高考真题分类练习-函数与方程

第八节函数与方程、函数

模型及应用

［文档副标题］

PL

［日期］

WWW.YLMF.COM

［公司地址］

第八节函数与方程、函数模型及应用

高考试题

考一点二.…函数的一雯点与方程一的根…

1.(2012年湖北卷，文3)函数f(x)=xcos2x在区间［0,2“］上的零点的个数为()

(A)2(B)3(C)4(D)5

解析:要使f(x)=xcos2x=0,则x=0,或cos2x=0,而在区间［0,2n］上，通过观察y=cos2x的函数图象，易得

兀3兀5兀7兀

满足cos2x=0的X的值有一，——，一，——，所以零点的个数为5个.

4444

答案:1)

2.(2012年北京卷，文5)函数f(x)=的零点个数为()

(A)0(B)l(C)2(D)3

\trM亦，

1

词

2一

-

解析:函数f(x)=--(；)

'的零点个数为函数p(x)=》3与函数q(x)图象的交点个数.在同一坐标

系内画出p(x)=^与q(x)=J)的图象如图所示,两图象只有一个交点，...函数f(x)=J：5的零点

个数为1.故选B.

答案:B

3.(2012年湖南卷,文9)设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2”的偶函数,f'(x)是f(x)的导函数.

TI(兀)

当x£［0,n］时,0<f(x)<l;当xW(0,冗)且xW一时，X------f'(x)>0,则函数y=f(x)-sinx在

2I2

［-2冗，2n］上的零点个数为()

(A)2(B)4(05(D)8

解析：・・・f(x)是最小正周期为2n的偶函数,

Af(x+2n)=f(x)=f(-x),

・・・y二f(x)的图象关于y轴和直线x二n对称,

兀

・・・0<x<一时,伊(X)<0.

2

7T

同理一《<兀时,「(x)>0.

2

又・・・o<：x<n时,o〈f(x)q,

・・.y=f(x)的大致图象如图所示.

又函数y=f(x)-sinx在［-2"，2"］上的零点个数o函数y=f(x)与y=sinx图象的交点个数，由图可知共有

四个交点.故选B.

答案:B

4.(2011年新课标全国卷,文10)在下列区间中，函数f(x)=e"+4x-3的零点所在的区间为()

11

(A)(--,0)(B)(0,-)

44

1113

(c)(一,—)(D)(―,-)

4224

1=e2+4X一-3=&-l>0,

解析：(-)

2

111

F(―)=e4+i-3=e4-2<0,

4

且f(x)单调递增，

1I

.•.f(x)=e'+4x-3的零点所在的区间为(一，一).

42

故选C.

答案:C

5.(2010年天津卷，文4)函数f(x)=e'+x-2的零点所在的一个区间是()

(A)(-2,-1)(B)(-1,0)

(0(0,1)(D)(l,2)

解析：因为f(0)=e°-2=-l<0,f(l)=el+l-2=e-l>0,所以选C.

答案:C

1

6.(2010年浙江卷，文9)已知X。是函数f(x)=2x+---的一个零点，若x£(1,xo),(x0,+8),则()

1-X

(A)f(x,)<0,f(x2)<0(B)f(x,)<0,f(x2)>0

(C)f(x,)>0,f(xz)<0(D)f(x,)>0,f3)>0

解析：函数f(x)在(1,+8)上单调递增,且f(Xo)=0,因此f(X,)<0,f(x2)>0.故选B.

答案:B

7.(2011年辽宁卷，文16)已知函数f(x)=e*-2x+a有零点，则a的取值范围是.

解析：函数f(x)=e-2x+a有零点，

即方程f(x)=0有解，即-a=e'-2x有解，

设g(x)=e*-2x,

因为g'(x)=e”-2,当x>ln2时,g'(x)>0;

当x<ln2时,g'(x)<0,

所以函数g(x)有极小值，极小值就是最小值g(ln2)=2-21n2,

由-ae2-21n2,得a的取值范围为(-8,21n2-2].

