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文档简介

2024届江苏省无锡市江阴市南菁高中高三考前热身数学试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设为定义在上的奇函数,当时,(为常数),则不等式的解集为()A. B. C. D.2.已知向量,,则向量在向量上的投影是()A. B. C. D.3.已知四棱锥的底面为矩形,底面,点在线段上,以为直径的圆过点.若,则的面积的最小值为()A.9 B.7 C. D.4.执行如图所示的程序框图,则输出的结果为()A. B. C. D.5.在中,已知,,,为线段上的一点,且,则的最小值为()A. B. C. D.6.已知Sn为等比数列{an}的前n项和,a5=16,a3a4=﹣32,则S8=()A.﹣21 B.﹣24 C.85 D.﹣857.已知圆锥的高为3,底面半径为,若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上,则这个球的体积与圆锥的体积的比值为()A. B. C. D.8.己知函数的图象与直线恰有四个公共点,其中,则()A. B.0 C.1 D.9.下列不等式正确的是()A. B.C. D.10.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是A. B. C. D.11.已知函数,将函数的图象向左平移个单位长度后,所得到的图象关于轴对称,则的最小值是()A. B. C. D.12.已知复数满足,则的最大值为()A. B. C. D.6二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.设,满足条件,则的最大值为__________.14.已知圆柱的上下底面的中心分别为,过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为36的正方形,则该圆柱的体积为____15.在中,内角所对的边分别是,若,,则__________.16.若点为点在平面上的正投影,则记.如图,在棱长为1的正方体中,记平面为,平面为,点是线段上一动点,.给出下列四个结论:①为的重心;②;③当时,平面;④当三棱锥的体积最大时,三棱锥外接球的表面积为.其中,所有正确结论的序号是________________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知点到抛物线C:y1=1px准线的距离为1.(Ⅰ)求C的方程及焦点F的坐标;(Ⅱ)设点P关于原点O的对称点为点Q,过点Q作不经过点O的直线与C交于两点A,B,直线PA,PB,分别交x轴于M,N两点,求的值.18.(12分)如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠ABC=90°,AB=AA1,M,N分别是AC,B1C1的中点.求证:(1)MN∥平面ABB1A1;(2)AN⊥A1B.19.(12分)已知函数.(Ⅰ)当时,讨论函数的单调区间;(Ⅱ)若对任意的和恒成立,求实数的取值范围.20.(12分)已知函数.(1)求不等式的解集;(2)设的最小值为,正数,满足,证明:.21.(12分)如图所示,四棱锥P﹣ABCD中,PC⊥底面ABCD,PC=CD=2,E为AB的中点,底面四边形ABCD满足∠ADC=∠DCB=90°,AD=1,BC=1.(Ⅰ)求证:平面PDE⊥平面PAC;(Ⅱ)求直线PC与平面PDE所成角的正弦值;(Ⅲ)求二面角D﹣PE﹣B的余弦值.22.(10分)已知离心率为的椭圆经过点.(1)求椭圆的方程;(2)荐椭圆的右焦点为,过点的直线与椭圆分别交于,若直线、、的斜率成等差数列,请问的面积是否为定值?若是,求出此定值;若不是,请说明理由.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

由可得,所以,由为定义在上的奇函数结合增函数+增函数=增函数,可知在上单调递增,注意到,再利用函数单调性即可解决.【详解】因为在上是奇函数.所以,解得,所以当时,,且时,单调递增,所以在上单调递增,因为,故有,解得.故选:D.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性、单调性解不等式,考查学生对函数性质的灵活运用能力,是一道中档题.2、A【解析】

先利用向量坐标运算求解,再利用向量在向量上的投影公式即得解【详解】由于向量,故向量在向量上的投影是.故选:A【点睛】本题考查了向量加法、减法的坐标运算和向量投影的概念,考查了学生概念理解,数学运算的能力,属于中档题.3、C【解析】

根据线面垂直的性质以及线面垂直的判定,根据勾股定理,得到之间的等量关系,再用表示出的面积,利用均值不等式即可容易求得.【详解】设,,则.因为平面,平面,所以.又,,所以平面,则.易知,.在中,,即,化简得.在中,,.所以.因为,当且仅当,时等号成立,所以.故选:C.【点睛】本题考查空间几何体的线面位置关系及基本不等式的应用,考查空间想象能力以及数形结合思想,涉及线面垂直的判定和性质,属中档题.4、D【解析】循环依次为直至结束循环,输出,选D.点睛:算法与流程图的考查,侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念,包括选择结构、循环结构、伪代码,其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件,更要通过循环规律,明确流程图研究的数学问题,是求和还是求项.5、A【解析】

