高等数学同济第七版第七章课后习题答案解析

第七章

微分方程

习题7-微分方程的基本概念

&1.试说出下列各微分方程的阶数：

(1)x(y')2-2yy'+x=0；(2)xiy"-xy'+y=0；

(3)W+2y"+/y=o；(4)(7x-6y)dx+(i+))dv=0；

(5)-普+嗯+g=0；(6)累+p=sinb

dtdrCd，

解(1)一阶；(2)二阶；(3)三阶；(4)一阶；(5)二阶；(6)一阶.

22.指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：

(1)xy'=2>,>=5.J；

(2)y"+>=0,y=3sinx-4cosx；

(3)yn-2y'+y=O,y=x2e,；

wA,AA,

(4)y-(A1+A2)7*+A।A2y=0,y=C1e+C,e\

解(1)由y=5寸,得)'=10".个'=10/=2),故>=5/是所给微分方程的解.

(2)ill)=3sinx-4cosx,得yr=3cosx+4sinx,进而得

>"=-3sinx+4rosx,

于是

)‘"+)’=(-3sinx-k4cosx)+(3sinx-4cosx)=0.

故y=3sinx-4cosx是所给微分方程的解

(3)由y=x2e\fyy'=2*e'+"%’=(2*+/)/.进而得

/=(2+2x)e"+(2x+x2)e1=(2+4x+x2)e\

于是

/-2yr+y=［(2+4x+x?)-2(2*+./)+.r2>l=2eB5*0.

故不是所给微分方程的解.

(4)由”+。2尸\得>'=认。尸"♦人26」”，进而得

>"=入；小…+人沁…，

于是

y”-⑶+入2)>'+人iZ

=AjC)eA,1+AC2cA?1-A1(A1+入？)'一八］(人［+4.

A1A2G"'+入i入2c2公"=0.

第七章微分方程243

故)二是所给微分方程的解.

23.在下列各题中.验证所给：元方程所确定的函数为所给微分方程的解：

r22

(1)(X-2y)y=2x-ytx-xy+y=C；

(2)(町・x))"+K>'2+yy'-2y'=0,y=ln(xy).

解(l)在方程/-v+y?=C两端对x求导，得

2x-(y+xy')+2y>'=0,

即(x-2,)v'=2x->.故所给二元方程所确定的函数是微分方程的解.

(2)在方程)=ln(x>)两端对1求导，得

町

即⑺7)y'->=0,再在上式两揣对“求导，得

(y+-1)yr+(xy-x)yK-y*=0.

即(D-x))"+x/2+n，_2)，=0.故所给二元方程所确定的函数是所给微分方程的

解.

%4.在下列各题中.确定函数关系式中所含的参数,使函数满足所给的初值

条件：

(1)X2-Y2=。.>|…0=5；

2#

(2)y=(Cj+C2x)e\)|,a0=0,y|,a0=I；

(3))，=6：“(一©2),儿=,=1,>1=”=0.

解(।)由>l-o=5.将x=0.)=5代入函数关系中,得C=-25,即

x2-/=-25.

(2)由y=(C,+G])e2[得

>'=(C2+2G+2C2])e2,

将x=0.),=0及)J=1代人以上两式，得

[0=g,

ll=G+2C|,

故C'I=0,C'2=।，>=x«2a-

(3)由)=C]sin(*-G)，得

y*-C,cos(x-C2).

将X=",1=1及y'=0代人以上两式，得

fI=C|sin(IT-C2)=C1sinC2,①

lo=C|cos(ir-C2)=-C|cosC2.②

由①2+2/得C；=1,不妨取C,=I,由①式得g=2U+',故

244一、《高等数学》（第七版）上册习题全解

y-sin(x-2kir--yj=-cosx.

注取a=-i,可得相同的结果.

25.写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程：

（1）曲线在点（X,））处的切线的斜率等于该点横坐标的平方；

（2）曲线上点P（x,））处的法线与X轴的交点为。,且线段PQ被）轴平分.

解（1）设曲线方程为）=>（x）.它在点（》.））处的切线斜率为）',依条件.有

此为曲线方程所满足的微分方程.

（2）设曲线方程为》=>（“）’因它在点巴”,>）处的切线斜率为，'，故该点处法

线斜率为

y

由条件知〃。之中点位于）轴上，故点。的坐标是（-x.0）.于是仃

—>：----0---=——1.

X-（-X）

即微分方程为y>'+2a=0.

叵6.用微分方程表示一物理命题：某种气体的气压户对于温度T的变化率与气压成

正比•与温度的平方成反比.

