基于“数学理解”主张的教学实践探索

基于“数学理解”主张的教学实践探索在数学教育领域，数学理解一直是人们讨论的重要话题，1989年全美数学教师理事会（NationalCouncilofTeachersofMathematics，简称NCTM）明确提出“数学课程的重点应该是‘数学概念和理解’，数学教育研究者和教学设计者要将数学理解作为数学研究的首要重点”。数学教学的根本目标是学生的理解。数学教学应帮助学生形成一种正确的“数学观”—一种分析和理解的偏好、一种理解结构和结构关系的偏好、一种观察事物之适应力的偏好，教学的目的应该是培养学生的概念理解能力，而不是教给他们纯粹的机械技能。通过教学实践，学生应该学会认识数学的价值，并建构对数学的深层次的理解。①放眼我国目前的数学教学实践，在考试、解题、背记公式定理等等的压力之下，有多少学生喜爱数学、乐于在数学学习中积极地思考，又有多少学生在数学学习中真正地获益呢？因此，数学理解及其价值与意义对全体社会公民整体素养的提升与发展将产生越来越大的作用。而作为现阶段学习与数学理解的最直接、亦是最重要的中介，学校数学课程及教学无疑将首当其冲，直面社会变化的激烈挑战与现实改革的强大压力。学生只有真正理解了数学，核心素养才有可能真实地存在于课堂教学中，才能够成为学生可以直接吸收的营养。数学理解能有助于学生以新的视角去认识原有知识，在个体内部创造更为丰富的认知网络，掌握数学知识的本质，也有助于教师提升课程实施的效果。为了使数学教学有意义，教师自己需要对知识有深刻的理解，教师对课程的理解是课程实施的关键。数学教学的本质就在于如何促进学生更好地理解数学的本质。用理解的观点来看数学，可以让学生更好地把握其中蕴涵的数学思想，摆脱繁琐数学运算和数学推理的藩篱，消除学生对数学的畏惧感，感受数学的内在美和整个世界的统一美，以达到从根本上提高学生学习数学积极性之目的。一、“数学理解”教学主张的形成（一）检视课堂—观察思考阶段从教多年之后，我发现学生普遍感觉学习数学枯燥，没有兴趣，数学学习变成了学生无法脱离的苦海。如果没有高考，恐怕绝大多数学生都会放弃数学。我有一个学生，曾获得广西数学奥赛第一名，并凭此保送清华大学，他选的专业是生物科学。被保送后，他就再也不看数学书了，这让我感触颇多。究其原因，是高中数学教学过于强调形式化训练，而很少注意对所学数学知识的意义进行深层次的挖掘，很多教师只会就教材教教材，缺乏对知识的深度解读，缺乏对学科育人目标和学生自主发展的整体设计，这些问题不仅致使课堂效率低下，学生的数————————————————————————————————①AlanH.Schoenfeld，学会数学地思维:数学中的问题解决、超认知和数学意识，载:D.A.格劳斯主编，《数学教学研究手册》，上海教育出版社，1999年4月，P.364学素养更是无法获得有效提升。我深刻地认识到，原有的教学方式必须进行改革，应该创设让学生喜欢的数学课堂。从那以后，我更加关注自己的教学，借助书本理论和其他教师的教学经验不断的进行自我探索，根据教学对象、教学内容和自身的优势设计教学，努力寻找最适合自己的教学方式，深化认知，努力发展自己对教学的认识和理解。（二）学习反思—实践积累阶段随着教学实践的开展，我对教学的认识和理解也随着实践经验的积累而越发广泛和深刻，开始思考自己的教学定位。为了更好地提高教学实效，我结合自身的优势开展了课题研究。因为我对计算机辅助教学有浓厚的兴趣，从2001年开始，我先后主持了两个桂林市A类重点课题《网络环境下数学CAI模式研究》和《基于<几何画板>的数学探究教学的实证研究》。经过多年研究，交上了满意的答卷：在刊物上发表多篇研究论文，撰写了3万字的研究报告，完成了几何画板积件库和教学应用案例集，由于成果丰富，课题结题时评定等级为A等，并获得桂林市教育科研成果一等奖。课题研究给我的课堂教学带来深刻影响，将自己对教学观念上的认知付诸实践，不断在实践中进行检验，反思总结，形成了自身对教学独有的思考。2011年是我专业成长的最重要的转折点，经过学校推荐和省教育厅的遴选，我参加了“广西基础教育名师培养工程”培训。在培训中，我了解到许多教育教学领域的新成果，特别是关于新课改的相关理念和做法，通过与教育专家和同行教师的深入交流，自身的专业理论水平又有了很大的提高，对教学的理解也更为深刻。名师班三年高水平的培训学习，使我的教育观念和教学思想有了质的变化，对教育的认识也逐渐由感性上升到理性，初步形成了自己的教学观点和主张。（三）名师培养—建构深化阶段2018年4月我被遴选成为教育部“国培计划”首届中小学领航名师。作为首届中小学领航名师，以西南大学教师教育学院为依托，得到了西南大学领航基地的系统指导，不仅从教育理论提升、教育科学研究、教学能力发展等方面得到了全面的学习提升，基地还为每一位领航名师配备了学识渊博的理论导师和实践导师，可以随时随地进行沟通请教。