答案：(-8⑵n2-2]

8.(2011年山东卷,理16)已知函数f(x)=log,x+x-b(a>0,且aKl).当2<a〈3〈b〈4时，函数f(x)的零点

x<iG(n,n+1),nGN*,则n=.

解析:对函数f(x),

,.-2<a<3<b<4,

，f(2)=log.2+2-b<1+2-b=3-b<0,

f(3)=log.3+3-b>l+3-b=4-b>0.

即f(2)f(3)<0,

易知f(x)在(0,+8)上单调递增，

；.f(x)存在唯一的零点X。,且x°e(2,3),

n=2.

答案：2

考点二一…函数模型及其缝合应用一…

—x~+2光,x<0,

L(2013年新课标全国卷I,文12)已知函数f(x)=〈,、若If(x)|》ax,则a的取值范围是

ln(x+l),x>0.

()

(A)(-8,o](B)(-oo,1]

(0[-2,1](D)[-2,0]

解析：由不等式恒成立问题求参数,综合性较强,考查分类讨论与数形结合思想.

当xWO时,f(X)=-X2+2X=-(X-1)Z+1W0,

所以If(x)|月ax,

即为x2-2x>ax.

当xWO时，所以a》x-2,

即a>-2验证知a>-2时，|f(x)|Oax(xWO)恒成立.

当x>0时，f(x)=ln(x+l)>0,

所以If(x)|》ax化简为ln(x+l)>ax恒成立，

由函数图象可知aWO,

综上,当-2WaW0时,不等式|f(x)|Max恒成立.故选D.

答案:D

2.(2013年辽宁卷，文12)已知函数f(x)=x2-2(a+2)x+a2,g(x)=-x2+2(a-2)x-a2+8.设

Hi(x)=max{f(x),g(x)},Hz(x)=min{f(x),g(x))(max(p,q}表示p,q中的较大值,min{p,q}表示p,q中的较小

值).记H,(x)的最小值为A,H2(X)的最大值为B,则A-B等于()

(A)a2_2a-16(B)a2+2a-16

(0-16(D)16

y-x2-2(a+2)x-a2(l)

解析:联立《，\…

y——x+2(a—2)x—o-+8(2)

①-②得

Xi=a-2,x2=a+2,

如图中虚线部分即为H,(x)图象,实线部分为H2(X)的图象,

则A、B分别为Xi,均处函数值，

且AWB,

由(a-2)~~2(a+2)(a-2)+a'~(a+2)2+2(a+2)2-a2=16知，A~B=~16.故选C.

答案:C

3.(2013年天津卷，文8)设函数f(x);ex+x-2,g(x)=lnx+x?-3.若实数a,b满足f(a)=0,g(b)=0,贝ij()

(A)g(a)<0<f(b)(B)f(b)<0<g(a)

(C)0<g(a)<f(b)(D)f(bXg(aXO

解析：由f(x)=e,+x-2为增函数，

f(a)=e9+a-2=0,f(0)<0,f(l)>0,

所以,0<a<l,g(a)=lna+a2-3<0,

由g(x)在定义域内为增函数，

g(b)=lnb+b2-3=0,

且g(l)<0,g(2)>0,所以Kb<2.

f(b)=eb+b-2>0,

综上得,g(a)<O〈f(b),故选A.

答案:A

4.(2012年山东卷,文12)设函数f(x)=—,g(x)=-x2+bx.若y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且仅有两个不

X

同的公共点A(xi,yi),B(x2,yj,则下列判断正确的是()

(A)xi+x2>o,y)+y2>0

(B)XI+X2>0,yi+y2<0

(C)xi+x2<o,yi+y2>0

(D)Xi+xX0,yi+y2<0

d+bf+1

解析：由f(x)-g(x)=O得-----------=0,设F(x)=x"bx'l,则F(x)=0有且仅有两个不同的根Xi,x2,由

X

F'(x)=3xJ2bx=0得x=0或x=gb,这样必须且只需F(0)=0或=0,因为F(0)=l,故必有F(g力)=0,

,3次2r

由此得b=-----，不妨设x)<x2,则x2=—b=v2,

23

所以F(x)=(x-xi)(x-^2尸，比较系数得-=1,

故XF--V2,xi+x2=-->/2>0,

22

11X.+x2

故yi+y2=—+—=-----------

%x2xtx2

答案:B

5.(2010年浙江卷,文16)某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元,预测六月份销售额为500万元，

