高数极值与值

第九章第10节10.1无条件极值与最值10.2条件极值,拉格朗日乘数法10.3*最小二乘法多元函数的极值与最值10.1无条件极值与最值

定义

则称函数在该点取得例如,在点

(0,0)

处有极小值

0

;在点

(0,0)

处有极大值

1

;在点

(0,0)

处无极值.极大值和极小值统称为使函数取得极值的点称为的某邻域内,有则称函数在该点取得若函数极大值

.极小值

.极值.极值点.若在某邻域内,有注

例如,定理1(极值的必要条件)设函数处存在偏导数,证

函数取极值的必要条件可知(1)式成立.取得极值,取得极值,处取得极值.但驻点不一定是有驻点(0,0),但在该点不取极值.并且在该点取得极值,则有故(1)

在根据一元(2)函数在不可导的点也可能取得极值例如,极值点

.(这些点不是驻点!)在点(0,0)处不存在偏导数,但是函数在该点有极小值

0

.驻点.

(1)

使偏导数都为0的点称为定理2(极值的充分条件)的某邻域内具有二阶连续偏导数,令A<0

时取极大值

;A>0

时取极小值

.证若函数并且则有:在点具有极值没有极值.不能确定,

需要另行讨论

.从略.补充例求函数解

得驻点:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).在点(1,0)

处为极小值

.解方程组的极值.求二阶偏导数在点(3,0)处不是极值;在点(3,2)处为极大值.在点(1,2)处不是极值;补充例和(

0

,

0

)

处是否取得极值.解在点

(0,0)

的邻域内的取值可能为正,

因此函数在点并且在

(

0

,

0

)

处有函数(此时判别法失效).可能为负,在(0,

0)

处不取极值.

因此函数在(0,

0)

处取得极小值

0

.

(

0

,

0

)

是这两个函数的驻点

,讨论函数函数的最值若函数f(x

,y

)

在有界闭区域上连续,因此,函数取最值的可疑点:边界上的最值点.根据定理2.2,则f(

x

,y

)

在该区域上存在最大值和最小值.若函数的最值在区域的内部取得,则最值点必为极值函数的最值也可能在边界上取得,此时最值点不是极值点,点.极值点.函数的最大值和最小值统称为函数的最值.函数取得最值的点称为函数的最值点.求函数最值的步骤:只有一个可能的极值点时,函数f(

x

,

y

)

一定在区域(1)求出f(

x

,y

)

在该区域的内部的所有使得偏导数为零的点

(

即驻点

),(2)求出f(

x

,y

)

在区域边界上的最值点.若根据问题的实际意义知道

,并且f(

x

,y

)

在区域的内部内部取得最大值(或最小值),则函数在该点的函数值就是函数的最大值(相应地

,最小值).以及函数不可导的点.(3)比较函数在这些点的函数值,其中最大的一个为函数的最大值,最小的一个为函数的最小值.例10.2求函数在区域上的最大值和最小值.解先求出f(

x

,y

)在

D

内的所有驻点.

解出驻点为令

函数没有不可导的点.在驻点处的函数值为再求出函数在边界上的最值.在边界上

满足代入消去

x

,得到

y

的函数令解出算出在这两点和区间的端点处的函数值:将作些值与f(

x

,y

)

在区域内部驻点处的值比较,得到f(

x

,y

)

在

D

上的最大值和最小值分别为例10.3设水箱长,宽分别为x,y(m),水箱所用材料的面积为令得驻点某厂要用铁板做一个体积为8m3根据问题的意义可知,的有盖长方问当长

,宽

,高各取怎样的尺寸时,才能使用料因此可断定此唯一驻点就是函数取最小值的点.当长

,宽

,高均为2m时,水箱所用材料最省.体水箱.则高为故解最省?值

.即函数S

在定义域内一定取得最小补充例

有一宽为24cm的长方形铁板

,把它折起来做设折起来的边长为xcm,则断面面积为x24成一个断面为等腰梯形的水槽.倾角为

,面积最大?问怎样折法才能使断面解令解得:由题意知,最大值在定义域

D内达到,而在域

D

内只有一个驻点,故此点即为所求.10.2条件极值拉格朗日乘数法极值问题无条件极值:条件极值

:条件极值的求法:方法1代入法求一元函数的无条件极值问题.对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它限制条件例如

,转化方法

2

拉格朗日乘数法如方法

1

所述,因此函数可确定隐函数根据一元函数取得极值的必条件在

x0

取得极值.故有取得极值等价于一元函数在要条件,应有即(1)引入辅助函数函数F称为得条件极值的点.条件(2)变为

再根据问题的实际意义判断在这些点是否记(2)(3)利用条件(3)可以求出函数可能取则条件(1)变为这种方法称为取得极值.拉格朗日函数.拉格朗日乘数法.拉格朗日乘数法可推广到多个自变量令解方程组可得到条件极值的可疑点

.例如,

求函数下的极值.在条件和多个约束条件的情形.例10.4求函数在条件最大值和最小值.解并且令(1)(2)(3)代入(3)式得到因此从而显然不是方程组的解,故函数可能的条件极值点为下的函数下的最值的何意义是,的交线上的最高点和最低点的竖坐标.因此这个最大值和最小值是存在的.因为所以函数在约束条件下的最大值为最小值为即与柱面平面在约束条件在约束条件解求函数例10.5和下的最值.并且令写出拉格朗日函数(1)(2)(3)(4)(5)得到解出

由方程(1),(2),(3)得到

(1)(2)(3)(4)(5)(6)将(6)式故不是方程组的解,由于代入(5)式,并且整理得到

解出代入(6)得把代入(7)得到两个可能的极值点:(7)代入(4)得在这两点处类似地,当时,可以得到另外两个可能的极值点:在这两点处由于所求的最值等价于原点到曲线的距离的平方的最值,因此这个最大值和最小值是存在的.就是所求的最大值和最小值.所以和如果注意到即后,在解出注立即得到函数

u

的两个可能的条件极值这样可以大大简化计算.补充例求表面积为

a2则问题化为在条件令解方程组设长方体的长

,宽

,高为

x

,y

,z

.