Ap

解因《与P成正比.与T2成反比，若比例系数为*.则有

（1/

dP=,P

"TT；卜

drT2

值7・一个半球体形状的雪堆,其体积融化率。半球而面枳.1成正比.比例系数A>0.

假设在融化过程中雪堆始终保持半球体形状.已知半径为%的雪堆住开始融化的3

小时内,融化r式体积的v.问雪堆全部做化需要多少时间？

O

解设为堆在时刻，的体积为I侧面积S=2”.由题设知

(1V_9(Jr,c.?

=2irr'—=-kb=-2irkr~,

(1/d/

于是

业=-A-.

(1/

积分得

r=-kt+C.

illrI=Q,得C=勺，/=Q-k•又『|■I'即］3Q'=

Irs3*i=0，

第七章微分方程245

12aI

-g~,反叫,得k=-r0•从而

I

r=ro-不d

因雪堆全部融化时,r=0・故得"6.即雪堆全部融化需6小时.

后国昆4可分离变量的微分方程

41.求卜列微分方程的通解：

(1)xy1-yiny=0；(2)3x2+5x-5/=0；

(3)/1-x2/=/1-/；(4)/-x/=a(y2+>')；

(5)sec2xtanydx+sec2)tanxdy=0；(6)4=10*'；

dx

(7)(e1*'-e*)dx+(e1*'+er)dy=0；(8)cos.rsinyd.v+sinxcosydy=0；

(9)(y+l):半+/=0；(10)ydi+(x2-4x)dy=0.

(lx

解(1)原方程为X半->lny=o.分离变显得

dx

d)_d.r

yin/x'

两端积分得

In|Iny|=In|x|+InCj=In|C)x|(6)>0),

即ln>=±C,*.故通解为Iny=(：x.即y=e’*。.

(2)原方程可写成5y'=3/+5.r,积分得5>=/+]/+g,即通解为

-2+(=，)•

⑶原方程为/lF半=/l分离变1ft得

两端积分得arcsin）=arcsinx+C.l!|l为原方程的通解.

⑷原方程可写成（一…之…，分离变址得

I由，，曰I也是原方程In,。的斛，囚此方程的解加＞=士C.中，G可战取作0.从而通

解为Iny/是任怠南效），即y=L以卜诣即通解中的店牧仃也仃类似情况，何不出说明.

246一、《高等数学》（第七版）上册习题全解

两端枳分得

——=-alnI1-x-aI-C,

y

即y=~~!~「:是原方程的通解•

(5)原方程分离变属.得

2％一处也

tanytanx

两端积分得

In|tany|=-In।tanx|+InC1,

可写成In|Iany•tanx|=InC,,BPtany•tanx=土C]，故原方程的通解为

tany,tanx=C.

(6)原方程分离变fit,得io7dy=i(rdx,两端积分得

107101/、

-hno=hHb+6'-

可写成10'+107=C(C=-CJn10).

(7)原方程为e*(e，-l)dx+e，(e*+l)d>=0.分离变域得

两端积分得

In|e"-I|=-ln(e*+1)+In%,

或写成ln|(T+l)(e，-1)|=lnC],即(e"+1)(4-I)=±G,故原方程的通解为

(e*+l)(e，-1)=C.

(8)原方程分离变Id,得手』d>=-=dx.两端积分得

sinysinx

In|sin)|=-!n|sinx\4-InC),

即In|sinysinx|=InCx，或写成sinysinx=±C；,故原方程的通解为sin>>ini=

(9)原方程分离变革，得(y*l)2小=两端积分得

：(y+l)3=+C|,

54

故原方程的通解为3/+4(y+l»=C(C=12C,).

(10)原方程分离变tt.得匕=二包。，两端积分得

y4.r-xl

|小|=jrr^=+J(占+:)也

第七章微分方程247

=^-(In|x|-In|4-x|)+Ing=-^-lnI—I+InC,,

4-x

即Iniy4(4-x)|=h/4C|x|.或写成(4-x)=±4ax.故原方程的通斛为

/(4-x)=Cx.

22.求下列微分方程满足所给初值条件的特解：

，21

(1)y=e-\y|1.o=O；

(2)cosxsinydy=cosysinxdx|xs0=--；

(3)y*sinx=yiny.y|t=e；

(4)cosvdx+(1+e)sinydy=0,>|=?;

xs04

(5)xdy+2ydx=0,y；,.2二1•

解(1)分离变址，得e'dj二一1k，两端枳分得

由yl..o=0,得】=e。=ge。+C.故C=g-.即得e‘T(e"+1),于是所求特解

+IJ,+1

为>=In---•

(2)分离变量•得lan)d>=lanxdx,两端枳分得

-In|cosy|=-In|cosx|-InC|,

即cosy=CeosX.代入初值条件:i=0,y=学,得午=C,于是

^cosy-cosx

为所求特解.

