沪教版初中数学九年级第一学期二次函数复习课

沪教版初中数学九年级第一学期二次函数复习课CATALOGUE目录二次函数基本概念与性质二次函数与一元二次方程二次函数图像变换及性质二次函数最值问题求解策略二次函数在几何图形中的应用二次函数综合复习与提高01二次函数基本概念与性质

二次函数定义及表达式二次函数定义形如$y=ax^2+bx+c$（$aneq0$）的函数称为二次函数。二次函数的一般形式$y=ax^2+bx+c$，其中$a,b,c$是常数，且$aneq0$。二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其中$(h,k)$是顶点坐标。123二次函数的图像是一条抛物线，对称轴为$x=-frac{b}{2a}$，顶点坐标为$left(-frac{b}{2a},c-frac{b^2}{4a}right)$。二次函数图像当$a>0$时，抛物线开口向上；当$a<0$时，抛物线开口向下。抛物线开口方向令$y=0$可求得抛物线与$x$轴的交点，即二次方程的根；令$x=0$可求得抛物线与$y$轴的交点，即$y=c$。抛物线与坐标轴交点二次函数图像与性质判别式与根的关系当$Delta>0$时，方程有两个不相等的实根；当$Delta<0$时，方程无实根，即抛物线与$x$轴无交点。当$Delta=0$时，方程有两个相等的实根（即一个重根）；判别式定义：对于二次方程$ax^2+bx+c=0$，其判别式为$Delta=b^2-4ac$。判别式与根的关系02二次函数与一元二次方程通过配方将一元二次方程转化为完全平方形式，进而求解。配方法公式法因式分解法利用一元二次方程的求根公式进行求解。将一元二次方程进行因式分解，得到两个一元一次方程，分别求解。030201一元二次方程求解方法二次函数$y=ax^2+bx+c$（$aneq0$）与一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$aneq0$）有密切关系。当$y=0$时，二次函数转化为一元二次方程。二次函数的图像（抛物线）与$x$轴的交点即为对应一元二次方程的根。二次函数的顶点坐标可以通过对应的一元二次方程求解得到。二次函数与一元二次方程关系利润问题如求解商品销售的最大利润问题，可以通过建立二次函数模型并转化为求一元二次方程的根来解决。面积问题如求解矩形、三角形等图形的面积最大值或最小值问题，可以通过建立二次函数模型并转化为求一元二次方程的根来解决。运动问题如求解物体运动过程中的最值问题（如最大高度、最小速度等），可以通过建立二次函数模型并转化为求一元二次方程的根来解决。实际应用问题举例03二次函数图像变换及性质将二次函数图像在平面内沿某一方向移动一定的距离，得到新的图像。平移变换定义平移不改变二次函数的开口方向、顶点坐标和对称轴。平移性质左加右减，上加下减。即图像向左（右）平移，解析式中的x用x+a(a>0)或x-a(a<0)替换；图像向上（下）平移，解析式中的y用y+b(b>0)或y-b(b<0)替换。平移规律平移变换及性质对称变换定义将二次函数图像关于某一直线或点进行对称，得到新的图像。对称性质对称不改变二次函数的开口方向和对称轴，但顶点坐标会发生变化。对称规律关于x轴对称，解析式中的y用-y替换；关于y轴对称，解析式中的x用-x替换；关于原点对称，解析式中的x和y分别用-x和-y替换。对称变换及性质伸缩变换定义将二次函数图像的横坐标或纵坐标按照一定比例进行伸缩，得到新的图像。伸缩性质伸缩不改变二次函数的开口方向和对称轴，但顶点坐标和图像的宽窄会发生变化。伸缩规律横坐标伸缩，解析式中的x用ax(a>1)或ax(0<a<1)替换；纵坐标伸缩，解析式中的y用by(b>1)或by(0<b<1)替换。当a>1时，图像横向压缩；当0<a<1时，图像横向拉伸。当b>1时，图像纵向拉伸；当0<b<1时，图像纵向压缩。伸缩变换及性质04二次函数最值问题求解策略将二次函数配方成顶点式，根据顶点坐标和区间范围确定最值。配方法画出二次函数的图象，根据图象在区间内的最高点或最低点确定最值。图象法判断二次函数在给定区间的单调性，根据单调性确定最值。单调性法区间内最值问题求解方法直接使用二次函数的最值公式求解。公式法通过配方将二次函数转化为顶点式，从而直接得出最值。配方法无约束条件下最值问题求解方法将约束条件代入二次函数中消元，转化为无约束条件的最值问题求解。消元法利用判别式判断二次函数在约束条件下的最值情况，结合不等式性质求解。判别式法将二次函数和约束条件转化为线性规划问题，利用线性规划的方法求解。线性规划法约束条件下最值问题求解方法05二次函数在几何图形中的应用确定抛物线顶点01利用顶点式$y=a(x-h)^2+k$可以直接确定抛物线的顶点坐标$(h,k)$。判断抛物线开口方向02通过观察顶点式中的系数$a$，可以判断抛物线的开口方向。当$a>0$时，抛物线开口向上；当$a<0$时，抛物线开口向下。求解最值问题03对于开口向上的抛物线，其最小值出现在顶点处；对于开口向下的抛物线，其最大值出现在顶点处。利用顶点式可以方便地求解这类最值问题。抛物线顶点式在几何图形中应用求解交点坐标通过将抛物线方程$y=ax^2+bx+c$与其他函数或直线方程联立，可以求解出交点的坐标。判断交点个数通过观察交点式的判别式$Delta=b^2-4ac$，可以判断抛物线与直线或其他函数的交点个数。当$Delta>0$时，有两个交点；当$Delta=0$时，有一个交点；当$Delta<0$时，没有交点。求解与坐标轴交点令$x=0$可求得抛物线与$y$轴的交点；令$y=0$并解方程可得抛物线与$x$轴的交点。010203抛物线交点式在几何图形中应用抛物线其他性质在几何图形中应用抛物线上任意一点的切线斜率等于该点横坐标的两倍与纵坐标之和。利用这一性质，可以求解一些与切线相关的问题。切线性质抛物线关于其对称轴对称。利用这一性质，可以方便地求解一些与对称性相关的问题。对称性对于标准形式的抛物线$y^2=4px$（$p>0$），其准线方程为$x=-p$，焦点坐标为$(p,0)$。利用准线和焦点的性质，可以求解一些与距离和角度相关的问题。准线和焦点06二次函数综合复习与提高03二次函数与一元二次方程的关系理解二次函数与一元二次方程的联系，掌握通过解方程求函数值的方法。01二次函数的概念及性质回顾二次函数的定义，理解其开口方向、对称轴、顶点等基本概念，掌握其图像和性质。02二次函数的解析式掌握二次函数的一般式、顶点式和交点式，理解各参数的含义，能够根据不同的条件选择适当的解析式。知识点回顾与总结典型例题一典型例题二典型例题三经典例题解析与讨论求二次函数的解析式。通过已知条件列方程，解出参数值，得到函数的解析式。判断二次函数的图像与x轴的交点情况。通过判别式判断方程的根的情况，从而确定函数图像与x轴的交点个数及位置。利用二次函数的性质解决最值问题。根据函数的开口方向和顶点坐标，确定函数的最大值或最小值。探究二次函数图像的平移和伸缩变换。理解图像的平移和伸缩变换规律，能够根据不同的变