物理课后答案

习题解答

习题一

1-1IArI与4有无不同？业和业有无不同？虫和虫有无

dtdtdtdt

不同?其不同在哪里?试举例说明.

解：（1）加|是位移的模，Ar是位矢的模的增量，即|Ar|=h-八|,

可-同；

（2）支是速度的模，即上训=乎.

drdt1dt

乎只是速度在径向上的分量.

dr

,•,有r=”（式中/做单位矢），则匕=匕f+厂史

drdtdt

式中日就是速度径向上的分量，

dt

横向/«

・••生与匕不同如题1-1图所示.0/

drdt

题1-1图

（3）电表示加速度的模，即同=电，当是加速度a在切向上的分

dr11dtdt

量.

•.•有v=v4T表轨道节线方向单位矢），所以

dvdv_df

—=—T+V——

drdrdt

式中半就是加速度的切向分量.

dt

（•••理与好的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论）

dtdr

1-2设质点的运动方程为x=x⑺，y=y("，在计算质点的速度

和加速度时，有人先求出厂=厅7了，然后根据v=手，及。=些

dtdr

而求得结果；又有人先计算速度和加速度的分量，再合成求得结

果，即

你认为两

种方法哪一种正确？为什么？两者差别何在?

解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角

坐标系中，有了=婷+q,

_drdx-dy-

v=—=—i+一j

dtdtdt

_d2rd2x-rd2y

a=-=--i+—j

d/2rdt2drr

故它们的模即为

而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把

速度、加速度定义作

drd2r

v=一a=-

drdr27

其二，可能是将日与冬误作速度与加速度的模。在1-1题中已

dtdt

说明日不是速度的模，而只是速度在径向上的分量，同样，二也

dtdr

不是加速度的模，它只是加速度在径向分量中的一部分

或者概括性地说，前一种方法只考虑了位矢不

在径向（即量值）方面随时间的变化率，而没有考虑位矢不及速

度力的方向随间的变化率对速度、加速度的贡献。

1-3一质点在xOy平面上运动，运动方程为

x=3，+5,y--

2

式中f以S计，以m计.（1）以时间f为变量，写出质点位置矢

量的表示式；（2）求出产1s时亥IJ和r=2s时刻的位置矢量，计

算这1秒内质点的位移；（3）计算，=0s时刻至lj/=4s时刻内的平

均速度；（4）求出质点速度矢量表示式，计算f=4s时质点的速

度;（5）计算，=0s至l」r=4s内质点的平均加速度；（6）求出质点

加速度矢量的表示式，计算，=4s时质点的加速度（请把位置矢

量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表

示成直角坐标系中的矢量式）.

解：（1）>=（3f+5»+（；产+3/—4），m

（2）将"1/=2代入上式即有

斤=87-0.57m

=117+4jm

Ar=^-rj=3j+4.57m

⑶1r0=5j-4j,r4+167

...葭.=曰=1方+2。入立+‘I

Ar4-04

(4)v=—=37+(f+3)Jm-s-1

dt

-1

则v4-3i+7jm-s

⑸;环=3；+3]户4=3：+7]

亍=8=£^=3=my?

444

「

(6)a-=——dv=1jm-s-2

dr

这说明该点只有y方向的加速度，且为恒量。

1-4在离水面高h米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸S处,

如题1-4图所示.当人以％(m・J)的速率收绳时，试求船运动的

速度和加速度的大小.

图1-4

解：设人到船之间绳的长度为/,此时绳与水面成。角，由图可

知

2=h~+$2

将上式对时间f求导，得

2/—=25—

dtdt

根据速度的定义，并注意到/…是随,减少的,

.d/ds

而=%"船dr

ds/d/Iv

即0

晞=一亩=-^7=1，°=国万

_ZV_(/22+S2)，/2V

或O0

Vflft=T=-T

将院再对，求导，即得船的加速度

d/7ds

dv船drdt..—%，s+/v船

-=------------2---------V0=--------------]----------

dtss

//2、，

(—5+一)%h2v2

S_nV0

1-5质点沿X轴运动，其加速度和位置的关系为a=2+6，，a的

单位为m§2,X的单位为m.质点在x=0处，速度为lOm.s-1,试

求质点在任何坐标处的速度值.