(3)分离变也得普=占，两端积分得

yinysinx

即Iny=Clan:代入初值条件：*=，,y=a,得1=C.于是

y=小小

为所求特解.

(4)分离变得上一＜k=-lan)山，两端枳分得

e+I

ln(e1+I)=In|cosy|+Ing,

即e〜1=C＜：O8＞.代入初值条件：4=o,y=/力2=C・亨，得C=2。，于是

248一、《高等数学》(第七版)上册习题全解

ex+1=2Jlcosy,

HP(ex+l)secy=2々为所求特解.

(5)分离变最，得如二-2包，两端积分得

y4

In|y|=-21n|xI+InC)=Inx-2+In,

即/y=C.代入初值条件：#=2.>=1,得C=4.故所求特解为=4.

值3.有一盛满了水的留锥形漏斗，高为10cm,顶角为60,漏斗下面有面积为0.5(小

的孔,求水面高度变化的规律及流完所需的时间.

解水从孔口流出的流显Q是单位时间内流出孔【」的水的体积.即Q=学.又从

at

力学知道，Q=0.62S&不.其中0.62为流仙•系数.S为孔口截面积.g为重力加速

度/为水面到孔口的高度.于是有

芈=0.62S/Igh.

lit

即

dV=0.62S(1)

设在时刻,,水面高度为/?二〃(，).从图7-1中可见,x=»an30<=亭.「是在

时间间隔［，,，+出］内漏斗流出的水的体积,即水体积的改变量

dV=-Trx2i\h=-2dh.(2)

M7-I

由(1),(2)式得微分方程

0.624Sy2flhih=—y-A2(l//.

并有初值条件川”0=10.

由微分方程分离变AL得

(1/---------------h?(IA,

3x0.62.S/2g

250一、《高等数学》(第七版)上册习题全解

解设曲线方程为y=y(*),切点为(x,y).依条件.切线在x轴与y轴上的截距

分别为为与2〉.于是切线的斜率

/=_y_

J0-2xX

分离变量得

dvdx

yx

积分得InIy|=-In|x|+InG,即q=C.代入初值条件x=2,>=3,得C=6,故曲线

方程为xy=6.

第7.小船从河边点。处出发驶向对岸(两岸为平行f1线).设船速为〃,船行方向始终

与河岸垂直,又设河宽为R河中任一点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正

比(比例系数为A).求小船的航行路线.

解设小船的航行路线为

7=/=工y(⑺/).,

则在时刻，，小船的实际航行速度为。。)=("(),>()),其中<(“)=3(6-1)为

水的流速j'a)=«为小船的主动速度.

由于小船航行路线的切线方向就是小船的实际速度方向(图7-2).故仃

Ay=>'(/_a

dx=/⑺=ky(h->)*

分离变盘，得dx=上>(/—>)d>,积分得

a

x=-J(hy-y2)dy

JU，

由于小船始发于点(0.0).代人.»■=0,y=0,得C=0,故小船航行的路线的方程为

第七章微分方程251

龌国齐次方程

Eal.求下列齐次方程的通解：

(I)--y-，产-『=0；(2)x^=ylnZ;

(3)(x2+y2)dx-xydy=0；(4)(x3+y3)dx-3xy2d>=0；

(5)(2.vsin上+3vcos上卜b-3xcos—dy=0；

(6)(I+2e7)dx+2G[I-土卜1>=0.

解(1)当x>0时，可将原方程写成y=十+7仔^7,令U=q■，即y=xu,

有/=〃+X履',则原方程成为U+xu*=n+y«2-1,分离变M；,得

dudx

万G"1，

积分得

IniM+J--]|=In|x|+InC),

即

U+y/u2-1=Cx(C=±C|).

将u=上代人上式并整理.得方程在(0.+8)内的通解

X

>+y/y2-X2=Cx2.

当”时,原方程可写作y'=5--1,令u=5,可变形为

<ludx

不〒丁

枳分得

In|u+'/u2-\|=lnC|-In|x|«

即“+\fu^-I=C=±C.)

x

将"十代人上式并整理•得方程在(一8，。)内的通解y-J7=c.

252一、《高等数学》（第七版）上册习题全解

(2)原方程可表示成半=1n±,令u=2.即y=%有¥=u+x半,则原方

QXxxxdxdx

程成为M+X=uln”,分离变&t.得

dx

dudx

w(Inu-I)x

积分得

In|Inu-I|=In|x|+Ing,

即

Inu-i=±C|X.

