（课标全国版）高考数学第一轮复习讲练测 第49讲 计数原理 排列与组合（讲）原卷版+解析

第49讲计数原理排列与组合【学科素养】1.结合“分类”“分步”完成一件事，考查对分类加法计数原理和分步乘法计数原理的理解及简单应用，凸显数学建模的核心素养．2．结合排列、组合的概念及两个计数原理，考查常见排列、组合问题的解法，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养．3．结合排列数、组合数公式，考查常见排列数、组合数问题的化简及计算，凸显数学运算的核心素养．【课标解读】1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能正确区分“类”和“步”，并能利用两个原理解决一些简单的实际问题.2.理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题.3.理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题.【备考策略】从近三年高考情况来看，预测2022年高考将会综合考查两个计数原理与排列组合知识、有条件限制的排列、组合问题、排列、组合与其他知识的综合问题。试题以客观题的形式呈现，难度不大，属中、低档题型。【核心知识】1．两个计数原理分类加法计数原理分步乘法计数原理条件完成一件事有两类不同方案．在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法完成一件事需要两个步骤．做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法结论完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法完成这件事共有N＝m·n种不同的方法2．排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列组合合成一组3．排列数与组合数(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用Aeq\o\al(m,n)表示．(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用Ceq\o\al(m,n)表示．(3)全排列：把n个不同元素全部取出来按照一定的顺序排列起来，叫做n个不同元素的全排列．用Aeq\o\al(n,n)表示n个不同元素的全排列数．4．排列数、组合数的公式及性质公式(1)Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\f(n！,n－m！)；(2)Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)＝eq\f(n！,m！n－m！)性质(1)0！＝eq\a\vs4\al(1)；Aeq\o\al(n,n)＝eq\a\vs4\al(n！)；(2)Ceq\o\al(m,n)＝eq\a\vs4\al(C\o\al(n－m,n))；Ceq\o\al(m,n＋1)＝eq\a\vs4\al(C\o\al(m,n)＋C\o\al(m－1,n))【高频考点】高频考点一分类加法计数原理例1．哈六中开展劳动教育，决定在5月12日植树节派小明、小李等5名学生去附近的两个植树点去植树，若小明和小李必须在同一植树点，且各个植树点至少去两名学生，则不同的分配方案种数为()A．8 B．10C．12 D．14【变式探究】甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A，B，C三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人．其中甲必须去A社区，乙不去B社区，则不同的安排方法种数为()A．8 B．7C．6 D．5命题点二分步乘法计数原理例2．已知某教学大楼共有四层，每层都有东、西两个楼梯，则从一层到四层不同的走法种数为()A．32 B．23C．43 D．242．有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有()A．21种 B．315种C．153种 D．143种高频考点三两个计数原理的综合应用例3．(1)将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数的个数为()A．72 B．120C．192 D．240(2)现有5种不同的颜色，给如图所示的几何体的五个顶点P，A，B，C，D涂色，要求同一条棱上的两个顶点颜色不能相同，则不同的涂色方法有()A．240种 B．360种C．420种 D．480种【方法技巧】(1)涂色问题一般是综合利用两个计数原理求解，但也有几种常用方法：按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析；以颜色为主分类讨论，适用于区域、点、线段等问题，用分类加法计数原理分析；将空间问题平面化，转化成平面区域的涂色问题．(2)分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类并且只属于其中一类；分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，只有完成每一步，整件事才算完成．若综合利用两个计数原理，一般先分类再分步．【变式探究】中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示1～9的一种方法，则据此，3可表示为“≡”，26可表示为“＝⊥”．现有6根算筹．据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以表示的两位数的个数为()A．9 B．13C．16 D．18高频考点四排列问题例4.3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数．(1)选其中5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体站成一排，男、女各站在一起；(4)全体站成一排，男生不能站在一起．