。补充：在一元函数微分学中，可导必然连续,

连续未必可导(这个显然嘛，y」x在x=0处连续但是不可导)。

12.很多初学者认为：/(a到x)f(t)dt中，变量是t,这是错的，你忽略了变限积分的来历,

自己去回顾一下变限积分的来历是大有裨益的。记住：这里x是变量，它求导=f(x)。

13.还有人问为什么高等数学中分母可以为0,他说比如0/0不是以0为分母，他的错误在

于没有搞清楚我们所说的0不是真正的初等数学中的数字0,它表示极限0,由于极限等于0,

我们习惯称为0/0形式。也就是说：若没有lim这个符号，0/0没有意义。事实上：再比如：货

真价实的数字1,「无穷=1,若是(极限无穷，则结果待定。★★★高等数学中由于极限的

四则运算包括基指数运算无法解决形如：0/0,厂无穷，无穷/无穷，等等7类运算。为此，产生

了7种特殊的式子：不定式。由于结果不确定，所以称之为不定式。.......♦综上：我们现在

学的是高等数学，几乎所有问题都是放在极限这个概念下讨论，但是你不能抛弃原有的初等数学

知识理论，并且注意区分。

14.求数列极限不可直接使用洛必达，数列是整标函数，每个孤立点不连续，不可导，故不

符合洛必达的条件1,为此：正确做法：先令n为x,再使用洛必达，最后换为n.

15.无穷大的倒数是无穷小，无穷小的倒数是无穷大［但是请注意：这里的无穷小除去了0。

16.x趋向0,limsinx/x=l不可以使用洛必达法则证明，原因：(sinx)'=cosx这个公式的

证明使用了limsinx/x=l,所以犯了循环论证的错误〜

17.关于洛必达法则的运用条件绝非0/0,无穷/无穷那么简单。洛必达的3个条件：

(1)xfa时，limf(x)=0,limF(x)=O;

(2)在点a的某去心邻域内f(x)与F(x)都可导，且F(x)的导数不等于0;

(3)xfa时，lim(f'(x)/E'(x))存在或为无穷大

则xfa时,lim(f(x)/F(x))=lim(f'(x)/F'(x)),♦♦♦请注意：1,第三点很容易

被忽略，一般地：含有lim(x趋向无穷)sinx,或者cosx,是不会采用洛必达的；2,在解含有

抽象函数f(x)时尤其注意第二点，在求最后一步导时我们使用的是导数定义，也就是你不能不

停地洛必达直到把它洛出来，因为你不确定它最后一步时是否满足第二个条件，所以每次做含有

抽象函数的题使用洛必达+最后一步使用导数定义！3,单侧极限对于第二点的要求只是去心邻

域内单侧可导。(如果你不注意以上这些，虽然在平常考试时有些老师不在意，但是如果你考研

的话是会扣一半分以上的)

18.一般地：我们有以下结论：lim(x趋向xo)f(x)=a,则必然有lim(x趋向xo)【f(x)]=|a'。

注意：★若a不为0,上述结论的逆命题未必成立[大多是不成立的],若a=0,上述结论逆命题

仍然成立！

19.并不是所有二元函数极限都可以使用极坐标求解[尽管极坐标是一个好方法]。在使用极

坐标时，应该同时注意到：6和Q的任意性。比如：(x)y)趋向(0,0),求lim(xy)/(xy),容

易证明该极限不存在(一条路径:y=x,另一条:y=x~2-x),倘若使用极坐标，则得：limp(cos

Osine)/(cosO+sin0),此时有分母出现0的可能(取。=45度)，因此不确定该极限是否存

在，本法失效，或者说：你无法证明(cos9sin9)/(cos0+sin0)有界。综上：倘若使用极坐

标，须同时考虑()，P的任意性，不可盲目使用。

20.注意仅当y=f(x)时有：y'=f'(x)。若y=f(・),■不等于x时，y'不等于比

如：y=f(x.2),y'=f'(x~2)2x,而不是等于f'(x-2)。下面说明f'(■)和[£(■)]'的区别:f(■)

