数据融合理论与应用（第二版）课件：联合概率数据关联和多假设滤波器

联合概率数据关联和多假设滤波器6.1联合概率数据关联算法6.2多假设滤波器●补记

联合概率数据关联算法和多假设方法被认为是在多目标跟踪领域最有效的两种关联方法。多假设跟踪方法考虑回波来源于目标、杂波和新目标等各种可能的情况，构造面向量测的关联假设树，借以实现多目标的数据关联和跟踪。这种方法利用Bayes后验概率的传递特性，对假设树的各个分枝进行概率计算和评估，不断反复“修剪”小概率不可能假设，合并相同目标的假设。联合概率数据关联算法是多假设方法的一个特例，它避免了“最近邻”方法“唯一性”可能造成的关联出错，能够较好地适应密集环境下的多目标跟踪。近年来，以这两种算法为基本出发点的关于多目标跟踪的研究取得了很大的进展。

在第四章，我们对这两种算法的基本思想作了简短的介绍，本章我们对这两种方法进行系统、深入的研究。

6.1联合概率数据关联算法

6.1.1联合概率数据关联算法的基本思想联合概率数据关联(JointProbabilisticDataAssociation—JPDA)是Bar-shalom[1－3]和他的学生在仅适用于单目标跟踪的概率数据关联算法(PDA)的基础上，提出的适用于多目标跟踪情形的一种数据关联算法。

为了表示有效回波和各目标跟踪门的复杂关系，Bar-shalom引入了确认矩阵的概念。确认矩阵定义为

其中ωjt用以表示量测j是否落入目标t的确认门之内。t=0表示没有目标，此时对应Ω的列的元素都为1，这是因为任一量测都可能源于杂波或者是虚警。

量测落入跟踪门相交区域的情形，对应某些量测可能源于多个目标。联合概率数据关联的目的就是计算每一个量测与其可能的各种源目标相关联的概率。

设θ(k)={θi(k)}θki=1

表示在k时刻的所有可能的联合事件的集合，θk

表示θ(k)中元素的个数，其中

表示第i个联合事件，它表示m(k)个量测源的一种可能，θijtj

(k)表示量测j在第i个联合事件中源于目标tj

(0≤tj≤n)的事件，θij0

表示量测j在第i个联合事件中源于杂波或虚警。

设θjt(k)表示第j个量测与目标t关联的事件，则

这个事件称为关联事件。为使讨论方便，我们用θ0t

(k)表示没有任何量测源于目标t。．

联合概率数据关联的关键是计算这些联合事件和关联事件的概率。联合概率数据关联所依据的两个基本假设是：

(1)每一个量测有唯一的源，即任一个量测不源于某个目标，则必然源于杂波或虚警。换言之，我们不考虑有不可分辨的探测的可能性。

(2)对于一个给定的目标，最多有一个量测以其为源。如果一个目标产生多个量测，将取一个为真，其它为假。

满足上述两个假设的事件称为可能事件(FeasibleEvent)。

一个联合关联事件θi

(k)，可以用以下关联矩阵表示：

其中

表示在第i个联合事件中，量测j是否源于目标t，由以上两个假设容易得到关联矩阵满足：

为了讨论方便，我们引入两个二元变量。

(1)量测关联指示器：

τj

(θi

(k))称为量测关联指示器，表示量测j在联合事件

θi

(k)中是否和一个真实目标关联。

则τ(θi

(k))能够反映在联合事件θi

(k)中任一个量测是否与某个真实目标关联的情形。

(2)目标检测指示器：

δt

(θi

(k))称为目标检测指示器，表示任一量测在联合事件θi

(k)中是否与目标t关联(即，目标t是否被检测)。设

则δ(θi

(k))能够反映在联合事件θi

(k)中任一目标是否为被检测的事件。

设Φ(θi

(k))表示在联合事件θi

(k)中假量测的数量，则

由以上关于可能联合事件的讨论可以看出，对一个给定的多目标跟踪问题，一旦给定反映有效回波与目标或杂波关联态势的确认矩阵后，则所有表示可行联合事件的可行矩阵可以通过对确认矩阵的拆分得到。根据上述两个假设，对确认矩阵的拆分必须遵循以下两个原则：

(1)在确认矩阵的每一行，选出一个且仅选出一个1，作为可行矩阵在该行唯一非零的元素。这实际上是为了使可行矩阵表示的可能联合事件满足第一个假设，即每个量测有唯一的源。

