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文档简介
2024届浙江省杭二中高三六校第一次联考数学试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.在中,,,,为的外心,若,,,则()A. B. C. D.2.已知实数,满足约束条件,则目标函数的最小值为A. B.C. D.3.某部队在一次军演中要先后执行六项不同的任务,要求是:任务A必须排在前三项执行,且执行任务A之后需立即执行任务E,任务B、任务C不能相邻,则不同的执行方案共有()A.36种 B.44种 C.48种 D.54种4.已知函数,则方程的实数根的个数是()A. B. C. D.5.在平面直角坐标系中,锐角顶点在坐标原点,始边为x轴正半轴,终边与单位圆交于点,则()A. B. C. D.6.执行如图所示的程序框图,则输出的的值是()A.8 B.32 C.64 D.1287.已知向量,是单位向量,若,则()A. B. C. D.8.已知集合,则()A. B. C. D.9.某公园新购进盆锦紫苏、盆虞美人、盆郁金香,盆盆栽,现将这盆盆栽摆成一排,要求郁金香不在两边,任两盆锦紫苏不相邻的摆法共()种A. B. C. D.10.下图所示函数图象经过何种变换可以得到的图象()A.向左平移个单位 B.向右平移个单位C.向左平移个单位 D.向右平移个单位11.已知双曲线的左、右顶点分别为,点是双曲线上与不重合的动点,若,则双曲线的离心率为()A. B. C.4 D.212.若满足,且目标函数的最大值为2,则的最小值为()A.8 B.4 C. D.6二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.抛物线的焦点坐标为______.14.秦九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法,如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例,若输入,的值分別为4,5,则输出的值为______.15.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是______cm2,体积是_____16.已知,则______,______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)为了检测某种零件的一条生产线的生产过程,从生产线上随机抽取一批零件,根据其尺寸的数据得到如图所示的频率分布直方图,若尺寸落在区间之外,则认为该零件属“不合格”的零件,其中,s分别为样本平均数和样本标准差,计算可得(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).(1)求样本平均数的大小;(2)若一个零件的尺寸是100cm,试判断该零件是否属于“不合格”的零件.18.(12分)已知数列,其前项和为,满足,,其中,,,.⑴若,,(),求证:数列是等比数列;⑵若数列是等比数列,求,的值;⑶若,且,求证:数列是等差数列.19.(12分)已知函数.(1)讨论的零点个数;(2)证明:当时,.20.(12分)一个工厂在某年里连续10个月每月产品的总成本(万元)与该月产量(万件)之间有如下一组数据:1.081.121.191.281.361.481.591.681.801.872.252.372.402.552.642.752.923.033.143.26(1)通过画散点图,发现可用线性回归模型拟合与的关系,请用相关系数加以说明;(2)①建立月总成本与月产量之间的回归方程;②通过建立的关于的回归方程,估计某月产量为1.98万件时,产品的总成本为多少万元?(均精确到0.001)附注:①参考数据:,,,,.②参考公式:相关系数,,.21.(12分)已知在中,角,,的对边分别为,,,且.(1)求的值;(2)若,求面积的最大值.22.(10分)如图,湖中有一个半径为千米的圆形小岛,岸边点与小岛圆心相距千米,为方便游人到小岛观光,从点向小岛建三段栈道,,,湖面上的点在线段上,且,均与圆相切,切点分别为,,其中栈道,,和小岛在同一个平面上.沿圆的优弧(圆上实线部分)上再修建栈道.记为.用表示栈道的总长度,并确定的取值范围;求当为何值时,栈道总长度最短.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】