【方法技巧】求解排列应用问题的5种主要方法适用于没有限制条件的问题优先安排特殊元素或特殊位置把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的间隔中正难则反，等价转化的方法【变式探究】某国际会议结束后，中、美、俄等21国领导人合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在前排正中间位置，美、俄两国领导人也站前排并与中国领导人相邻，如果对其他国家领导人所站位置不做要求，那么不同的站法共有()A．Aeq\o\al(18,18)种 B．Aeq\o\al(20,20)种C．Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,18)Aeq\o\al(10,10)种 D．Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(18,18)种高频考点五组合问题例5．（2023·山东省高考真题）某值日小组共有5名同窗，假设任意安排3名同窗负责教室内的地面卫生，其余2名同窗负责教室外的走廊卫生，那么不同的安排方式种数是（）A．10 B．20 C．60 D．100【变式探究】(2020·新高考全国卷Ⅰ)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有()A．120种 B．90种C．60种 D．30种【变式探究】已知男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1人．选派5人外出比赛．在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男运动员3名，女运动员2名；(2)至少有1名女运动员；(3)队长中至少有1人参加；(4)既要有队长，又要有女运动员．【方法技巧】组合问题的2种题型及解法题型解法“含有”或“不含有”某些元素的组合“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取“至少”或“至多”含有几个元素的组合解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理【变式探究】在新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、政治、历史、地理6门．学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是()A．若任意选科，选法总数为Ceq\o\al(2,4)B．若化学必选，选法总数为Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)C．若政治和地理至少选一门，选法总数为Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)D．若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)＋1高频考点六排列与组合的综合应用例6.（2023·全国高考）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A．60种 B．120种 C．240种 D．480种【变式探究】由数字1，2，3，4，5组成无重复数字的五位数.（1）共可以组成多少个五位数？（2）其中奇数有多少个？（3）如果将所有的五位数按从小到大的顺序排列，43125是第几个数？说明理由.第49讲计数原理排列与组合【学科素养】1.结合“分类”“分步”完成一件事，考查对分类加法计数原理和分步乘法计数原理的理解及简单应用，凸显数学建模的核心素养．2．结合排列、组合的概念及两个计数原理，考查常见排列、组合问题的解法，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养．3．结合排列数、组合数公式，考查常见排列数、组合数问题的化简及计算，凸显数学运算的核心素养．【课标解读】1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能正确区分“类”和“步”，并能利用两个原理解决一些简单的实际问题.2.理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题.3.理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题.【备考策略】从近三年高考情况来看，预测2022年高考将会综合考查两个计数原理与排列组合知识、有条件限制的排列、组合问题、排列、组合与其他知识的综合问题。试题以客观题的形式呈现，难度不大，属中、低档题型。【核心知识】1．两个计数原理分类加法计数原理分步乘法计数原理条件完成一件事有两类不同方案．在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法完成一件事需要两个步骤．做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法结论完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法完成这件事共有N＝m·n种不同的方法2．排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列组合合成一组3．排列数与组合数(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用Aeq\o\al(m,n)表示．(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用Ceq\o\al(m,n)表示．(3)全排列：把n个不同元素全部取出来按照一定的顺序排列起来，叫做n个不同元素的全排列．用Aeq\o\al(n,n)表示n个不同元素的全排列数．4．排列数、组合数的公式及性质公式(1)Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\f(n！,n－m！)；(2)Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)＝eq\f(n！,m！n－m！)性质(1)0！＝eq\a\vs4\al(1)；Aeq\o\al(n,n)＝eq\a\vs4\al(n！)