表示已知f'(x)的表达式，并且把■当做x代入，这个过程是代值过程；而[f(・)]'的意思是

求导，至于对谁求导，则根据■确定。注意：仅当・=x时，f'(■)=[«■)]',即：f(x)=[f(x)「,

其他情况没有这个式子。综上：[£(・)]'=f。

21.一元函数中说f(x)连续可导不是指f(x)既连续又可导，“连续可导”意思是说f(x)的

导函数连续。...........................ps：f(x)的导函数连续当然有f(x)既可导又连续,

反之不然。

22.还有多少人不会三角函数中辅助角的两个公式：asinx+bcosx=V(a-2+b'2)sin(x+u),其

中u=arctan(b/a),强制要求a>0；asinx+bcosx=V(a-2+b"2)cos(x+u),其中u=arctan(-a/b),

强制要求b>0。...............................................Bps：为什么要强制要

求？［以第一个为例，第二个同理］原因在于：我们既然采用了用u=arctan［b/a］来确定u的值，

好处在于u在［-派/2,派/2］上是---对应的(因为y=tanx在该范围内单调)，事实上，u的范围

就是［-派/2,派/2］,由此我们再来看给出的公式:asinx+bcosx=V(a*2+b"2)sin(x+u),将右边

展开得:V(a"2+b"2)cosusinx+7(a-2+b_2)sinucosx,根据待定系数原则可得：cosu=a/V

(a.2+b、2),倘若我们不控制a>0,比如取a<0的话，那么cosu〈0,显然u的范围已经落在二三

象限中去了，而我们规定u在［-派/2,派/2］,即一四象限，由此出现矛盾，所以a必须大于0,

u的范围才吻合公式左右。

23.有谁考虑过为什么要强制要求重积分中上限不小于下限？其实，原因很简单。在于：d

力，d(),dp>dx,dy,dz,dr都是正数。

24.一个关于三角换元小疑问的研究与解答。我相信不止一个人考虑过这个问题。请看：求

定积分1=/［0,a］V［a"2-x'2］dx,当然可以用而积来做，这里为了说明疑问，不用面积做，而

用三角换元做。.........★书上对定积分换元法的说明是这样的：设f(x)在［a,b］上连续，【当

t从a变至IJB时，x=4>(t)要从<|>(a)=a(单调地)变到6(B)=b,这里不必要求小(t)单调，即不

必要求x=<D(t)有反函数存在】，但不允许x=4>(t)的取值变到区间［a,b］之外。此外，还要求小

(t)在［a,0］上具有连续的导数6'(t),这时，定积分的换元公式才成立。...................

■：简单说就是满足两个条件，单值加连续导数。.......・下面来做本题：则

dx=acostdt,【当x=0时，t取0,x=a时，t取：派/2】，对于这个【】里面的过程有些同学

无法接受，［问题1］凭什么x=0,t要取0,为什么不可以取派或者别的使得式子成立的t?［问

题2］凭什么一定要上限〉下限。解答问题1：首先为了满足单值，不可以取一个形如［派，5派

/2］的区间去对应原来的［0,a］尽管相对于x

尽管相对乂=251也来说不存在任何问题，但是你忽略了定积分换元的条件［单值］,在此区间

［派，5派/2］内x=asint不是单值的［意思是：☆x=k,解得I不唯一］。所以不能取一个区间不

满足单值的。比如：你取一个［0,派/2］这样的就是合适的，当然你取［派，派/2］这个也是对的，

为什么请看证明？我们无疑地知道1=/［0,a］［用面积显然］,下面通过

计算来说明为什么取t属于［派，派/2］也是正确的。I=/［0,a］J［a.2-x,2］dx=J［派到(派

/2)］a|cost|costdt,［说明:这里开根号注意是绝对值］,由于此t的范围是［派，派/2］,所以

cost〈0,去绝对值时请注意这点，下面再用降幕公式易证答案正确。.........ps：你取任何

一个单值区间满足题意都是正确的。只不过计算过程的问题。......................解答

问题2：事实［问题1］证明在换元时可以上限〈下限。■:综上：三角换元可以取你想取的值,

但是请注意使用条件以及计算的简便化。末了附注：本题中a>0

25.收敛级数加括号仍然收敛，发散级数加括号未知；正项级数敛散形不受加括号的影响。

超经典的考研数学考点与题型归类分析总结

1高数部分

1.1高数第一章《函数、极限、连续》

000

求极限题最常用的解题方向：I.利用等价无穷小；2.利用洛必达法则，对于不型和一型的题目直接用

000

八80100000

洛必达法则，对于u、co、1型的题目则是先转化为大型或一型，再使用洛比达法则；3.利用

000

X

重要极限，包括Jim—=1lim+lima++）、=e；4.夹逼定理。

.v->0SinxXf0XT8

1.2高数第二章《导数与微分》、第三章《不定积分》、第四章《定积分》

第二章《导数与微分》与前面的第一章《函数、极限、连续》、后面的第三章《不定积分》、第四章

《定积分》都是基础性知识，一方面有单独出题的情况，如历年真题的填空题第•题常常是求极限；更重

要的是在其它题目中需要做大量的灵活运用，故非常有必要打牢基础。

对于第三章《不定积分》，陈文灯复习指南分类讨论的非常全面，范围远大于考试可能涉及的范围。

在此只提醒一点：不定积分F(x)+C中的积分常数c容易被忽略，而考试时如果在答

案中少写这个c会失一分。所以可以这样建立起二者之间的联系以加深印象：定积分的结果