首先根据题中条件和三角形中几何关系求出,,即可求出的值.【详解】如图所示过做三角形三边的垂线,垂足分别为,,,过分别做,的平行线,,由题知,则外接圆半径,因为,所以,又因为,所以,,由题可知,所以,,所以.故选:D.【点睛】本题主要考查了三角形外心的性质,正弦定理,平面向量分解定理,属于一般题.2、B【解析】
作出不等式组对应的平面区域,目标函数的几何意义为动点到定点的斜率,利用数形结合即可得到的最小值.【详解】解:作出不等式组对应的平面区域如图:目标函数的几何意义为动点到定点的斜率,当位于时,此时的斜率最小,此时.故选B.【点睛】本题主要考查线性规划的应用以及两点之间的斜率公式的计算,利用z的几何意义,通过数形结合是解决本题的关键.3、B【解析】
分三种情况,任务A排在第一位时,E排在第二位;任务A排在第二位时,E排在第三位;任务A排在第三位时,E排在第四位,结合任务B和C不能相邻,分别求出三种情况的排列方法,即可得到答案.【详解】六项不同的任务分别为A、B、C、D、E、F,如果任务A排在第一位时,E排在第二位,剩下四个位置,先排好D、F,再在D、F之间的3个空位中插入B、C,此时共有排列方法:;如果任务A排在第二位时,E排在第三位,则B,C可能分别在A、E的两侧,排列方法有,可能都在A、E的右侧,排列方法有;如果任务A排在第三位时,E排在第四位,则B,C分别在A、E的两侧;所以不同的执行方案共有种.【点睛】本题考查了排列组合问题,考查了学生的逻辑推理能力,属于中档题.4、D【解析】
画出函数,将方程看作交点个数,运用图象判断根的个数.【详解】画出函数令有两解,则分别有3个,2个解,故方程的实数根的个数是3+2=5个故选:D【点睛】本题综合考查了函数的图象的运用,分类思想的运用,数学结合的思想判断方程的根,难度较大,属于中档题.5、A【解析】
根据单位圆以及角度范围,可得,然后根据三角函数定义,可得,最后根据两角和的正弦公式,二倍角公式,简单计算,可得结果.【详解】由题可知:,又为锐角所以,根据三角函数的定义:所以由所以故选:A【点睛】本题考查三角函数的定义以及两角和正弦公式,还考查二倍角的正弦、余弦公式,难点在于公式的计算,识记公式,简单计算,属基础题.6、C【解析】
根据给定的程序框图,逐次计算,结合判断条件,即可求解.【详解】由题意,执行上述程序框图,可得第1次循环,满足判断条件,;第2次循环,满足判断条件,;第3次循环,满足判断条件,;第4次循环,满足判断条件,;不满足判断条件,输出.故选:C.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出,其中解答中认真审题,逐次计算,结合判断条件求解是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.7、C【解析】
设,根据题意求出的值,代入向量夹角公式,即可得答案;【详解】设,,是单位向量,,,,联立方程解得:或当时,;当时,;综上所述:.故选:C.【点睛】本题考查向量的模、夹角计算,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力,求解时注意的两种情况.8、C【解析】
解不等式得出集合A,根据交集的定义写出A∩B.【详解】集合A={x|x2﹣2x﹣30}={x|﹣1x3},,故选C.【点睛】本题考查了解不等式与交集的运算问题,是基础题.9、B【解析】
间接法求解,两盆锦紫苏不相邻,被另3盆隔开有,扣除郁金香在两边有,即可求出结论.【详解】使用插空法,先排盆虞美人、盆郁金香有种,然后将盆锦紫苏放入到4个位置中有种,根据分步乘法计数原理有,扣除郁金香在两边,排盆虞美人、盆郁金香有种,再将盆锦紫苏放入到3个位置中有,根据分步计数原理有,所以共有种.故选:B.【点睛】本题考查排列应用问题、分步乘法计数原理,不相邻问题插空法是解题的关键,属于中档题.10、D【解析】
根据函数图像得到函数的一个解析式为,再根据平移法则得到答案.【详解】设函数解析式为,根据图像:,,故,即,,,取,得到,函数向右平移个单位得到.故选:.【点睛】本题考查了根据函数图像求函数解析式,三角函数平移,意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.11、D【解析】
设,,,根据可得①,再根据又②,由①②可得,化简可得,即可求出离心率.【详解】解:设,,,∵,∴,即,①又,②,由①②可得,∵,∴,∴,∴,即,故选:D.【点睛】本题考查双曲线的方程和性质,考查了斜率的计算,离心率的求法,属于基础题和易错题.12、A【解析】