将u=Z代人上式，得

X

In--=±C.x+1.

x

故通解为

In'=Cx+I.

x

(3)原方程可表示为(j+十卜'X一d)=0.令”=十.即、―{}dy=udx+

Md%则原方程成为

(—+ajdx-(M<IX+xdu)=0.

即“八=包.积分得

X

y=ln|^l+G・

将〃=上代人上式并整理，得通解

x

2

r=x(2ln|x|+C).

(4)原方程可写成/(.+：)(h-小=0.令”=5.即)=XU，有小=udx+

xdu.则原方.程成为1+〃,.《-(u<h+xi\u)=0.分离变ht,得

积分得

-In|1-2”3|=In|x|+Ing.

即

第七条微分方程253

I-2uy=±

中

将〃=上代人上式并整理,得通解

x

--2y3=Cx.

(5)原方,程可写成;Tan'+'-['=0.令〃=-L.即)=X"，仃?.二〃+x半，

3xxdxxdx<ix

则原方程成为;Ian=0.分离变得

3\axj

3du_d.r

2tanux'

积分得

3

31nsint/|=In|x|+lnC(,

即

sin'u-±C|X.

将"=上代入上式,得通解sin，Z=C/.

Xx

(6)原方程可"；成'(1+2”)+2e~(1-1)=0.令"='，即x=yii,彳j，二

dyyydy

〃+)半,则原方程成为

(”+/华)"+2*")+2eu(l-u)=0.

整理并分离变盘，得

u

d--(--M---+---2--v---)+...i.\.y.-y

u+2e°y

枳分得

In|w+2e**|+In|y|=In(\,

即

y(u+2eM)=±C).

将)代入卜式，得通解

y

x+2y«*1=C.

日2,求卜列齐次方程满足所给初值条件的特条:

254一、《高等数学》(第七版)上册习题全解

22

(1)(y-3x)dy+2xydx=O,y|x=o=l；

(2)y'=—+—,yl>=2；

yxIS

2222

(3)(x+2xy-y)dx+(y+2xy-x)dy=0|,=)=1.

解⑴原方程可写成1-3与+2三半=0.令"二,即有半=〃+

『yd>yd>

4,则原方程成为

I-3u2+2++泮卜

分离变量，得

孚-九=立.

u2-1y

积分得

ln|u2-1|=ln|y|+lnCj.

即

u2-1=C>.

代人〃==并整理,得通解?一/二分.由初值条件,得。=-1.于是所

y

求特解为

y3=尸_"2

(2)令〃二上•,有则原方程成为〃+m'=1+〃.分离变量.得

XU

udu=—.积分得

x

=In|x|+C.

将〃二二代人上式并整理，得通解

x

2

>2=2x(ln|x|+C).

代人初值条件x=1,y=2.解得C=2.于是所求特蒯为

『=2/(Inx+2).

(3)将原方程写成

令"=上.E半="+*乎,则原方程成为

xaxdx

第七章微分方程255

duI+2u-M2

〃+X,+-2--------=t

d*〃-+2〃-1

整理并分离变耳，得

I-2u-u',d*

—z-------------du=——

w+M*+«+1%

积分得

TW;j=1

d"=](u/1J+J|du

/M34-M*+U+1JLU'

=In---=InIxI+InC,

u2+i

故

u+1

—z----=LX.

u24-I

代人”=工并整理，得通解［r=C.以初值条件X=1,y=1定出C=1.故所求特

x+X~

斛为

3.设育连结点0(0.0)和A(1J)的一段向上凸的曲线弧苏,对于加上任一点

〃(3>),曲线弧石，。f［线段而所闱图形的面积为求曲线弧苏的方程.

解设曲线弧的方程为>=>(1).依题意,有

J)y(%)<b--xy{x)-x-.

上式两端对x求导.

y(“)-9y(*)_=21,

即得微分方程

y*=----4.

x

令“=>,〃?="+X半，则微分方程成为

X(JXtlx

dfi_4

dxx

枳分得

=-4lnx+C,

因u=±，故有

256一、《高等数学》（第七版）上册习题全解

、=4(-4ln.r+C).

又因曲线过点4(1,1),故1=C.于是得曲线弧的方程

y=x(1-4lnx).

%"4.化下列方程为齐次方程，并求出通解:

(1)(2*-5)+3)ck-(2x+4y-6)dv=0；

(2)(.r-y-1)d.r+(4y+X-1)d)=0；

(3)(3y-7x+7)dx(7)-3x+3)dy=0；

(4)(x+y)dx+(3x+3)-4)<1v=0.