；(2)Ceq\o\al(m,n)＝eq\a\vs4\al(C\o\al(n－m,n))；Ceq\o\al(m,n＋1)＝eq\a\vs4\al(C\o\al(m,n)＋C\o\al(m－1,n))【高频考点】高频考点一分类加法计数原理例1．哈六中开展劳动教育，决定在5月12日植树节派小明、小李等5名学生去附近的两个植树点去植树，若小明和小李必须在同一植树点，且各个植树点至少去两名学生，则不同的分配方案种数为()A．8 B．10C．12 D．14【答案】A【解析】当小明和小李单独去一个植树点时，有2种不同的分配方案；当小明和小李与另外一人去一个植树点时，有2×3＝6种不同的分配方案，则共有6＋2＝8种不同的分配方案，故选A.【变式探究】甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A，B，C三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人．其中甲必须去A社区，乙不去B社区，则不同的安排方法种数为()A．8 B．7C．6 D．5【答案】B【解析】根据题意，分两种情况讨论：①乙和甲一起去A社区，此时将丙、丁二人安排到B，C社区即可，有2种情况．②乙不去A社区，则乙必须去C社区，若丙、丁都去B社区，有1种情况；若丙、丁中有1人去B社区，则先在丙、丁中选出1人，安排到B社区，剩下1人安排到A或C社区，有2×2＝4种情况．故不同的安排方法有2＋1＋4＝7种．命题点二分步乘法计数原理例2．已知某教学大楼共有四层，每层都有东、西两个楼梯，则从一层到四层不同的走法种数为()A．32 B．23C．43 D．24【答案】B【解析】根据题意，教学大楼共有四层，每层都有东、西两个楼梯，则从一层到二层，有2种走法，同理从二层到三层、从三层到四层也各有2种走法，则从一层到四层共有2×2×2＝23种走法．2．有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有()A．21种 B．315种C．153种 D．143种【答案】D【解析】由题意，选一本语文书一本数学书有9×7＝63种，选一本数学书一本英语书有7×5＝35种，选一本语文书一本英语书有9×5＝45种，∴共有63＋35＋45＝143种选法．故选D.高频考点三两个计数原理的综合应用例3．(1)将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数的个数为()A．72 B．120C．192 D．240(2)现有5种不同的颜色，给如图所示的几何体的五个顶点P，A，B，C，D涂色，要求同一条棱上的两个顶点颜色不能相同，则不同的涂色方法有()A．240种 B．360种C．420种 D．480种【解析】(1)将数字“124467”重新排列后所得数字为偶数，则末位数应为偶数，若末位数字为2，因为含有2个4，所以有eq\f(5×4×3×2×1,2)＝60(种)情况；若末位数字为6，同理有60种情况；若末位数字为4，则有5×4×3×2×1＝120(种)情况．综上，共有60＋60＋120＝240(种)情况．(2)当顶点A，C同色时，顶点P有5种颜色可供选择，顶点A有4种颜色可供选择，顶点B有3种颜色可供选择，此时顶点C与顶点A同色，只有1种颜色可选，顶点D有3种颜色可选，不同的方法共有5×4×3×1×3＝180种；当顶点A，C不同色时，顶点P有5种颜色可供选择，顶点A有4种颜色可供选择，顶点B有3种颜色可供选择，此时顶点C与顶点A不同色，有2种颜色可选，顶点D有2种颜色可选，不同的方法共有5×4×3×2×2＝240种．综上，不同的方法共有180＋240＝420种，故选C.【答案】(1)D(2)C【方法技巧】(1)涂色问题一般是综合利用两个计数原理求解，但也有几种常用方法：按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析；以颜色为主分类讨论，适用于区域、点、线段等问题，用分类加法计数原理分析；将空间问题平面化，转化成平面区域的涂色问题．(2)分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类并且只属于其中一类；分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，只有完成每一步，整件事才算完成．若综合利用两个计数原理，一般先分类再分步．【变式探究】中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示1～9的一种方法，则据此，3可表示为“≡”，26可表示为“＝⊥”．现有6根算筹．据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以表示的两位数的个数为()A．9 B．13C．16 D．18【答案】C【解析】根据题意，6根算筹可以表示的数字组合为(1,5)，(1,9)，(2,4)，(2,8)，(6,4)，(6,8)，(3,3)，(3,7)，(7,7)．数字组合(1,5)，(1,9)，(2,4)，(2,8)，(6,4)，(6,8)，(3,7)中，每组可以表示2个两位数，则可以表示2×7＝14个两位数；数字组合(3,3)，(7,7)中，每组可以表示1个两位数，则可以表示2×1＝2个两位数．综上，共可以表示14＋2＝16个两位数．故选C.高频考点四排列问题例4.3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数．(1)选其中5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体站成一排，男、女各站在一起；(4)全体站成一排，男生不能站在一起．【解析】(1)问题即为从7个元素中选出5个全排列，有Aeq\o\al(5,7)＝2520种排法．(2)前排3人，后排4人，相当于排成一排，共有Aeq\o\al(7,7)＝5040种排法．(3)相邻问题(捆绑法)：男生必须站在一起，是男生的全排列，有Aeq\o\al(3,3)种排法；女生必须站在一起，是女生的全排列，有Aeq\o\al(4,4)种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有Aeq\o\al(2,2)种排法，由分步乘法计数原理知，共有N＝Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(2,2)＝288(种)．