冷力••dvdvdxdv

•a=—=---=v—

drdxdtdx

分离变量：udu=adx=(2+6x2)dx

两边积分得

12c3

—v=2x+2x+c

2

由题知，x=O时，v0=10,/.c=50

v=2,丁+x+25m-s-1

1-6已知一质点作直线运动，其加速度为a=4+3/m.s-2,开始

运动时，x=5m,v=0,求该质点在r=10s时的速度和位置.

解：:a=—=4+3/

dr

分离变量，得dv=(4+3f)df

积分，得^4t+-t2+c,

v2

由题知，，=0,%=0,工C[=0

故^4t+-r

v2

又因为"工=今+'2

dt2

分离变量，dx=(4t+-t2)dt

积分得x^2t2+-t3+c

22

由题知=0,x0=5,••c2=5

故x=2r+-/3+5

2

所以"10s时

3.

v=4x10+—xlO2=190m-s-1

1(0)2

1q

2,3

x10=2X10+-X10+5=705m

1-7一质点沿半径为1m的圆周运动，运动方程为6=2+3

6式中以弧度计，，以秒计，求：(1)r=2s时，质点的切向和

法向加速度；(2)当加速度的方向和半径成45°角时，其角位移

是多少？

解：O=K=9",£=%=18

drdr

2

(l)f=2s时，aT-Rfi=1x18x2=36m-s~

222

an-R①2-lx(9x2)=1296m-s-

(2)当加速度方向与半径成45。角时，有

tan450=幺=1

a“

即Reo2=R/3

亦即(9/2)2=18/

则解得「二

9

于是角位移为

2

。=2+3/=2+3xW=2.67rad

9

1-8质点沿半径为R的圆周按5=的规律运动，式中s为

质点离圆周上某点的弧长，匕，匕都是常量，求：(1*时刻质点的

加速度；(2)，为何值时,加速度在数值上等于人

ds

解：⑴v=—=v-b7t

dta0

dv,

a=—=-b

Trdr

V2d-初打

d==

nRR

则。

加速度与半径的夹角为

a—Rb

(P=arctan—=--------

a

n(V0-bt)

(2)由题意应有

a=

VR2

即小二尸+”「,)：,=d_4)4=0

R~

.•.当"幺时-，a=b

b

1-9以初速度%=20m.sT抛出一小球，抛出方向与水平面成

a=60。的夹角,

求：（1）球轨道最高点的曲率半径与；（2）落地处的曲率半径此.

（提示：利用曲率半径与法向加速度之间的关系）

解：设小球所作抛物线轨道如题1-9图所示.

题1-9图

（1）在最局点，

Vj=vx=v0cos60°

a,A=g=lOml

v.2(20xcos600)2

•P、=-=---行----a10

••,h

=10m

⑵在落地点，

-1

v2=v0=20m-s,

而=gxcos60°

*2

1-10飞轮半径为0.4m,自静止启动，其角加速度为£=0.2

rad•s-2,求f=2s时边缘上各点的速度、法向加速度、切向加速

度和合加速度.

解：当f=2s时，co=j3t=0.2x2=0.4rad-s-1

贝tlv=Reo=0.4x0.4=0.16m-s-1

an-R①=0,4x(0.4)=0.064m・s

Rf3-0.4x0.2=0.08m-s

=7(0.064)2+(0.08)2=0.102m-s

1-11如题1T1图，物体A以相对8的速度丫=屈沿斜面滑动,

y为纵坐标，开始时A在斜面顶端高为/?处，B物体以〃匀速向右

运动，求A物滑到地面时的速度.

解：当滑至斜面底时，y=3则％=即，A物运动过程中又受到

8的牵连运动影响，因此，A对地的速度为

3=1+呢

=(«+12ghcosa)i+Q2ghsina)j

题1-11图

1-12一船以速率匕=30km-h"沿直线向东行驶，另一小艇在其

前方以速率丫2=40km•h'

沿直线向北行驶，问在船上看小艇的速度为何?在艇上看船的速

度又为何?

解：(1)大船看小艇，则有%=弓-不依题意作速度矢量图如题

1T2图(a)

(a)

题1-12图

由图可知v21=+v\-50km.h"

y3

方向北偏西0-arctan—=arctan-=36.87°

4

⑵小船看大船，则有兀=V,-V2，依题意作出速度矢量图如题1-12

图(b),同上法，得

-1

v12=50kmh

方向南偏东36.87。

1-13在河水流速3=2nrsT的地方有小船渡河.如果希望小船以

u=4m-s-1的速率垂直于河岸横渡，问小船相对于河水的速度大

小和方向应如何?

