四川省雅安市名山中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题

四川省名山中学高2023级12月月考数学试题考试时间：120分钟试卷总分：150分一、单项选择题（每小题5分，共40分，每题只有一个选项符合题意）1.已知全集是自然数集，集合，.则图中阴影部分表示集合为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据图以及集合补集和交集的知识求得正确答案.【详解】由图可知，阴影部分表示的集合为,所以图中阴影部分表示的集合为.故选：C2.函数的定义域是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的定义域要求求解定义域即可.【详解】函数定义域需满足，解得且，即，故选：C3.己知，则下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】B【解析】【分析】由不等式性质可判断选项A，B，C；取特殊值可判断选项D.【详解】对于选项A：当时，若，由不等式性质可知，故选项A错误；对于选项B：由不等式性质可知若，则成立，故选项B正确；对于选项C：当时，若，由不等式性质可知，故选项C错误；对于选项D：当时，，故选项D错误.故选：B4.若函数在存在零点，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.∪【答案】D【解析】【分析】根据零点存在性定理结合题意求解即可.【详解】当时，，不存在零点；当时，是一次函数，必然单调，故只需即可，即，解得或，即的取值范围是∪，故选：D5.已知，且满足，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由指数函数的性质易得，再结合对数函数的性质判断各项正误即可.【详解】由题设，故A、B中对数式无意义，且，所以，C对，D错.故选：C6.若，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据不等式之间的关系，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论.【详解】当，，且时，，当且仅当时等号成立，所以，充分性成立；，，满足，且，此时，必要性不成立.则“”是“”的充分不必要条件.故选：A7.教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气．按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于．经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（参考数据：）（）A.10分钟 B.14分钟C.15分钟 D.20分钟【答案】B【解析】【分析】由时，，代入求得，再由求解.【详解】解：由题意得：当时，，即，解得，所以，由题意得，即，两边取对数得，所以，所以该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为14分钟，故选：B8.若实数满足，则的值为（）A.2 B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】由同角三角函数的关系，化简求值.【详解】由，则，又，得．故选：A．二、多项选择题（每小题5分，共20分.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9.已知角的终边经过点，则（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】根据三角函数的定义求得，结合诱导公式确定正确答案.【详解】角的终边经过点，，，，，，，故AB正确、CD错误，故选：AB10.我国著名数学家化罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如函数（）的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】根据函数的定义域单调性与奇偶性判断即可得结论.【详解】函数（）的定义域为，对于任意的，，因此该函数为偶函数，故只需讨论时，函数图像的变化趋势．若，在区间上单调递减，在区间上单调递增，在时，函数取得最小值，图像为D；若，在在区间上单调递增，图像为C．故选：CD.11.已知定义在上函数是奇函数，且时，则下列叙述正确的是（）A.当时B.C.在区间上单调递减D.函数在区间上的最小值为【答案】BCD【解析】【分析】利用奇函数的定义和性质即可判断选项AB，根据判断函数单调性的定义法即可判断选项C，结合基本不等式即可判断选项D.【详解】由题知，是奇函数，令，则，所以，故此时，A错；因为是上的奇函数，所以，B正确；由上述可知时，，，则，因为，所以，，，所以，即，所以在区间上单调递减，C正确；当时，，当且仅当，即时取等，D正确.故选：BCD12.已知定义在上的函数的图象连续不断，若存在常数，使得对于任意的实数恒成立，则称是回旋函数.给出下列四个命题，正确的命题是（）A.函数（其中为常数，）为回旋函数的充要条件是B.函数不是回旋函数C.若函数为回旋函数，则D.函数是的回旋函数，则在上至少有1011个零点【答案】ABD【解析】【分析】由回旋函数的定义，结合充要条件的判定判断A；假设是回旋函数，由此可推出矛盾，说明假设错误，判断B；根据回旋函数的定义判读C；对于D，由成立，令，可推出与异号，或，继而依此类推推出在上零点情况，判断D.