北师大版七年级数学下册变量之间的关系

北师大版七年级数学下册变量之间的关系目录变量与函数基本概念常量与变量在表达式中作用图形表示法：直角坐标系和图像表格表示法：数据整理与呈现关系式表示法：建立数学模型实际问题中变量关系分析CONTENTS01变量与函数基本概念CHAPTER在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量。根据变量在变化过程中所处的地位不同，可以分为自变量和因变量。自变量是主动发生变化的量，因变量是随着自变量的变化而变化的量。变量定义及分类变量分类变量定义函数概念一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。函数表示方法函数与自变量关系的表示方法有三种：解析式法、列表法和图象法。在实际问题中，函数与自变量关系的表示法需要根据具体问题的背景来选择。函数概念及表示方法函数与变量关系函数表示了自变量与因变量之间的对应关系。对于自变量的每一个取值，函数都有唯一确定的值与之对应。这种对应关系可以是线性的，也可以是非线性的。函数性质通过函数的表示方法，我们可以研究函数的性质，如单调性、奇偶性等。这些性质反映了函数在不同区间上的变化趋势和对称性。函数与变量关系概述练习题一判断下列各组变量中，哪些是函数与自变量关系？并说明理由。题目（1）汽车以60千米/时的平均速度在路程为100千米的公路上行驶，它离终点的路程S（千米）与所用的时间t（时）之间的关系；（2）圆的面积A（平方厘米）与圆的半径r（厘米）之间的关系。答案及解析（1）汽车离终点的路程S与时间t之间的关系是函数与自变量关系，因为对于时间t的每一个取值，路程S都有唯一确定的值与之对应。（2）圆的面积A与半径r之间的关系也是函数与自变量关系，因为对于半径r的每一个取值，面积A都有唯一确定的值与之对应。练习题与答案解析练习题二01求下列函数的定义域和值域，并画出它们的图象。题目02（1）y=3x-2；（2）y=x^2-4x+3。答案及解析03（1）函数y=3x-2的定义域和值域都是全体实数R，其图象是一条直线。（2）函数y=x^2-4x+3的定义域是全体实数R，值域是y≥-1，其图象是一个开口向上的抛物线，并且顶点坐标为（2，-1）。练习题与答案解析02常量与变量在表达式中作用CHAPTER