解(1)令X=X+八¥=>'+A,则dv=(IX,dj=",且原方程成为

(2X-5y+2/|-Sk+3)dK-(2V+4>+2h+4A-6)<H=0.

令

(2h-5A-+3=0.

[2h+4A-6=0.

解此方程组得6=LA=L故在变换x=++1下原方程化为(2\-5))d\

-(2X+4Y)dy=0,即

2-5—

i\Y_2A-51_~\

<LV=2A+4)=~~~~Y'

2+4天

乂令"=<.有黑="+X旦则原方程成为

XdAcl4

加|+2尸(4“-I)|=-ln|A'I+1”(：2((：2=C：).

即

第七章微分方程257

(u+2)2(4〃-I)X3=士Q,

因，，=1.故上式成为

2

(21+y)(4K-X)=±c2.

代人'.=x-1.y=，-1.得原方程的通解

(2x+)-3)2(4)7-3)=C.

(2)将原方程写成

dy_-jr+y+Iy-(x-1)

dx4y+x-14y+(x-1),

令K=X-I,Y=,,则d>=dy.d*=dx,且原方程化为

d>Y-X_Y/X-1

dA=4F+^=4J7A+I'

乂令”=。.有1=u+X?I则原方程成为

A<1Ad.\

4u+1.I]

—；----<iu+—(IA=0.

4u2+IX

枳分

4M匕)d"+偿

4u2+14〃

=；ln(4〃2+1)+；arctan(2u)+In|A|=g,

即In|九2(4〃-+1)]+arrtan(2u)=C(C=2C1).将〃二七代人上式，得原方

程的通解

ln|4y2+(x-1产】+arctan~彳=C.

(3)令*=X+/,」=y+A,则<卜=dx.dy=",且原方程成为

(3K-7X+3A-lh+7)<JJ+(1Y-3X+7k-3h+3)dY=0.

令

f3^-7/i+7=0,

[7^-36+3=0.

解此方程组，得〃=l,A=0.故在变换4=X+1,y=丫卜，原方程化为(3Y-7X)JY+

(7r-3X)dV=0.即

<1)7\-3)_7-3Y/X

<1\7>-3\=7)/7-3

乂令U=，存黑="+xM则原方程成为

\(JA<14

258一、《高等数学》（第七版）上册习题全解

Y业—7-3〃

dX=H不

积分

=7

/(^T+7TT)du~/T

得

2In|u-1I+5lnju+I|=-7ln|A|+InC1.

即X'(u-1)2("+1)’=±C).将u=4=3•代人上式，得原方程的通解

AX—1

(y-x+l)2(y+x-I)5=C.

(4)将原方程写成学=”、(该方程园于半=/(,“+8+c)类型.解此

dx4-3(x+y)\dr

类方程，一般可令u=ax+by+cj.令"=*+>.则半=半-1.且原方程成为

dxdx

duu

d；-1

即

亚=2dx.

u-2

积分得3u+2ln|“-2|=2#+C.将〃=x+)代人上式•得原方程的通解

x+3V+2)n|.r+y-2|=C.

一阶线性微分方程

图1.求下列微分方程的通解:

(1)半+>“7；

(2).1)，+、=v2+3x+2；

ax

(3)y'+ycosx=e-*,n*；(4)y*+ytanx=sin2x；

(5)(x2-I)y*+2xy-cosx=0；(6)半+3p=2；

de

(7)'I'+2x)=4x;

(8)vln)d.i+(.、-hii)d>=0；

ax

(9)(工-2)步=>+2(*-2)\(io)(/-6x)?+2>=o.

第七章微分方程259

dx

解(1)》=e-拄[卜・”・e/<k+(：]=e-'(k7-e*ck+C)

=e'1(x+C).

i9

(2)将方程改写成>'+工？='+3+上，则

xx

y=e-/7<,,jX+3+—je/7dxdx+cj=j(#+3+—jxdx+cj

=y[J(x2+3x+2)dx+4=:('+Tx2+2x+0)

x23xcC

32x

ro><d,

(3)y=e-/(卜一.Jp*d、dx+C)=e-(1e-.n,.e..n«dx+

=e-Mn,(x+C).

(4)y=e-/,"nld，(Jsin2xehnxdMx+C)

=cos无(|*+c)=cosJlsinxdx+C)

=CeosX-2cos2%.

(5)将原方程写成>'+弟■>=等£,则

>=<«-信*(J詈