工程数学线性代数(同济大学第五版)课后习题答案

工程数学线性代数(同济大学第五版)课后习题答案目录contents绪论与基本概念行列式计算与应用矩阵及其运算性质向量组的线性关系方程组求解与特征值问题二次型与正定矩阵绪论与基本概念01CATALOGUE02030401线性代数的研究对象向量、向量空间、线性变换等基本概念和性质行列式、矩阵等代数工具及其运算规则线性方程组、特征值与特征向量等问题的求解方法二次型、正定矩阵等概念及其在工程和科学计算中的应用行列式定义及性质行列式的定义及计算方法行列式按行（列）展开法则及应用行列式的性质及其证明克拉默法则及其在线性方程组求解中的应用矩阵概念及运算矩阵的逆、转置、伴随等概念及其性质初等变换与初等矩阵的概念及其在矩阵求解中的应用矩阵的定义及基本运算规则矩阵的秩、行列式等概念及其在工程和科学计算中的应用向量的线性相关性、基与维数等概念及其在工程和科学计算中的应用向量空间的概念及性质线性变换的概念及性质线性变换的矩阵表示及其在求解线性方程组等问题中的应用01020304向量空间与线性变换行列式计算与应用02CATALOGUE二阶、三阶行列式计算二阶行列式计算直接应用二阶行列式的计算公式进行计算，注意元素的位置和符号。三阶行列式计算可以使用对角线法则或降阶法进行计算。使用对角线法则时，注意不同行不同列元素的乘积的符号；使用降阶法时，可以将三阶行列式转化为二阶行列式进行计算。了解余子式和代数余子式的定义和性质，能够计算给定元素的余子式和代数余子式。余子式和代数余子式掌握n阶行列式的展开定理，能够应用定理将n阶行列式转化为低阶行列式进行计算。注意定理中元素的位置和符号。展开定理n阶行列式展开定理克莱姆法则理解克莱姆法则的内容和意义，能够应用法则解决线性方程组的问题。注意法则中系数行列式和常数项行列式的构造方法。应用举例通过具体例子了解克莱姆法则在解决实际问题中的应用，如电路分析、力学问题等。克莱姆法则及应用向量的线性相关性理解向量的线性相关性和线性无关性的概念，能够判断给定向量组的线性相关性。注意向量组线性相关与行列式为零的关系。向量组的秩了解向量组的秩的概念和性质，能够计算给定向量组的秩。注意向量组秩与矩阵秩的关系。几何应用通过具体例子了解行列式在几何中的应用，如判断点共线、共面问题，计算平面图形的面积等。行列式在几何中的应用矩阵及其运算性质03CATALOGUE123只有同型矩阵才能进行加法运算，将对应元素相加即可。矩阵的加法数与矩阵相乘，将数与矩阵中的每一个元素相乘。矩阵的数乘只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘。乘法运算满足结合律和分配律，但不满足交换律。矩阵的乘法矩阵的加法、数乘和乘法VS把矩阵A的行和列互换，得到的矩阵称为A的转置矩阵，记作AT。逆矩阵对于n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=E（E为单位矩阵），则称A是可逆的，B是A的逆矩阵，记作A-1。矩阵的转置矩阵的转置与逆矩阵将一个大矩阵分割成一些小矩阵，每个小矩阵称为原矩阵的子块或子矩阵。分块矩阵的加法、数乘和乘法运算与普通矩阵的相应运算类似，只是要注意子块与子块之间的对应关系。分块矩阵分块矩阵的运算分块矩阵及其运算矩阵A中不等于0的子式的最大阶数称为A的秩，记作r(A)。矩阵的秩如果矩阵B可以由A经过有限次初等行变换得到，则称A与B行等价；如果B可以由A经过有限次初等列变换得到，则称A与B列等价；如果B既可以由A经过有限次初等行变换得到，也可以由A经过有限次初等列变换得到，则称A与B等价，记作A~B。等价关系矩阵的秩与等价关系向量组的线性关系04CATALOGUE向量组的线性组合与表示010203向量组线性表示的唯一性定理向量组的等价与向量组的秩向量组可以由其他向量线性表示的条件向量组线性相关的定义与性质向量组线性相关的性质与推论向量组线性相关的判定定理向量组的线性相关性向量组的秩与极大无关组01向量组的秩的定义与性质02极大无关组的定义与性质向量组的秩与极大无关组的关系03010203向量空间的定义与性质向量空间的基与维数的定义向量空间的基变换与坐标变换向量空间及其基与维数方程组求解与特征值问题05CATALOGUE写出系数矩阵，并将其化为行最简形式。根据行最简形式，得出方程组的通解。若方程组有唯一解，则通解即为该解；若方程组无解或有无穷多解，则通解中应包含相应的参数。010203齐次线性方程组求解非齐次线性方程组求解写出增广矩阵，并将其化为行最简形式。根据行最简形式，判断方程组是否有解。若有解，则继续求解；若无解，则停止计算。若方程组有唯一解，则直接得出该解；若方程组有无穷多解，则通过参数表示通解。特征值设A是n阶方阵，如果存在数λ和非零n维列向量x，使得Ax=λx成立，则称λ是A的特征值，x是A的对应于特征值λ的特征向量。要点一要点二特征向量对应于某个特征值的非零向量称为该特征值的特征向量。特征值与特征向量概念将每个特征值分别代入(A-λE)x=0，求解齐次线性方程组，得到对应的特征向量x。若得到的特征向量不满足要求，则需要通过施密特正交化等方法将其正交化或单位化。写出特征多项式f(λ)=|A-λE|，并令其为0，解得特征值λ。特征值与特征向量求解方法二次型与正定矩阵06CATALOGUE二次型的定义二次型是一个二次齐次多项式，其一般形式为$f(x_1,x_2,ldots,x_n)=sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j$，其中$a_{ij}$是系数，$x_i$和$x_j$是变量。二次型的标准形通过变量替换，二次型可以化为只含有平方项的标准形$f=k_1y_1^2+k_2y_2^2+ldots+k_ny_n^2$，其中$k_i$是常数。二次型的矩阵表示二次型可以表示为矩阵形式$f=X^TAX$，其中$A$是对称矩阵，$X$是列向量。二次型及其标准形正交变换正交变换是一种特殊的线性变换，它保持向量的长度和夹角不变。在二次型中，正交变换可以将二次型化为标准形，同时保持变量的几何意义不变。配方法配方法是一种通过完成平方的方式将二次型化为标准形的方法。其基本步骤是先将二次型中的交叉项通过平方差公式化为平方项和常数项的和，然后再通过变量替换将平方项化为标准形中的平方项。正交变换与配方法化二次型为标准形正定二次型和正定矩阵概念及判定方法如果对于任意非零向量$X$，都有$X^TAX>0$，则称二次型$f=X^TAX$为正定二次型。正定二次型的几何意义是其图像是一个开口向上的抛物面。正定二次型如果对于任意非零向量$X$，都有$X^TAX>0$，则称对称矩阵$A$为正定矩阵。正定矩阵的判定方法包括顺序主子式法、特征值法和合同变换法。正定矩阵合同变