在中,设,,,结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求,可得,再由已知条件求得,,,考虑建立以所在的直线为轴,以所在的直线为轴建立直角坐标系,根据已知条件结合向量的坐标运算求得,然后利用基本不等式可求得的最小值.【详解】在中,设,,,,即,即,,,,,,,,即,又,,,则,所以,,解得,.以所在的直线为轴,以所在的直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系,则、、,为线段上的一点,则存在实数使得,,设,,则,,,,,消去得,,所以,,当且仅当时,等号成立,因此,的最小值为.故选:A.【点睛】本题是一道构思非常巧妙的试题,综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题,解题的关键是理解是一个单位向量,从而可用、表示,建立、与参数的关系,解决本题的第二个关键点在于由,发现为定值,从而考虑利用基本不等式求解最小值,考查计算能力,属于难题.6、D【解析】

由等比数列的性质求得a1q4=16,a12q5=﹣32,通过解该方程求得它们的值,求首项和公比,根据等比数列的前n项和公式解答即可.【详解】设等比数列{an}的公比为q,∵a5=16,a3a4=﹣32,∴a1q4=16,a12q5=﹣32,∴q=﹣2,则,则,故选:D.【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和,根据等比数列建立条件关系求出公比是解决本题的关键,属于基础题.7、B【解析】

计算求半径为,再计算球体积和圆锥体积,计算得到答案.【详解】如图所示:设球半径为,则,解得.故求体积为:,圆锥的体积:,故.故选:.【点睛】本题考查了圆锥,球体积,圆锥的外接球问题,意在考查学生的计算能力和空间想象能力.8、A【解析】

先将函数解析式化简为,结合题意可求得切点及其范围,根据导数几何意义,即可求得的值.【详解】函数即直线与函数图象恰有四个公共点,结合图象知直线与函数相切于,,因为,故,所以.故选:A.【点睛】本题考查了三角函数的图像与性质的综合应用,由交点及导数的几何意义求函数值,属于难题.9、D【解析】

根据,利用排除法,即可求解.【详解】由,可排除A、B、C选项,又由,所以.故选D.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质,以及对数的比较大小问题,其中解答熟记三角函数与对数函数的性质是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.10、A【解析】

详解:由题意知,题干中所给的是榫头,是凸出的几何体,求得是卯眼的俯视图,卯眼是凹进去的,即俯视图中应有一不可见的长方形,且俯视图应为对称图形故俯视图为故选A.点睛:本题主要考查空间几何体的三视图,考查学生的空间想象能力,属于基础题。11、A【解析】

化简为,求出它的图象向左平移个单位长度后的图象的函数表达式,利用所得到的图象关于轴对称列方程即可求得,问题得解。【详解】函数可化为:,将函数的图象向左平移个单位长度后,得到函数的图象,又所得到的图象关于轴对称,所以,解得:,即:,又,所以.故选:A.【点睛】本题主要考查了两角和的正弦公式及三角函数图象的平移、性质等知识,考查转化能力,属于中档题。12、B【解析】

设,,利用复数几何意义计算.【详解】设,由已知,,所以点在单位圆上,而,表示点到的距离,故.故选:B.【点睛】本题考查求复数模的最大值,其实本题可以利用不等式来解决.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

作出可行域,由得,平移直线,数形结合可求的最大值.【详解】作出可行域如图所示由得,则是直线在轴上的截距.平移直线,当直线经过可行域内的点时,最小,此时最大.解方程组,得,..故答案为:.【点睛】本题考查简单的线性规划,属于基础题.14、【解析】

由轴截面是正方形,易求底面半径和高,则圆柱的体积易求.【详解】解:因为轴截面是正方形,且面积是36,所以圆柱的底面直径和高都是6故答案为:【点睛】考查圆柱的轴截面和其体积的求法,是基础题.15、【解析】

先求得的值,由此求得的值,再利用正弦定理求得的值.【详解】由于,所以,所以.由正弦定理得.故答案为:【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形,考查同角三角函数的基本关系式,考查两角和的正弦公式,考查三角形的内角和定理,属于中档题.16、①②③【解析】