(2)在可行矩阵中，除第一列外，每列最多只能有一个非零元素。这实际上是为了使可行矩阵表示的可能事件满足第二个假设，即每个目标最多有一个量测以其为源。

我们考虑如图6.1所示的最简单的多目标跟踪情形的例子。

图6.1多目标跟跟踪情况(目标数n=2，有效回波数m(k)=3)样本书中没有图P89页

图6.1所对应的确认矩阵为

根据以上确认矩阵的拆分原则，对Ω进行拆分，可以得到如下8个可行矩阵以及由每个可行矩阵所对应的可行事件。

通过以上对确认矩阵的拆分，我们共得到8个可行的联合事件。由这8个可行的联合事件的组成，进而可以得到每一个量测与目标关联的事件：

第一个量测与第一个目标关联的事件为

第一个量测不可能与第二个目标关联。

第二个量测与第一个目标关联的事件为

第二个量测与第一个目标关联的事件为

通过以上例子可以看出，可行矩阵和可行联合事件之间是一一对应的，而在实际应用中，一般是通过对确认矩阵的拆分而得到的可行矩阵来确定可行联合事件的。根据拆分原则，一个确认矩阵可以拆分成许多可行的联合矩阵。当目标个数、有效回波数增大，可行矩阵的数量会迅速增大，通常呈指数增长。另外波门相交的程度愈大，可行矩阵的数量也愈大。因此，开发对确认矩阵进行正确的、有效的拆分算法是实现联合概率数据关联的一个重要保证。

由概率数据关联的两个基本假设易知，在k时刻与目标t关联的事件具有下述特性：

(1)不相交性：

(2)完备性：

设

表示第j个量测与目标t关联的概率，则

由(6－14)，(6－15)式和全概率公式得

6.1.2联合事件的概率计算

应用贝叶斯法则，基于k时刻所有量测的联合事件的条件概率为

这里仍假设不与任何目标关联的量测在体积为V的确认区域中服从均匀分布，而与某个目标关联的正确量测服从高斯分布。所不同的只是假设所有的跟踪门对应整个监督区域，即P

G=1，从而有

我们注意到一旦θi(k)被给定，则目标探测指示器δ(θi(k))和虚警量测的数Φ(θi(k))也随之被确定，因此

应用乘法定理上式变为

我们注意到，一旦虚警量测数被给定以后，联合事件θi(k)便由其目标探测指示函数δ(θi(k))唯一确定，而包含Φ(θi(k))个虚警量测的事件共有CΦ(θi(k))m(k)个，而对于其余m(k)-Φ(θi

(k))个真实量测，在包含Φ(θi

(k))个虚警量测的事件中与目标共有(m(k)-Φ(θi

k)))!种可能的关联，故

而

其中PtD

式表示目标t的探测概率，μF(θi(k))表示虚警量测数的先验概率分配函数。将(6－28)式和(6－29)式代入(6－27)式得到联合事件θi

(k)的先验概率为

类似地，将(6－22)式和(6－30)式代入(6－20)式则得到联合事件θi

(k)的后验概率为

和概率数据滤波器的情形相同，按照估计虚警量测数的概率分配函数μF(θ

i

(k))所使用的模型，参数JPDA使用μF(θi

(k))的泊松分布，即

将(6－20)式代入(6－19)式立得

将(6－32)式代入(6－31)式得

基于(6－33)式可以得到第j个量测与目标关联的概率为

6.1.3协方差计算

基于第j个量测对目标t的状态估计^xtj(k|k)的协方差为

根据经典卡尔曼滤波的递推公式[4]，有

其中

Wt(k)表示k时刻目标t的增益矩阵；

St(k)表示k时刻目标t的预报残差的协方差矩阵。

由(6－19)式知：当没有任何目标源于目标t，即不利用任何有效回波对目标状态进行更新时，目标状态的估计值和目标状态的预报值相同，故

由(6－3)和(6－39)式得

由(6－18)式得

同理

将(6－41)、(6－42)、(6－43)和(6－44)式代入(6－40)式得

6.1.4n=1时JPDA和PDA的等价性证明

联合概率数据关联是概率数据关联的推广。这里对这一结论给一个严格的数学证明。当被跟踪的目标只有一个时，对于m(k)个量测共有m(k)+1个可能的联合事件，即

其中θ0

(k

)表示所有量测都源于杂波或虚警的联合事件，即

θi(k)(1≤i≤m(k))表示第i个量测与目标关联的事件，即

由上式容易得到：

当目标数目较多时，为了讨论方便，我们假设跟踪门足够大，以至跟踪门概率为1，而对于只有一个目标的情形，我们仍然用PG

表示跟踪门概率，则(6－29)式变为

因为第j个量测只在第j个联合事件中与目标关联，从而得到第j个量测与目标关联的概率为

而没有一个量测与目标关联的概率为

其中

将上式代入(6－54)和(6－55)式即得

6.2多假设滤波器

Reid[5]于1977年根据多目标跟踪问题基于“全邻”最优滤波器[6]和BarShalom的确认矩阵的概念，提出了多假设跟踪方法(MultipleHypothesisTracking)，多假设方法的思想如图6.2所示。