作出可行域,由,可得.当直线过可行域内的点时,最大,可得.再由基本不等式可求的最小值.【详解】作出可行域,如图所示由,可得.平移直线,当直线过可行域内的点时,最大,即最大,最大值为2.解方程组,得..,当且仅当,即时,等号成立.的最小值为8.故选:.【点睛】本题考查简单的线性规划,考查基本不等式,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
变换得到,计算焦点得到答案.【详解】抛物线的标准方程为,,所以焦点坐标为.故答案为:【点睛】本题考查了抛物线的焦点坐标,属于简单题.14、1055【解析】
模拟执行程序框图中的程序,即可求得结果.【详解】模拟执行程序如下:,满足,,满足,,满足,,满足,,不满足,输出.故答案为:1055.【点睛】本题考查程序框图的模拟执行,属基础题.15、20+45,8【解析】试题分析:由题意得,该几何体为三棱柱,故其表面积S=2×1体积V=12×4×2×2=8,故填:20+4考点:1.三视图;2.空间几何体的表面积与体积.16、【解析】
利用两角和的正切公式结合可得出的方程,即可求出的值,然后利用二倍角的正、余弦公式结合弦化切思想求出和的值,进而利用两角差的余弦公式求出的值.【详解】,,,.故答案为:;.【点睛】本题主要考查三角函数值的计算,考查两角和的正切公式、两角差的余弦公式、二倍角的正弦公式、余弦公式以及弦化切思想的应用,难度不大.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)66.5(2)属于【解析】
(1)利用频率分布直方图的平均数公式求解;(2)求出,即可判断得解.【详解】(1)(2)所以该零件属于“不合格”的零件【点睛】本题主要考查频率分布图中平均数的计算和应用,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18、(1)见解析(2)(3)见解析【解析】试题分析:(1)(),所以,故数列是等比数列;(2)利用特殊值法,得,故;(3)得,所以,得,可证数列是等差数列.试题解析:(1)证明:若,则当(),所以,即,所以,又由,,得,,即,所以,故数列是等比数列.(2)若是等比数列,设其公比为(),当时,,即,得,①当时,,即,得,②当时,,即,得,③②①,得,③②,得,解得.代入①式,得.此时(),所以,是公比为1的等比数列,故.(3)证明:若,由,得,又,解得.由,,,,代入得,所以,,成等差数列,由,得,两式相减得:即所以相减得:所以所以,因为,所以,即数列是等差数列.19、(1)见解析(2)见解析【解析】
(1)求出,分别以当,,时,结合函数的单调性和最值判断零点的个数.(2)令,结合导数求出;同理可求出满足,从而可得,进而证明.【详解】解析:(1),,当时,,单调递减,,,此时有1个零点;当时,无零点;当时,由得,由得,∴在单调递减,在单调递增,∴在处取得最小值,若,则,此时没有零点;若,则,此时有1个零点;若,则,,求导易得,此时在,上各有1个零点.综上可得时,没有零点,或时,有1个零点,时,有2个零点.(2)令,则,当时,;当时,,∴.令,则,当时,,当时,,∴,∴,,∴,即.【点睛】本题考查了导数判断函数零点问题,考查了运用导数证明不等式问题,考查了分类的数学思想.本题的难点在于第二问不等式的证明中,合理设出函数,通过比较最值证明.20、(1)见解析;(2)①②3.386(万元)【解析】
(1)利用代入数值,求出后即可得解;(2)①计算出、后,利用求出后即可得解;②把代入线性回归方程,计算即可得解.【详解】(1)由已知条件得,,∴,说明与正相关,且相关性很强.(2)①由已知求得,,所以,所求回归直线方程为.②当时,(万元),此时产品的总成本约为3.386万元.【点睛】本题考查了相关系数的应用以及线性回归方程的求解和应用,考查了计算能力,属于中档题.21、(1);(2).【解析】分析:(1)在式子中运用正弦、余弦定理后可得.(2)由经三角变换可得,然后运用余弦定理可得,从而得到,故得.详解:(1)由题意及正、余弦定理得,整理得,∴(2)由题意得,∴,∵,∴,∴.由余弦定理得,∴,,当且仅当时等号成立.∴.∴面积的最大值为.点睛:(1
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