①点在平面内的正投影为点,而正方体的体对角线与和它不相交的的面对角线垂直,所以直线垂直于平面,而为正三角形,可得为正三角形的重心,所以①是正确的;②取的中点,连接,则点在平面的正投影在上,记为,而平面平面,所以,所以②正确;③若设,则由可得,然后对应边成比例,可解,所以③正确;④由于,而的面积是定值,所以当点到平面的距离最大时,三棱锥的体积最大,而当点与点重合时,点到平面的距离最大,此时为棱长为的正四面体,其外接球半径,则球,所以④错误.【详解】因为,连接,则有平面平面为正三角形,所以为正三角形的中心,也是的重心,所以①正确;由平面,可知平面平面,记,由,可得平面平面,则,所以②正确;若平面,则,设由得,易得,由,则,由得,,解得,所以③正确;当与重合时,最大,为棱长为的正四面体,其外接球半径,则球,所以④错误.故答案为:①②③【点睛】此题考查立体几何中的垂直、平行关系,求几何体的体积,考查空间想象能力和推理能力,属于难题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ)C的方程为,焦点F的坐标为(1,0);(Ⅱ)1【解析】

(Ⅰ)根据抛物线定义求出p,即可求C的方程及焦点F的坐标;

(Ⅱ)设点A(x1,y1),B(x1,y1),由已知得Q(−1,−1),由题意直线AB斜率存在且不为0,设直线AB的方程为y=k(x+1)−1(k≠0),与抛物线联立可得ky1-4y+4k-8=0,利用韦达定理以及弦长公式,转化求解|MF|•|NF|的值.【详解】(Ⅰ)由已知得,所以p=1.所以抛物线C的方程为,焦点F的坐标为(1,0);(II)设点A(x1,y1),B(x1,y1),由已知得Q(−1,−1),由题意直线AB斜率存在且不为0.设直线AB的方程为y=k(x+1)−1(k≠0).由得,则,.因为点A,B在抛物线C上,所以,.因为PF⊥x轴,所以,所以|MF|⋅|NF|的值为1.【点睛】本题考查抛物线的定义、标准方程及直线与抛物线中的定值问题,常用韦达定理设而不求来求解,本题解题关键是找出弦长与斜率之间的关系进行求解,属于中等题.18、(1)详见解析;(2)详见解析.【解析】

(1)利用平行四边形的方法,证明平面.(2)通过证明平面,由此证得.【详解】(1)设是中点,连接,由于是中点,所以且,而且,所以与平行且相等,所以四边形是平行四边形,所以,由于平面,平面,所以平面.(2)连接,由于直三棱柱中,而,,所以平面,所以,由于,所以.由于四边形是矩形且,所以四边形是正方形,所以,由于,所以平面,所以.【点睛】本小题主要考查线面平行的证明,考查线面垂直的证明,考查空间想象能力和逻辑推理能力,属于中档题.19、(Ⅰ)见解析(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)首先求得导函数,然后结合导函数的解析式分类讨论函数的单调性即可;(Ⅱ)将原问题进行等价转化为,,恒成立,然后构造新函数,结合函数的性质确定实数的取值范围即可.【详解】解:(Ⅰ)当时,,当时,在上恒成立,函数在上单调递减;当时,由得:;由得:.∴当时,函数的单调递减区间是,无单调递增区间:当时,函数的单调递减区间是,函数的单调递增区间是.(Ⅱ)对任意的和,恒成立等价于:,,恒成立.即,,恒成立.令:,,,则得,由此可得:在区间上单调递减,在区间上单调递增,∴当时,,即又∵,∴实数的取值范围是:.【点睛】本题主要考查导函数研究函数的单调性和恒成立问题,考查分类讨论的数学思想,等价转化的数学思想等知识,属于中等题.20、(1)(2)证明见解析【解析】

(1)将表示为分段函数的形式,由此求得不等式的解集.(2)利用绝对值三角不等式求得的最小值,利用分析法,结合基本不等式,证得不等式成立.【详解】(1),不等式,即或或,即有或或,所以所求不等式的解集为.(2),,因为,,所以要证,只需证,即证,因为,所以只要证,即证,即证,因为,所以只需证,因为,所以成立,所以.【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法,考查分析法证明不等式,考查基本不等式的运用,属于中档题.21、(Ⅰ)证明见解析(Ⅱ).(Ⅲ)﹣.【解析】

(Ⅰ)由题知,如图以点为原点,直线分别为轴,建立空间直角坐标系,计算,证明,从而平面PAC,即可得证;(Ⅱ)求解平面PD

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