七月份销售额比六月份递增x%,八月份销售额比七月份递增x%,九、十月份销售总额与七、八月份销售总额

相等.若一月份至十月份销售总额至少达7000万元,则x的最小值是.

解析:依题意

3860+500+2[500(1+x%)+500(1+x%)2]》7000,

化简得(X%¥+3.x%>0.64,

所以x'20或xW-320(舍去).

即x的最小值为20.

答案:20

V2

6.(2013年辽宁卷，文21)(1)证明：当x£[0,1]时，--xWsinxWx;

2

X

(2)若不等式ax+x2+—+2(x+2)cosxW4对x£[0,1]恒成立,求实数a的取值范围.

2

(1)证明：记F(x)=sinx--------x,

2

则F'(x)=cosx-------

2

当时,F'(x)>0,

兀

F(x)在0,-上是增函数;

4

71

F(x)在一，1上是减函数.

_4_

又因为F(0)=0,F(l)>0,

所以当xG[0,1]时,F(x)00,

&

即sinx2------x.

2

记H(x)=sinx-x,

则当x£(0,1)时，

H'(x)=cosx-l<0,

所以,H(x)在[0,1]上是减函数，

则H(x)WH(O)=O,

即sinxWx.

V2

综上，---xWsinxWx,xW[0,1].

2

(2)解：因为当x£[0,1]时，

333

9X,X,X,X(\/2)

ax+x+—+2(x+2)cosx-4=(a+2)x+x"+------4(x+2)sin"-W(a+2)x+x+-------4(x+2)------=(a+2)x,

2222[4)

所以，当aW-2时，

尤3_

不等式ax+x2+—+2(x+2)cosxW4对x£[0,1]恒成立.

2

下面证明，当a>-2时，

,X3_

不等式ax+x2+—+2(x+2)cosxW4对x£[0,1]不恒成立.

2

/x3XX3

因为当x£[0,1]时，ax+x2+—+2(x+2)cosx-4=(a+2)x+x2+-----4(x+2)sin2—2(a+2)x+x2+—

2222

⑶2223

,a+21.2xl

所以存在xoE(0,1)(例如X。取---和7中的较小值)满足axo+/+2(x<>+2)cosx«-4>0,

即当a>-2时，

,丁一

不等式ax+x-+—+2(x+2)cosx-4W0对xW[0,1]不恒成

2

综上,实数a的取值范围是(-8,-2].

模拟试题

考点二….函数的零点.与方程的根…

l,x>0,

1.(2012西安一模)已知符号函数sgn(x)=<0,X=0,则函数f(x)=sgn(lnx)Tnx的零点个数为()

-l,x<0,

(A)l(B)2(03(D)4

解析:依题意得f(x)=sgn(lnx)~lnx

1-Inx,x>1,

-Inx,x=1,

-l-lnx,0<x<1,

1

令f(x)=0得x=e,1,一，所以函数有3个零点.故选C.

答案:c

2.(2011浙江省金华十校高考模拟考试)已知a是函数f(x)=lnx-logjx的零点,若0<xo<a,则f(X。)的值满

2

足()

(A)f(xo)=0(B)f(x«)>0

(C)f(xoXO(D)f(x(t)的符号不确定

解析:因为函数f(x)=lnx-log,x在(0,+8)上是增函数,且f(a)=0,又0<x«a,所以f(x<1)<0.故选C.

2

答案:c

x,x<0,

3.(2013青岛高三一模)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-m有三个不同零点,则实数m的

x-x,x>0,

取值范围为()

(A)4J(B)4J

(c),0

I4)(D)I-?0

解析：函数g(x)有三个不同零点，即函数y=f(x)与y=m的图象有三个交点.在同一坐标系中作出它们的图象.