图6.2多假设跟踪的基本思想

多假设方法中的“假设”和联合概率数据关联中的联合事件的意义基本相同，所不同的是：

(1)在形成假设时不仅对任一有效回波要考虑虚警的可能性，而且也要考虑新目标出现的可能性。

(2)k时刻的假设是由k-1时刻的假设和当前累积量测集合关联得到的。

多假设方法综合了“最近邻”方法和联合概率数据关联方法的优点，其缺点在于过多依赖于目标和杂波的先验知识，如已进入跟踪的目标数、虚警数和新目标数等。

6.2.1假设的产生和假设树的形成

设Z(k)={zi(k)}m(k)i=1表示在第k次扫描中所得到的一组量测；

Zk={Z(1)，Z(2)，…，Z(k)}表示直到k时刻的累积量测集；

Ωk

表示k时刻的关联假设集。．

Ωk中的假设把累积量测集Zk与目标或杂波相关联，Ωk是由k-1时刻的关联假设集Ωk-1和当前量测集Z(k)关联而得到的。量测zi(k)和一个假设的关联有下列3种可能：

(1)与原有的一个假设关联，即zi(k)是一个航迹的继续。

(2)zi(k)一个新目标的量测，这时将产生一个新假设以起始一条新航迹。

(3)zi(k)源于虚警。

每一个目标至多与一个落入跟踪门中的当前量测关联。

下面我们通过一个例子说明假设树的生成过程。设

其中

设zj(i)=FA表示第i个扫描周期的第j个量测源于虚警；

zj(i)=NTk表示第i个扫描周期的第j个量测源于一个新目标，并起始一条航迹Tk

；

zj(i)=Tk表示第i个扫描周期的第j个量测源于已经起始的航迹Tk。

对于第一个扫描周期的第一个量测z1

(1)有两种可能的情形，这两种可能的情形构成了关于z1

(1)的两个假设：

同理关于z2

(1)也有两个假设：

注意T1≠T2，这是因为在同一个扫描周期的两个量测不可能源于同一个目标。由以上关于zi

(1)(i=1，2)的假设得到关于第一个扫描周期后累积量测集z1的假设为：

我们首先考虑第二个扫描周期中的第一个量测z1

(2)。z1

(2)共有4种可能的情形：

(1)源于虚警；

(2)源于在第一个扫描周期已起始的航迹T1

；

(3)源于在第一个扫描周期已起始的航迹T2

；

(4)源于一个新目标T3。

对于第一种情形我们得到4种可能的假设：

对于第二种情形，因为在第一个扫描周期中只有假设H3

(1)和H3(1)起始航迹T1

，故可能的假设只有两个，分别为

其中

表示第j个扫描周期的第i个量测源于已起始的航迹Tl

并得到更新航迹Ts。

同样的道理，对于第三种情形也得到两个可能的假设：

和第一种情形相似，对于第4种情形我们得到4种可能的假设：

应用上面同样的方法，关于z2(2)可得如下假设：

如图6.3所示，由以上关于zi(2)(i=1，2)的假设得到关于第一个扫描周期后累积量测集Z2的假设为：图6.3假设树表示

表6.1是图6.3的矩阵表示，由该矩阵可以看出，在所有这34个假设中共包含8个航迹：

在每一个假设中可能包含多条航迹。例如，假设H10

(2)包含航迹T2

和T8，而假设H34

(2)则包含航迹T1、T2

、T5、T8

。

6.2.2假设估计

设关于当前量测的事件θ(k)包含τ个源于已建立航迹的量测，v个源于新目标的量测和Φ个源于虚警或杂波的量测。

为了讨论方便我们引入关于θ(k)的上述情形的指示变量：

从而在θ(k)中已建立的航迹数为：

在θ(k)中起始的新航迹数为：

在θ(k)中假量测数为：

设Θk，l表示k时刻的第l条航迹，则由假设生成的概念可得Θk，l是由Θk-1

，s和θ(k)关联得到的，即

事件θ(k)表示当前量测集z(k)中的量测与目标或杂波关联的一种可能的情形，从而θ(k)可以表示为

其中

其中ti

表示与zi(k)关联的航迹。

其中ni

表示由zi

(k)起始的新航迹。

其中0表示zi

(k)源于杂波或虚警。

以下我们计算每个可行假设的概率，我们的兴趣是试图导出假设Θk，l的概率和假设Θk-1，s

的概率之间的递归关系，从而当接收到当前扫描的数据后，不需要再处理以前所有的数据。应用贝叶斯规则，容易得到

其中

如果一个量测zi

(k)源于一条已建立的航迹，则其服从高斯概率分布；如果一个量测zi

(k)源于杂波或虚警，则其在跟踪门中服从均匀分布，即概率密度为V-1；如果一个量测zi(k)起始一条新航迹，也假设其服从均匀分布，则

和(6－26)式同样的道理，一旦θ(k)给定，则δ(θ(k))、Φ(θ(k))和v(θ(k))也随之被确定，

故

其中δ(θ(k))表示与(6－10)式对应的向量探测指示器，Φ(θ(k))、υ(θ(k))分别表示事件θ(k)中的虚警数和新目标数。包含Φ个虚警和υ个新目标的事件的个数共有m(

k)!CΦ+υm(k)CυΦ+υ

个，故

而

6.2.3假设管理

1.假设删除

假设删除或修剪(HypothesesPr