解：设小船相对于河水的速度方向“如图

示.

u2二2u2

u—+u；=2V5m/s=4.47

tan(6—90°)=%=3=立

v2^55

3=114.09

习题二

2-1一细绳跨过一定滑轮，绳的一边悬有一质量为叫的物体，

另一边穿在质量为%的圆柱体的竖直细孔中，圆柱可沿绳子滑

动.今看到绳子从圆柱细孔中加速上升，柱体相对于绳子以匀加

速度这下滑，求叫，也相对于地面的加速度、绳的张力及柱体与

绳子间的摩擦力(绳轻且不可伸长，滑轮的质量及轮与轴间的摩

擦不计).

解：因绳不可伸长，故滑轮两边绳子的加速度均为由,其对于性

则为牵连加速度，又知叫对绳子的相对加速度为。'，故叫对地加

速度，由图(b)可知，为

f

a2=a1-a

①

又因绳的质量不计，所以圆柱体受到的摩擦力/在数值上等于绳

的张力T,由牛顿定律，有

m]g-T=

②

T-m2g=m2a2

联立①、②、③式，得

(m-m)g+ma'

a\=1---2---；--2----

mx+m2

_(〃?l_加2)g_〃?M，

a2-'

g+m2

f=T=兀〃2(2g4)

m}+m2

讨论(1)若屋=0,则%=%表示柱体与绳之间无相对滑动・

⑵若a，=2g,则T=/=0,表示柱体与绳之间无任何作用力，此

时叫，叫均作自由落体运动.

(a)(b)

题2-1图

2-2质量为16kg的质点在xOy平面内运动，受一恒力作用，力

的分量为人=6N,人=一7N,当r=0时，x=），=0,匕=-28・十,

匕,=0.求

当t=2s时质点的（1）位矢；（2）速度.

(1)

A35

v=v+Iadt=-2+-x2=——m-s"

*vxv。0J))84

/7—7c7_i

v=v+adt=——x2=——m-s

>v,v°0?168

于是质点在2s时的速度

5「7r

V=-I-Im-s-1

48

(2)

22-

131-7_

-(-2x2+—x—x4)z+—(——)x4/

28216

13.7t

=-----1——im

48

2-3质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力初晨为

常数）作用，产0时质点的速度为％,证明（1）f时刻的速度为V=

丫。广》；（2）由0到f的时间内经过的距离为

、=（詈）［『）4］；（3）停止运动前经过的距离为小£）；（4）

证明当f=m/k时速度减至％的工式中"为质点的质量.

e

答：⑴："出=曳

mdt

分离变量，得

du_-kdt

vm

In—=Ine

%

(2)x=jvdz=Jvo^-^dr=)

⑶质点停止运动时速度为零，即t-8,

故有

K

(4)当弋=/时，其速度为

v=ve一立•旦*=ve-I=—口0

ooe

即速度减至%的L

e

2-4一质量为机的质点以与地的仰角。=30°的初速均从地面抛

出，若忽略空气阻力，求质点落地时相对抛射时的动量的增量.

解：依题意作出示意图如题2-4图

mv

题2-4图

在忽略空气阻力情况下，抛体落地瞬时的末速度大小与初速度大

小相同，与轨道相切斜向下，

而抛物线具有对y轴对称性，故末速度与x轴夹角亦为30。，则动

量的增量为

Ap=mv-mvQ

由矢量图知，动量增量大小为「叫方向竖直向下.

2-5一质量为机的小球从某一高度处水平抛出，落在水平桌面

上发生弹性碰撞.并在抛出1s,跳回到原高度，速度仍是水平

方向，速度大小也与抛出时相等.求小球与桌面碰撞过程中，桌

面给予小球的冲量的大小和方向.并回答在碰撞过程中，小球的

动量是否守恒？

解：由题知，小球落地时间为0.5s.因小球为平抛运动，故小球

落地的瞬时向下的速度大小为匕=gy0.5g，小球上跳速度的大小

亦为V2=0.5g.设向上为y轴正向，则动量的增量

酝=mv2-/nvt方向竖直向上,

大小|明=mv2-(-mv})=mg

碰撞过程中动量不守恒.这是因为在碰撞过程中，小球受到地面

给予的冲力作用.另外，碰撞前初动量方向斜向下，碰后末动量

方向斜向上，这也说明动量不守恒.