(4)不相邻问题(插空法)：先安排女生共有Aeq\o\al(4,4)种排法，男生在4个女生隔成的五个空中安排共有Aeq\o\al(3,5)种排法，故N＝Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(3,5)＝1440(种)．【方法技巧】求解排列应用问题的5种主要方法适用于没有限制条件的问题优先安排特殊元素或特殊位置把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的间隔中正难则反，等价转化的方法【变式探究】某国际会议结束后，中、美、俄等21国领导人合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在前排正中间位置，美、俄两国领导人也站前排并与中国领导人相邻，如果对其他国家领导人所站位置不做要求，那么不同的站法共有()A．Aeq\o\al(18,18)种 B．Aeq\o\al(20,20)种C．Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,18)Aeq\o\al(10,10)种 D．Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(18,18)种【答案】D【解析】中国领导人站在前排正中间位置，美、俄两国领导人站前排并与中国领导人相邻，有Aeq\o\al(2,2)种站法；其他18国领导人可以任意站，因此有Aeq\o\al(18,18)种站法．根据分步乘法计数原理可知，共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(18,18)种站法．故选D.高频考点五组合问题例5．（2023·山东省高考真题）某值日小组共有5名同窗，假设任意安排3名同窗负责教室内的地面卫生，其余2名同窗负责教室外的走廊卫生，那么不同的安排方式种数是（）A．10 B．20 C．60 D．100【答案】A【解析】从5人当选取3人负责教室内的地面卫生，共有种安排方式．（选取3人后剩下2名同窗干的活就定了），故选A。【变式探究】(2020·新高考全国卷Ⅰ)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有()A．120种 B．90种C．60种 D．30种【答案】C【解析】先从6名同学中选1名安排到甲场馆，有Ceq\o\al(1,6)种选法，再从剩余的5名同学中选2名安排到乙场馆，有Ceq\o\al(2,5)种选法，最后将剩下的3名同学安排到丙场馆，有Ceq\o\al(3,3)种选法，由分步乘法计数原理知，共有Ceq\o\al(1,6)·Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(3,3)＝60(种)不同的安排方法．故选C.【变式探究】已知男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1人．选派5人外出比赛．在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男运动员3名，女运动员2名；(2)至少有1名女运动员；(3)队长中至少有1人参加；(4)既要有队长，又要有女运动员．【解析】(1)第1步，选3名男运动员，有Ceq\o\al(3,6)种选法；第2步，选2名女运动员，有Ceq\o\al(2,4)种选法，共有Ceq\o\al(3,6)·Ceq\o\al(2,4)＝120(种)选法．(2)法一：至少有1名女运动员包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．由分类加法计数原理可得总选法数为Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(4,6)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(4,4)Ceq\o\al(1,6)＝246(种)．法二：“至少有1名女运动员”的反面为“全是男运动员”，可用间接法求解．从10人中任选5人有Ceq\o\al(5,10)种选法，其中全是男运动员的选法有Ceq\o\al(5,6)种．所以“至少有1名女运动员”的选法为Ceq\o\al(5,10)－Ceq\o\al(5,6)＝246(种)．(3)法一：直接法可分类求解：“只有男队长”的选法为Ceq\o\al(4,8)；“只有女队长”的选法为Ceq\o\al(4,8)；“男、女队长都入选”的选法为Ceq\o\al(3,8)；所以共有2Ceq\o\al(4,8)＋Ceq\o\al(3,8)＝196(种)选法．法二：间接法从10人中任选5人有Ceq\o\al(5,10)种选法．其中不选队长的方法有Ceq\o\al(5,8)种．所以“至少有1名队长”的选法为Ceq\o\al(5,10)－Ceq\o\al(5,8)＝196(种)．(4)当有女队长时，其他人任意选，共有Ceq\o\al(4,9)种选法．不选女队长时，必选男队长，共有Ceq\o\al(4,8)种选法，其中不含女运动员的选法有Ceq\o\al(4,5)种，所以不选女队长时的选法共有Ceq\o\al(4,8)－Ceq\o\al(4,5)种．所以既有队长又有女运动员的选法共有Ceq\o\al(4,9)＋Ceq\o\al(4,8)－Ceq\o\al(4,5)＝191(种)．【方法技巧】组合问题的2种题型及解法题型解法“含有”或“不含有”某些元素的组合“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取“至少”或“至多”含有几个元素的组合解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理【变式探究】在新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、政治、历史、地理6门．学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是()A．若任意选科，选法总数为Ceq\o\al(2,4)B．若化学必选，选法总数为Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,3)C．若政治和地理至少选一门，选法总数为Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\