通过多次集中研修的机会，在陈时见、宋乃庆、于波、陈婷等导师的精心指点下，“数学理解”教学主张研究取得了实质性的突破，有了明确的研究方向。在西南大学领航名师基地的指导下，2019年还成立了教育部中小学名师领航工程赵建宏名师工作室，工作室以“数学理解”为核心教育主张，致力于建设新时代高素质专业化创新形教师队伍，引领区域教师构建能够彰显知识本质和学科育人方向的数学课堂。二、“数学理解”的研究进展（一）国外相关研究国外数学理解研究分为三个阶段。第一阶段是数学理解的理论探索（20世纪30s到90s）。1976年斯根普（Skemp，R。）将理解分为工具性理解和关系性理解两种模式，随后，他的学生赫斯库维斯（Her-scovies，N.）和维纳（S.Vinner）将数学理解分为四种模式（工具性理解，关系性理解，直觉性理解和形式性理解）。1990年，皮瑞和基伦（Pirie＆Kieren）深入研究了数学理解的增长趋势和表征，建立了超回归数学理解模型，将数学理解分为八个水平，分别为原始认知、产生表象、形成表象、关注性质、形式化、观察反思、结构化和发明创造。这一阶段主要以理论思辨研究为主，教学实践研究较少，第二阶段是数学理解的教学实践研究（20世纪90s初至21世纪初）。随着数学理解理论逐渐被完善，研究者开始从教学实践角度验证、修正数学理解理论，以提高数学理解效果。根据研究内容、研究视角等的不同，数学理解的教学实践研究又可以分为教师教学方式研究、学生学习方式研究和数学理解的评价研究三个方面。研究者试图从多个角度阐述、论证什么是真正的数学理解，在实践层面上找出表面理解与真正理解、浅层理解与深层理解的区别。如美国数学课堂广泛地采用探究性教学、合作性教学等教学方式，学生主动探索和同伴合作交流受到了极大欢迎，学者们调查研究了在这些教学方式下教师扮演的角色和学生数学理解的效果。第三阶段是数学理解的横向比较研究（21世纪初至今）。人们开始关注数学理解的横向比较研究，并且主要从课堂实践的角度比较各国教师、学生在数学理解上的差异，研究方法包括观察法、访谈法、作业分析法等。美国特拉华大学蔡金法教授2017年研究了中国优秀教师的数学理解观，调查了中国优秀教师对数学理解的理解，结合数学教学案例阐述如何实现数学理解。美国学者斯蒂格勒和希尔伯特认为不同的民族有不同的文化路径（如亚洲国家与美国文化思维不同），不同国家的课例研究有助于教师理解课程、理解学生，重新审视自己的教学观，提高教学效率，实现教育目标。从上述研究历程可以发现这样一种趋势：研究视角从理论延伸到实践，从纵向延伸到横向；研究内容从理论层面关注知识本位（即数学理解的本质是什么）到实践层面关注认识本位（即教学如何促进学生数学理解）。通过不断探索，研究者们对数学理解内涵的解读由单一视角到多重视角，对数学理解模型的认识更有深度。—————————————①余瑶，张春莉.国外数学理解研究的进展与展望[J].教育学报，2018，14(1):35-44（二）国内相关研究1.数学理解的认识李士琦认为：“学习一个数学概念、原理、法则，如果在心理上能组织起适当的有效的认知结构，并使之成为个人内部的知识网络的一部分，那么就说明是理解了。”陈琼认为：“数学理解是学习者先认识数学对象的外部表征，构建相应的心理表象，然后在建立新旧知识联系的动态过程中，打破原有的认识平衡，将数学对象的心理表象进行改造、整理、重组，重新达到新的平衡，以便抽取数学对象的本质特征及规律，从而达到对数学对象的理解。”2.数学理解的层次王光明等通过调查得出数学理解可分为三个层次，操作性理解、关系性理解和迁移性理解。①周建华将数学理解划分为直接性理解、解释性理解、推断性理解和创造性理解四个层次。②香港中文大学梁贯成将理解分为明显理解和隐含理解，前者指能明确地说出不同数学概念之间的联系，并清楚地指明与某一数学概念相关的“知识群”，后者指尽管自身已经达到了关系性理解，但却不能清楚地表述出来。③吕林海提出学生理解发展的阶段性（EFSC模型），将数学理解分为：经验性理解、形式化理解、结构化理解与文化性理解这四个发展阶段。④黄燕玲、喻平根据对数学知识的分类，认为数学理解应涵盖对陈述性知识、程序性知识及过程性知识的理解等3个方面。⑤于新华、杨之将数学理解的层次分为零层次、常识性层次、逻辑性层次、观念性层次和无尽的层次。⑥以上关于数学理解层次（水平）的划分，虽然不尽相同，均表现出一定的主观性和模糊性，但都说明数学理解是有不同程度、层次和水平的，是具有一定的量的特征的，同时具有模糊性。3.数学理解的评价陈明选和邓喆提出理解性学习评价,以理解促进人的发展,以追求学生对知识的深度理解为核心价值,以核心知识为评价载体,以学生理解水平为评价标准,创设有利于理解的学习环境，通过多元评价和贯穿始终的过程性评价促进学习者创新思维的发展。⑦徐兆洋认为理解取向的数学教学设计策略应提供表现性评价.