2-6作用在质量为101^的物体上的力为尸=(10+2。小，式中，的单

位是s,(1)求4s后，这物体的动量和速度的变化，以及力给予物

体的冲量.(2)为了使这力的冲量为200N・s,该力应在这物体

上作用多久，试就一原来静止的物体和一个具有初速度

的物体，回I答这两个问题.

解：(1)若物体原来静止，则

Ap,=1Fdr=J，(10+2f)Fdz=56kg-m-s-ir,沿x轴正向，

△%=—=5.6m-s-7

m

7,二酝=56kg-m-s-,i

若物体原来具有-6m.sT初速，则

Po=-mv0,p=m(-v0+=-mv0+1户df于是

酝2="一九=1户d”酝，

同理,

AV2=AV],12=7j

这说明，只要力函数不变，作用时间相同，则不管物体有无初动

量，也不管初动量有多大，那么物体获得的动量的增量(亦即冲

量）就一定相同，这就是动量定理.

（2）同上理，两种情况中的作用时间相同，即

I=］（10+2/）df=10，+产

亦即Z2+10/-200=0

解得f=10s,（r=20s舍去）

2-7一颗子弹由枪口射出时速率为v°m.sT,当子弹在枪筒内被加

速时，它所受的合力为£=（〃-9）N（a力为常数），其中，以秒

为单位：（1）假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，试计算子弹

走完枪筒全长所需时间；（2）求子弹所受的冲量.（3）求子弹的质

量.

解：（1）由题意，子弹到枪口时，有

F=（a—bt）=0,得t=—

b

（2）子弹所受的冲量

I=1（a-bt）dt=at-

将”；代入，得

b

/上

2b

⑶由动量定理可求得子弹的质量

Ia~

m=—=----

%2/7v0

2-8设户=7f-6}N.⑴当一质点从原点运动到尸=-3i+4/+16》m

时，求户所作的功.（2）如果质点到r处时需0.6s,试求平均功

率.（3）如果质点的质量为1kg,试求动能的变化.

解：（1）由题知，户为恒力,

A合=」厅=（7:一6力•（一3；+4了+16J）

-21-24=-45J

⑵

（3）由动能定理，妆=A=-45J

2-9一根劲度系数为匕的轻弹簧4的下端，挂一根劲度系数为原

的轻弹簧8,8的下端

一重物C,C的质量为M，如题2-9图.求这一系统静止时两弹簧

的伸长量之比和弹性势

能之比.

解：弹簧A、8及重物C受力如题2-9图所示平衡时，有

题2-9图

FB二七Ax：

所以静止时两弹簧伸长量之比为

k

k

弹性势能之比为

"3k4；~

2-10如题2To图所示，一物体质量为2kg,以初速度％=3m・s'

从斜面A点处下滑，它与斜面的摩擦力为8N,到达8点后压缩弹

簧20cm后停止，然后又被弹回，求弹簧的劲度系数和物体最后能

回到的高度.

解：取木块压缩弹簧至最短处的位置为重力势能零点，弹簧原

长处为弹性势能零点。则由功能原理，有

-frs+加g$sin37°)

1、

—mv+mgssin37°-frs

k

=---^-k-x--2--i-------------

2

式中s=4.8+0.2=5m,x=0.2m,再代入有关数据,解得

女=1390N-m」

题2-10图

再次运用功能原理，求木块弹回的高度汇

1

-frs'=mgs'sin31°--kx

代入有关数据，得，=L4m,

则木块弹回高度

»=s'sin370=0.84m

题2-11图

2-11质量为M的大木块具有半径为R的四分之一弧形槽，如题

2-11图所示.质量为〃?的小立方体从曲面的顶端滑下，大木块放

在光滑水平面上，二者都作无摩擦的运动，而且都从静止开始，

求小木块脱离大木块时的速度.