常量在表达式中角色常量作为基准值在表达式中，常量通常作为一个固定的基准值，用来与其他变量进行比较或计算。常量作为限制条件在某些情况下，常量也可以作为限制条件，限制变量的取值范围或变化趋势。常量在函数中的应用在函数中，常量可以作为函数的参数或系数，影响函数的图像和性质。123在某些表达式中，变量之间呈现出线性变化规律，即变量之间按照一定的比例关系进行变化。线性变化规律除了线性变化规律外，变量之间还可能呈现出非线性变化规律，如指数变化、对数变化等。非线性变化规律在复杂的表达式中，多个变量之间可能相互影响，一个变量的变化可能会引起其他变量的变化。变量之间的相互影响变量在表达式中变化规律当表达式中含有多个变量时，可以尝试使用分离变量法，将不同变量分别进行处理，简化问题。分离变量法在某些情况下，可以使用代入消元法，将其中一个变量用其他变量表示出来，从而消去一个变量，简化问题。代入消元法当表达式中的变量之间存在某种关系时，可以尝试使用整体代换法，将其中一个变量或表达式整体代换为另一个变量或表达式。整体代换法含有多个变量时处理方法在行程问题中，常量和变量往往与时间、速度、路程等物理量有关，通过建立表达式可以求解相关问题。行程问题在利润问题中，常量和变量往往与成本、售价、利润等经济量有关，通过建立表达式可以分析商家的盈利情况。利润问题在几何问题中，常量和变量往往与图形的边长、面积、体积等几何量有关，通过建立表达式可以求解相关几何问题。几何问题除了以上几类问题外，还有许多其他实际问题可以通过建立表达式进行分析和求解。其他实际问题实际应用问题举例03图形表示法：直角坐标系和图像CHAPTER在直角坐标系中，每个点都有唯一的一对坐标值（x，y）与之对应。直角坐标系具有平移、对称等性质，这些性质对于理解和分析函数图像非常重要。直角坐标系由两条互相垂直的数轴构成，分别是横轴和纵轴。直角坐标系基本概念和性质在定义域内选取适当的自变量值，并计算出对应的函数值，列成表格。列表描点连线在直角坐标系中，以表格中的自变量值为横坐标，对应的函数值为纵坐标，描出相应的点。按照函数的变化趋势，用平滑的曲线将描出的点连接起来，形成函数的图像。030201绘制函数图像步骤和技巧010204识别不同函数类型图像特征线性函数图像是一条直线，斜率和截距决定了直线的倾斜程度和位置。二次函数图像是一条抛物线，开口方向、对称轴和顶点坐标是其主要特征。反比例函数图像是双曲线，其两支分别位于第一、三象限或第二、四象限。指数函数和对数函数图像则具有特定的增长或衰减趋势。03利用函数图像可以直观地了解函数的性质，如增减性、最值等。通过观察函数图像的交点，可以求解方程组的解。利用函数图像可以预测未来趋势，为决策提供依据。在实际问题中，可以通过建立函数模型并利用图像进行分析和求解。01020304利用图像解决实际问题04表格表示法：数据整理与呈现CHAPTER通过直接观察或实验获取数据，记录相关变量的数值。观察法设计问卷，收集大量被调查者的意见、态度或行为数据。问卷调查法查阅相关文献资料，收集已有研究数据或统计资料。文献资料法数据收集和整理方法论述在设计表格前，需要明确表格要呈现的数据内容和目的。明确表格目的表格设计应简洁明了，避免过于复杂或冗余。简洁明了通过表格的排版、字体、颜色等方式突出重点数据。突出重点确保数据在表格中对齐，单位统一，方便比较和分析。注意数据对齐和单位统一表格设计原则及注意事项通过表格中的数据，可以直观地比较不同变量之间的数值大小和变化趋势。通过表格中的数据进行分组和排序，发现数据间的规律和关联。利用表格中的数据进行计算，如求和、平均值、百分比等，进一步分析数据间的关系。利用图表等方式将数据可视化，更直观地展示数据间的关系。利用表格分析数据间关系基于表格中的历史数据，可以利用回归分析、趋势分析等方法预测未来趋势或结果。预测结果需要以一定的方式进行呈现，如表格、图表等，方便理解和比较。在预测过程中，需要考虑多种因素的影响，如市场变化、政策调整等。需要注意的是，预测结果存在一定的不确定性和误差，需要结合实际情况进行分析和判断。预测未来趋势或结果05关系式表示法：建立数学模型CHAPTER在具体情境中，首先要识别出哪些量是变化的，哪些量是自变量，哪些量是因变量。观察实际情境，识别变化的量自变量是主动变化的量，因变量是随自变量变化而变化的量。要明确这种关系，以便建立数学模型。明确自变量和因变量的关系确定自变量和因变量关系在明确了自变量和因变量的关系后，要根据已知条件建立它们之间的关系式。根据已知条件建立关系式建立关系式后，可以利用代数方法求解未知数。例如，可以通过移项、合并同类项、代入已知数值等方法求解。利用代数方法求解未知数建立关系式并求解未知数判断关系式是否成立条件验证关系式的正确性在求解出未知数后，要将解代入原关系式进行验证，以确保解的正确性。判断关系式成立的条件有些关系式可能只在某些特定条件下成立。因此，在建立关系式时，要明确其成立的条件，并在求解后进行验证。线性模型线性模型是最简单的数学模型之一，广泛应用于各个领域。例如，在物理学中，许多基本定律都可以用线性方程来表示；在经济学中，线性回归模型被用于预测和分析经济现象。非线性模型非线性模型比线性模型更复杂，但也具有更广泛的应用。例如，在生物学中，种群增长模型往往是非线性的；在金融学中，股票价格波动模型也常采用非线性形式。离散模型与连续模型离散模型主要用于描述离散时间点或空间点上的现象，如数列、概率论等；而连续模型则用于描述连续变化的现象，如微积分、实变函数等。这些模型在数学和其他学科中都有广泛应用。拓展应用：其他领域数学模型06实际问题中变量关系分析CHAPTER03工作效率与工作时间之间的关系在工作量一定的情况下，工作效率越高，所需时间越短；反之，效率越低则时间越长。01商品价格与销售量之间的关系当商品价格下降时，销售量通常会上升；反之，价格上升则销售量下降。02行驶速度与行驶时间之间的关系在路程一定的情况下，行驶速度越快，所需时间越短；反之，速度越慢则时间越长。生活中常见问题举例从实际问题中找出相关的变量，并明确它们之间的关系。将实际问题中的文字描述转化为数学表达式或方程。根据数学表达式或方程，分析变量之间的变化规律。提取关键信息并转化为数学问题

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