由图知满足条件的m的取值范围为<m<0.故选C.

4

答案:C

V1—x

4.(2012安徽合肥第一次质检)函数f(x)=--------m有零点的充要条件是_______.

x+3

V1-X2_A/1-X2

解析:函数f(x)=---------m有零点即方程---------01=0有实数根,

X+3X+3

令y二-------，TWxWl,

冗+3

令x+3=t(2WtW4),

，一*+6「一8」一一+6，-8

贝Uy=-------------=-------；------

再令一邛(一WpW-),

t42

则y=y-8p2+6/2-1,

可求得0W-8P?+6pTW—,

8

，即』。，立

于是owA/-8p~+6p-1w

44

所以函数有零点的充要条件是』。，且

4

答案:

考.点二….函数模型及综.合应用.…

1.（2012广东汕头模拟）某足球俱乐部为救助失学儿童在其所在省体育中心体育场举行一场足球义赛,预计

卖出门票2.4万张,票价有3元、5元和8元三和I且票价3元和5元的张数的积为0.6（万张尸.设x是门票

的总收入,经预算，扣除其他各项开支后,此次足球义赛的纯收入函数为y=lg2X,则这三种门票分别为

万张时为失学儿童募捐纯收入最大.

解析:设3元、5元、8元门票的张数分别为a、b、c,

o+〃+c=2.4,①

则〈ab=0.6,②

x=3a+5b+8c,③

①代入③有

x=19.2-(5a+3b)W19.2-2y/15ab=13.2(万元),

5a—3b,

当且仅当《时等号成立，解得a=0.6,b=l,c=0.8.

ab=0.6

由于y=lg2、为增函数，即此时y也恰有最大值.

故三种门票分别为0.6、1、0.8万张时为失学儿童募捐纯收入最大.

答案:0.6,1,0.8

2.（2012湖南十二校联考）某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1000万元的

投资收益.现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：资金y（单位:万元）随投资收益x（单位:万元）的增加

而增加,且资金不超过9万元，同时资金不超过收益的20%.

%

（1）请分析函数y=—+2是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因;

150

10x-3a

（2）若该公司采用函数模型y=---------作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值.

x+2

x

解：(1)对于函数模型y=f(x)=—+2,

150

当XW[10,1000]时,f(x)为增函数,

100020

f(x),„,=f(1000)=-----+2=—+2<9,

1503

所以f(x)W9恒成立，

110

但当x=10时，f(10)=—+2>—,

155

x,

即f(x)Wg不恒成立,

X

故函数模型y=—+2不符合公司要求.

150

10x-3a

(2)对于函数模型y=g(x)=---------

x+2

3。+20

即g(x)=10---------,

x+2

20

当3a+20>0,即a>----时递增，

3

为使g(x)W9对于xw[10,1000]恒成立,

982

即要g(1000)W9,即——，

3

X

为使g(x)w—对于xe[io,1000]恒成立,

10x-3ax

即要---------W,

%+25

即x2-48x+15a^0恒成立，

SP(x-24)2+15a-576^0(xe[10,1000])恒成立,

又24G[10,1000],

192

故只需15a-57620即可，所以.

982

综上,a2——，故最小的正整数a的值为328.

3

综合检测

...................」11

1.(2012太原调研)若a>l,设函数f(x)=ax+x-4的零点为m,g(x)=logx+x-4的零点为n,则一+一的取值范

amn

围是()

(A)I—,+ooI(B)(1,+°°)

(C)(4,+°°)(D)—,-Foo

12

解析:函数f(x)的零点为y尸*与y=-x+4交点的横坐标,g(x)的零点为y；Flogitx与y2=-x+4交点的横坐标，由

,,111111

于yi'a"与y.3=lognx互为反函数，图象关于y=x对称，，m+n=4,m>0,n>0,则一+—二一(m+n)(一+—)=

mn4mn

1nm\