解：机从M上下滑的过程中，机械能守恒，以用，M,地球为

系统，以最低点为重力势能零点，则有

mgR=—1mv2+—1MV2

又下滑过程，动量守恒，以〃,，M为系统则在〃?脱离M瞬间，水

平方向有

mv-MV=0

联立，以上两式，得

I2MgR

\('"+M)

2-12一质量为机的质点位于(XQ])处，速度为D=+质点

受到一个沿X负方向的力/的作用，求相对于坐标原点的角动量

以及作用于质点上的力的力矩.

解：由题知，质点的位矢为

r=xj+yj

作用在质点上的力为

f=~fi

所以，质点对原点的角动量为

Lo=rxmv

=(xj+yJ)xm(vxi+vyj)

=(x{mvy-y\tnvx)k

作用在质点上的力的力矩为

=rxf=(xli+ylj)x(-fi)=ylfk

2-13哈雷彗星绕太阳运动的轨道是一个椭圆.它离太阳最近距

离为八=8.75X10%时的速率是匕=5.46X10"m•s-1,它离太

2H

阳最远时的速率是丫2=9.08X10m•s这时它离太阳的距离「2

多少？(太阳位于椭圆的一个焦点。)

解：哈雷彗星绕太阳运动时受到太阳的引力一一即有心力的作

用，所以角动量守恒；又由于哈雷彗星在近日点及远日点时的速

度都与轨道半径垂直，故有

rxmv{=r2mv2

/_8.75xl0i°x5.46xl()4

5.26xl012m

9.08xlO2

2-14物体质量为3kg,尸0时位于尸=4:m,V=F+6jms-',如一恒

力了=57作用在物体上，求3秒后，(1)物体动量的变化；(2)相对

轴角动量的变化.

解：(1)Ap=^fdt-j^5jdr=15jkg-m-s-1

⑵解㈠x=Xo+v°J=4+3=7

17,-15-)___.

y—VpyZ4~—6/^—6x3+-x—x3^—25.5j

即>4：,r2=77+25.5]

vy=vOy+tzr=6+—x3=11

即G=X+6/,%+1U

/•L}=r}xmvx=4zx3(i+6y)=72k

L2=r2xmv2=(71+25.5j)x3(F+11J)=154.5^

2-1

/•/^L=L2-L]=S2.5kkg-m-s

解(二),:M=里

dt

/.AL=dr=J(rxF)dz

=f(4+，)；+(6f+；)x$2)jx5]df

=f5(4+t)kdt-82.5^kg-m2-s-1

2-15飞轮的质量〃?=60kg,半径R=0.25m,绕其水平中心轴。转

动，转速为900rev•min〔现利用一制动的闸杆，在闸杆的一端

加一竖直方向的制动力F,可使飞轮减速.已知闸杆的尺寸如题

2-25图所示，闸瓦与飞轮之间的摩擦系数〃=0.4,飞轮的转动惯

量可按匀质圆盘计算.试求：

(1)设尸=100N,问可使飞轮在多长时间内停止转动?在这段时

间里飞轮转了儿转？

(2)如果在2s内飞轮转速减少一半，需加多大的力产？

解：(1)先作闸杆和飞轮的受力分析图(如图(b)).图中N、M是

正压力，工、斤是摩擦力，&和K是杆在A点转轴处所受支承力，

R是轮的重力，P是轮在。轴处所受支承力.

0.75m

杆处于静止状态，所以对A点的合力矩应为零，设闸瓦厚度不计,

则有

F(/1+l2)-Nl=0N'=^^-F

A

对飞轮，按转动定律有/=-工/?〃，式中负号表示〃与角速度0方

向相反.

丁Fr=/z/VN=N'

工=■尸

又I--mR~,

2

...—=-2M/4)F

ImRlx

①

以F=100N等代入上式，得

〃-2x0.40x(0.50+0.75)…40_

B=-----------------------------xlOO=----radJ-s2

60x0.25x0.503

由此可算出自施加制动闸开始到匕轮停止转动的时间为

g_900x2万x3

=7.06s

60x40

这段时间内飞轮的角位移为

900x2491409

°=④0»+一〃-----------X—71——X—X（z一万x）2

604234

=53.1x2万rad

可知在这段时间里，飞轮转了53』转.

