初等函数中的增减性与函数分类

初等函数中的增减性与函数分类汇报人：XX2024-01-26XXREPORTING目录增减性基本概念初等函数增减性分析函数分类及特点初等函数图像变换与增减性关系复合函数增减性判断方法总结回顾与拓展延伸PART01增减性基本概念REPORTINGXX对于函数$f(x)$，如果在其定义域内任意取两个数$x_1$和$x_2$（$x_1<x_2$），都有$f(x_1)leqf(x_2)$，则称函数$f(x)$在该区间内是增函数。增函数对于函数$f(x)$，如果在其定义域内任意取两个数$x_1$和$x_2$（$x_1<x_2$），都有$f(x_1)geqf(x_2)$，则称函数$f(x)$在该区间内是减函数。减函数增减性定义导数法通过求导数来判断函数的增减性。若在某区间内，函数的导数大于0，则函数在该区间内是增函数；若导数小于0，则函数在该区间内是减函数。差分法通过比较函数在相邻两点的函数值差来判断函数的增减性。若在某区间内，相邻两点的函数值差大于0，则函数在该区间内是增函数；若相邻两点的函数值差小于0，则函数在该区间内是减函数。判定方法在直角坐标系中，增函数的图像从左到右呈上升趋势。增函数的几何意义在直角坐标系中，减函数的图像从左到右呈下降趋势。减函数的几何意义几何意义PART02初等函数增减性分析REPORTINGXX当$k>0$时，函数在整个定义域内单调递增。当$k<0$时，函数在整个定义域内单调递减。一次函数$y=kx+b$（$kneq0$）的增减性取决于斜率$k$的符号一次函数增减性二次函数$y=ax^2+bx+c$（$aneq0$）的增减性取决于系数$a$的符号和对称轴的位置当$a>0$时，函数在对称轴左侧单调递减，在对称轴右侧单调递增。当$a<0$时，函数在对称轴左侧单调递增，在对称轴右侧单调递减。二次函数增减性指数函数$y=a^x$（$a>0,aneq1$）的增减性取决于底数$a$的大小当$a>1$时，函数在整个定义域内单调递增。当$0<a<1$时，函数在整个定义域内单调递减。指数函数增减性

对数函数增减性对数函数$y=log_ax$（$a>0,aneq1$）的增减性取决于底数$a$的大小当$a>1$时，函数在$(0,+infty)$上单调递增。当$0<a<1$时，函数在$(0,+infty)$上单调递减。PART03函数分类及特点REPORTINGXX对于所有$x$，都有$f(-x)=-f(x)$，图像关于原点对称。奇函数偶函数非奇非偶函数对于所有$x$，都有$f(-x)=f(x)$，图像关于$y$轴对称。不满足奇函数和偶函数的定义，图像既不关于原点对称也不关于$y$轴对称。030201奇偶性分类及特点存在正数$T$，使得对于所有$x$，都有$f(x+T)=f(x)$，图像呈现周期性变化。不存在满足上述条件的正数$T$，图像不具有周期性。周期性分类及特点非周期函数周期函数有界函数存在正数$M$，使得对于所有$x$，都有$|f(x)|leqM$，图像在某一范围内波动。无界函数不满足有界函数的定义，即对于任意正数$M$，都存在$x$使得$|f(x)|>M$，图像波动范围无限。有界性分类及特点PART04初等函数图像变换与增减性关系REPORTINGXX函数图像沿x轴或y轴平移后，函数的增减性保持不变。平移不改变函数的增减性虽然平移不改变函数的增减性，但可能导致函数的单调区间发生变化。平移可能改变函数的单调区间平移变换对增减性影响伸缩变换可能改变函数的增减性当函数图像沿x轴或y轴进行伸缩变换时，函数的增减性可能发生变化。伸缩变换对函数单调区间的影响伸缩变换可能导致函数的单调区间发生变化，具体变化取决于伸缩因子的大小和符号。伸缩变换对增减性影响对称变换可能改变函数的增减性当函数图像关于x轴、y轴或原点进行对称变换时，函数的增减性可能发生变化。对称变换对函数单调区间的影响对称变换可能导致函数的单调区间发生变化，具体变化取决于对称轴或对称中心的位置和性质。对称变换对增减性影响PART05复合函数增减性判断方法REPORTINGXX复合函数定义及性质回顾设函数$y=f(u)$的定义域为$D_f$，值域为$M_f$，函数$u=g(x)$的定义域为$D_g$，值域为$M_g$，且$M_gcapD_fneqvarnothing$，则函数$y=f[g(x)]$称为由函数$y=f(u)$与函数$u=g(x)$复合而成的复合函数。复合函数定义复合函数保持原函数的单调性、奇偶性、周期性等性质。复合函数性质同增异减规律若内层函数在某区间内单调增加（或减少），且外层函数也单调增加（或减少），则复合函数在该区间内单调增加（或减少）；若内层函数和外层函数单调性相反，则复合函数在该区间内单调性无法确定。要点一要点二判断步骤首先确定内层函数的单调性，然后确定外层函数的单调性，最后根据同增异减规律判断复合函数的单调性。内外层函数同增异减规律总结VS讨论函数$y=log_2(x^2-2x-3)$的单调性。解析首先确定内层函数$u=x^2-2x-3$的单调性，在区间$(-infty,1)$上单调减少，在区间$(1,+infty)$上单调增加；然后确定外层函数$y=log_2u$的单调性，在定义域内单调增加；最后根据同增异减规律，复合函数在区间$(-infty,1)$上单调减少，在区间$(1,+infty)$上单调增加。例题1典型例题解析与讨论讨论函数$y=sin(2x+frac{pi}{3})$的单调性。首先确定内层函数$u=2x+frac{pi}{3}$的单调性，在定义域内单调增加；然后确定外层函数$y=sinu$的单调性，在区间$[-frac{pi}{2}+2kpi,frac{pi}{2}+2kpi]$上单调增加，在区间$[frac{pi}{2}+2kpi,frac{3pi}{2}+2kpi]$上单调减少；最后根据同增异减规律，复合函数在区间$[-frac{5pi}{12}+kpi,frac{pi}{12}+kpi]$上单调增加，在区间$[frac{pi}{12}+kpi,frac{7pi}{12}+kpi]$上单调减少。例题2解析典型例题解析与讨论PART06总结回顾与拓展延伸REPORTINGXX增减性的定义对于函数$f(x)$，若在某个区间$I$上，对于任意$x_1,x_2inI$，当$x_1<x_2$时，有$f(x_1)leqf(x_2)$，则称函数$f(x)$在区间$I$上单调增加；若在上述条件下，有$f(x_1)<f(x_2)$，则称函数$f(x)$在区间$I$上严格单调增加。同理，可以定义单调减少和严格单调减少。通过求导来判断函数的增减性。若函数$f(x)$在区间$I$上可导，且$f'(x)>0$，则函数在该区间上单调增加；若$f'(x)<0$，则函数在该区间上单调减少。如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等，它们的增减性可以通过求导或者基本性质来判断。增减性的判断方法常见初等函数的增减性关键知识点总结回顾非初等函数的定义非初等函数指的是不能用基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算得到的函数，如三角函数、反三角函数、双曲函数等。非初等函数的增减性判断方法对于非初等函数，由于其表达式复杂，往往难以直接通过求导来判断其增减性。此时，可以借助函数的图像、性质或者通过变换转化为熟悉的函数形式来进行判断