【详解】函数（其中为常数，）是定义在上的连续函数，且，当时，对于任意的实数恒成立，若对任意实数恒成立，则，解得：，故函数（其中为常数，）为回旋函数的充要条件是，故A正确；若函数是回旋函数，则，对任意实数都成立，令，则必有0，令，则，显然不是方程的解，故假设不成立，该函数不是回旋函数，故B正确；在上为连续函数，且，要想函数为回旋函数，则有解，则，故C错误；由题意得：，令得：，所以与异号，或，当时，由零点存在性定理得：在上至少存在一个零点，同理可得：在区间，上均至少有一个零点，所以在上至少有1011个零点，当时，有，此时在上有1012个零点，综上所以在上至少有1011个零点，故D正确.故选：ABD.【点睛】关键点睛：本题的关键是充分理解“回旋函数”的定义，将问题转化为方程有解问题，再结合指数函数和幂函数的性质分析即可.三、填空题（每小题5分，共20分）13.若扇形的半径为2，弧长为3，则扇形的面积为______________.【答案】3【解析】【分析】根据扇形的面积公式直接运算求解.【详解】由题意可得：扇形的面积为.故答案为：3.14.已知函数，则单调递增区间为____________．【答案】##【解析】【分析】根据二次函数以及指数函数的性质，结合复合函数的单调性法则即可求解.【详解】由于在单调递减，在单调递增，而函数为上的单调递增函数，所以的单调递增区间为，故答案为：15.已知，则__________．【答案】【解析】【分析】判断角所在象限，根据同角的三角函数关系解得的值，根据角的象限，即可确定的值，可得答案.【详解】由可知在第一象限或第三象限，由可得，结合，解得，在第一象限时，，此时，在第三象限时，，此时，故答案为：16.已知函数的定义域为，满足，且当时，，若对任意，都有，则的最大值是________.【答案】【解析】【分析】作出函数图象，解方程，数形结合可得出实数的取值范围，即可得解.【详解】因为函数的定义域为，满足，当时，，当时，，则，当时，，则，当时，，则，因为对任意，都有，当时，令，解得或，如下图所示：由图可知，，故实数最大值为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数，解题的关键就是求出函数的解析式，由此作出函数的图象，利用数形结合思想求解.四、解答题（本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.设集合，．（1）若时，求；（2）若，求m的取值范围．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根据求出集合即可求出；（2）根据得到，列出不等式组即可.【小问1详解】，，；【小问2详解】，，①当是空集时，，解得，②当不是空集时，则，，综上所述：或.18.计算：（1）；（2）已知，则的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据分数指数幂以及对数恒等式和换底公式进行化简，即可得答案；（2）利用诱导公式以及同角的三角函数关系化简，结合特殊角的三角函数值，即得答案.【小问1详解】；【小问2详解】，故.19.已知函数.（1）当时，求该函数的值域；（2）若对于恒成立，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，可得，利用换元法可转化为求的值域，利用二次函数性质可得其值域为；（2）将原不等式转化成对于恒成立，利用对勾函数单调性即可得.【小问1详解】由对数函数单调性可知，当时，，令，即可得，由二次函数性质可知当时，，当时，；因此可得当时，该函数的值域为.【小问2详解】当时，可得，原不等式可化为对于恒成立，即可得对于恒成立，易知函数在上单调递增，所以，因此只需即可，得；即的取值范围是.20.已知关于，的方程组其中.（1）当时，求该方程组的解；（2）证明：无论为何值，该方程组总有两组不同的解；（3）记该方程组的两组不同的解分别为和，判断是否为定值.若为定值，请求出该值；若不是定值，请说明理由.【答案】（1）和（2）证明见解析（3）定值，定值为4【解析】【分析】（1）消去求出所对应的一元二次方程的解，从而求出方程组的解；（2）消去，判断所对应的一元二次方程的解的情况，即可判断；（3）利用韦达定理得到，，即可求出、，从而得解.【小问1详解】当时，消去得，解得，，因此，方程组的解为和.【小问2详解】消去整理得，显然，且，因此，该方程有两个不同的解，该方程组也对应有两组不同的解.【小问3详解】由韦达定理得，，所以，，所以，因此，是定值，且定值为4.21.已知函数（其中），且.（1）判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义证明；（2）解不等式：.【答案】（1）函数在上单调递增，证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用已知条件求出，根据定义法求解单调性即可；（2）根据题意研究函数奇偶性，根据奇函数性质转化不等式，再结合单调性解不等式即可.【小问1详解】函数在上单调递增，证明如下：因为，所以，所以，任取，且，则，因为，且，所以，所以，所以在上单调递增；【小问2详解】定义域关于原点对称，且，所以函数为奇函数，所以不等式，即，又因为在上单调递增，，，所以，即，则，则，所以或，即不等式的解集为.22.已知函数，.（1）证明