⑵软=900x葛rad,要求飞轮转速在，=2s内减少一■半，可知

色)乃,

B7?=-2........°..=——-=---1-5---rads2

t2t2

用上面式(1)所示的关系，可求出所需的制动力为

F=mRl\0

="

2/Z(/1+/2)

60x0.25x0.50x15^

-2x0.40x(0.50+0.75)x2

=177N

2-16固定在一起的两个同轴均匀圆柱体可绕其光滑的水平对称

轴。。，转动.设大小圆柱体的半径分别为R和r,质量分别为M和

m.绕在两柱体上的细绳分别与物体g和叫相连，叫和叫则挂在

圆柱体的两侧，如题2-26图所示.设R=0.20m,r=0.10m,m=

4kg,M=10kg,m,=m2=2kg,且开始时如，血2离地均为4=

2m.求：

(1)柱体转动时的角加速度；

(2)两侧细绳的张力.

解：设外,%和B分别为叫，叫和柱体的加速度及角加速度，方向

如图（如图b）.

题2-16(a)图题2-16(b)图

(1)叫，叫利柱体的运动方程如下：

T2-m2g=m2a2①

mxg-Ty=mxay②

T；R_T；r=I/3(§)

式中T；=T},T；=T2,a2=r/3,a}=Rp

而I^-MR*2+-mr2

22

由上式求得

Rm.-rm

-------------------2-g

I+mR+m2r

0.2x2-0.1x2

-xl0x0.202+-x4x0.102+2x0.202+2x0.102

22

=6.13rad-s-2

⑵由①式

T2=m2r/3+m2g=2x0.10x6.13+2x9.8=20.8N

由②式

T.=〃2|g—叫即=2x9.8-2x02x6.13=17.1N

2-17计算题2-17图所示系统中物体的加速度.设滑轮为质量均

匀分布的圆柱体，其质量为M,半径为r,在绳与轮缘的摩擦力

作用下旋转，忽略桌面与物体间的摩擦，设叫=50kg,%=200

kg,M=15kg,r=0.1m

解:分别以〃小叫滑轮为研究对象，受力图如图⑹所示.对g,m2

运用牛顿定律，有

m2g~T2-m2a①

7\=m{a②

对滑轮运用转动定律，有

2

T2r-Tir=(^Mr)/3③

又，arj3④

联立以上4个方程，得

mg_200x9.8

2m-s

771,+fTl-y+-而二5+2…00+15

1222

题277(a)图题277(b)图

LL

题2-18图

2-18如题2-18图所示，一匀质细杆质量为机，长为/,可绕过一

端。的水平轴自由转动，杆于水平位置由静止开始摆下.求：

(1)初始时刻的角加速度；

(2)杆转过。角时的角速度.

解：(1)由转动定律，有

2/

(2)由机械能守恒定律，有

mggsin6=gml2)co2

：.吟

题2-19图

2-19如题2T9图所示，质量为M,长为/的均匀直棒，可绕垂直

于棒一端的水平轴。无摩擦地转动，它原来静止在平衡位置

上.现有一质量为〃，的弹性小球飞来，正好在棒的下端与棒垂直

地相撞.相撞后，使棒从平衡位置处摆动到最大角度6=30。

处.

⑴设这碰撞为弹性碰撞，试计算小球初速％的值；

(2)相撞时小球受到多大的冲量？

解：(1)设小球的初速度为咻，棒经小球碰撞后得到的初角速度

为0,而小球的速度变为八按题意，小球利棒作弹性碰撞，所

以碰撞时遵从角动量守恒定律和机械能守恒定律，可列式：

mvQl=/@+mvl

①

上两式中/=g/2,碰撞过程极为短暂，可认为棒没有显著的角

位移；碰撞后，棒从竖直位置上摆到最大角度。=30。，按机械能

守恒定律可列式：

=A/^1(l-cos30°)

由③式得

由①式

ICO

"%一方

④

由②式

了7二说2-----1--(--0----

m

⑤

所以

//刃x212

30一,)2=%-0)-

mlm

求得

ICDI、l八IM.

%=《-Q+f)=彳(1+1一地

2ml23m

_Q6(2-y/53m+Mrjj

12m'

(2)相碰时小球受到的冲量为

jFdt=A//iv-mv-mva

由①式求得

JfcFvaur=mv-mv^=——g—=-—IMwl(o

《6(2-5M

6

负号说明所受冲量的方向与初速度方向相反.

题2-20图

2-20一质量为机、半径为R的自行车轮，假定质量均匀分布在轮

缘上，可绕轴自由转动.另一质量为人的子弹以速度％射入轮缘

（如题2-20图所示方向）.

（I）开始时轮是静止的，在质点打入后的角速度为何值？

（2）用m,外利。表不系统（包括轮和质点）最后动能和初始动能之

比.

解：（I）射入的过程对。轴的角动量守恒

Rsm^novo=（m+

0=W吧

(m+m0)R

msin20

(2)Ek*…。W］黑器2Q

Em+m

kKoQ

习题三

3-1惯性系S，相对惯性系s以速度"运动.当它们的坐标原点。

与。，重合时，，=/=(),发出一光波，此后两惯性系的观测者观测

该光波的波阵面形状如何?用直角坐标系写出各自观测的波阵面

的方程.

解：由于时间和空间都是均匀的，根据光速不变原理，光讯号为

球面波.波阵面方程为：

x2+y2+z2=(cr)2

+y'2+z'2=(ST

题3-1图

3-2设图3-5中车厢上观测者测得前后门距离为2/•试用洛仑兹

变换计算地面上的观测者测到同一光信号到达前、后门的时间

差.

解：设光讯号到达前门为事件1,在车厢8）系时空坐标为

区"）=（」，在车站（S）系：

C

乙=7（1+彳*；）=7（,+彳/）="（1+色）

CCCCC

光信号到达后门为事件2，则在车厢（S，）系坐标为⑷工）=（-/二），

C

在车站（S）系：

t2=♦（1+彳K）=2（1一与

CCC

于是Gf=-2驾

C

,

或者\t'-O,Ar=-Z2,AX-x[-X2-21

△t=/（Af+4Ax，）=/（=21）

c~c

3-3惯性系S，相对另一惯性系S沿x轴作匀速直线运动，取两

坐标原点重合时刻作为计时起点.在S系中测得两事件的时空坐

标分别为3=6X10%,产2X10%,以及它=12X10%,.『lx

10s.已知在S'系中测得该两事件同时发生.试问：（l）S'系

相对S系的速度是多少？（2）9系中测得的两事件的空间间隔是

多少？

解：设S）相对S的速度为V,

⑴=/（?|--TXI）

C

X

‘2=7。2------r2）

C

由题意=0

则/2F=~r（X2-X1）

c

故v=c~———=--=-1.5x10sm-s-1

x2-x}2

（2）由洛仑兹变换4=/（匹-%），石=42一%）

4

代入数值，x'2-x\=5.2x10m

3-4长度/°=lm的米尺静止于S'系中，与x'轴的夹角夕=30°,

sz系相对S系沿X轴运动，在S系中观测者测得米尺与X轴夹角为

6=45。.试求：（1）S，系和S系的相对运动速度.（2）S系中测得

的米尺长度.

解：（1）米尺相对S，静止，它在轴上的投影分别为:

L'x-Locos6'=0.866m，L'y-Losin6'=0.5m

米尺相对S沿x方向运动，设速度为v,对S系中的观察者测得米

尺在x方向收缩，而y方向的长度不变，即

故

把6=45。及4代入

则得

故v=0.816c

⑵在S系中测得米尺长度为L=—，=0.707m

sin45°

3-5一门宽为今有一固有长度/。（/。＞.）的水平细杆，在门外

贴近门的平面内沿其长度方向匀速运动.若站在门外的观察者认

为此杆的两端可同时被拉进此门，则该杆相对于门的运动速率〃

至少为多少？

解：门外观测者测得杆长为运动长度，,当时，

可认为能被拉进门，则

a-，。JIT?

解得杆的运动速率至少为：〃=CJY)2

一一I?__r

题3-6图

3-6两个惯性系中的观察者。和。以0.6c(c表示真空中光速)的相

对速度相互接近，如果。测得两者的初始距离是20m,则。，测得

两者经过多少时间相遇？

解：。测得相遇时间为加

z420

v0.6c

。，测得的是固有时协

•A"△'Lo/1—仍

yv

=8.89x10'5,

V

0=—=0.6,

c

1

或者，。，测得长度收缩，

—2r

L=L。-(3?—L0V10.6=O.8Lo,Af=—

4，_0.8%=0.8X20=8.89x10-8$

0.6c0.6x3x10s

3-7观测者甲乙分别静止于两个惯性参考系S和S，中，甲测得在

同一地点发生的两事件的时间间隔为4