⑧①王光明.数学教学效率研究[D].南京：南京师范大学数学与计算机科学学院，2005.②周建华.试论“理解”的层次结构[J].中学数学，1998(6):3-5.③郑毓信.数学教育:从理论到实践[M].上海:上海教育出版社,2001.④吕林海.数学理解性学习与教学研究[D].上海：华东师范大学教科院课程与教学系，2005.⑤黄燕玲,喻平.对数学理解的再认识[J].数学教育学报，2002,11(3):40-43.⑥于新华，杨之.数学理解的层次性及其教学意义[J].数学教育学报，2005,14(2):23-25.⑦陈明选,邓喆.教育信息化进程中学习评价的转型—基于理解的视角[J].电化教育研究，2015(10):12-19⑧徐兆洋.为理解而设计教学[J].现代中小学教育，2013(11):13-17吕林海指出在实践层面上对数学理解评价应当强调以下三个方面：既运用非正规评价，也运用正规评价，由于理解的形成需要较长时间，所以评价要反映理解的持续发展过程，要特别强调并关注推理的层次。①吴新静和盛群力认为教师要确定能够证明学生已经获得理解的有效证据，每个学习单元设置一定的评估标准，利用这些评估反馈了解学生的学习情况，并进一步指导自身的教学，这个阶段教师需要完成三个任务（选择合适的评估方式、设计真实的情境任务、制定评估量表）。②三、“数学理解”教学主张的理论基础（一）《普通高中数学课程标准(2020年修订版)》的相关内容和要求《课程标准》将数学定义为是研究数量关系和空间形式的一门科学。数学源于对现实世界的抽象，基于抽象结构，通过符号运算、形式推理、模型构建等，理解和表达现实世界中事物的本质、关系和规律。数学与人类生活和社会发展紧密关联。数学不仅是运算和推理的工具，还是表达和交流的语言。数学承载着思想和文化，是人类文明的重要组成部分。数学在形成人的理性思维、科学精神和促进个人智力发展的过程中发挥着不可替代的作用。数学教育承载着落实立德树人根本任务、发展素质教育的功能。数学教育帮助学生掌握现代生活和进一步学习所必需的数学知识、技能、思想和方法；提升学生的数学素养，引导学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界；促进学生思维能力、实践能力和创新意识的发展，探寻事物变化规律，增强社会责任感；在学生形成正确人生观、价值观、世界观等方面发挥独特作用。③《课程标准》关注数学学科核心素养的培养，树立了四大课程基本理念：一是学生发展为本，立德树人，提升素养；二是优化课程结构，突出主线，精选内容；三是把握数学本质，启发思考，改进教学；四是重视过程评价，聚焦素养，提高质量。课程目标由“双基”转变为“四基”，“三能”转变为“四能”，由提高数学基本能力转变为发展数学核心素养。学科核心素养是育人价值的集中体现，是学生通过学科学习而逐步形成的正确价值观、必备品格和关键能力。数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的。数学学科核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、—————————————①吕林海.数学理解之面面观[J].中学数学教学参考，2003(12):1-4.②吴新静，盛群力.理解为先促进设计模式—一种理解性教学设计的框架[J].当代教师教育，2017,10(2):40-46.③中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M].北京：人民教育出版社.2020，6.数学运算和数据分析。这些数学学科核心素养既相对独立、又相互交融，是一个有机的整体。数学核心素养具有基础性、综合性、阶段性和个体差异性。基础性是指数学核心素养对人的影响是长久的。它是从育人的高度把对学生终身发展具有奠基意义的、具有高度统摄性的数学思想、方法以及知识抽象出来所形成。从价值取向上看，它是个体适应未来优质生活和终身发展所必需的。综合性是指数学核心素养是学习者对其所拥有的数学知识、数学能力、数学态度、数学品质等的有效整合。当其内化后，在特定情境之下表现出来的综合素养，它强调三者之间的统整，而不是简单的相加。阶段性是指学生的数学核心素养在不同的发展阶段有不同层次的要求和表现。个体差异性是指不同的个体在发展过程中其数学素养不是整齐划一的，而是表现出个体的差异性。（二）斯根普对数学理解的研究斯根普则进一步提出了事物理解的两种模式：工具性理解和关系性理解。①斯根普认为，工具性理解是指一种语义理解，即符号所指代的事物是什么；或者是一种程序性理解，即一个规则所指定的每一个步骤是什么，如何操作。关系性理解则还需加上对符号意义和替代物本身结构上的认识，获得符号指代物意义的途径，以及规则本身有效性的逻辑依据等。他发现，学生在学习新的数学概念或数学公式时，由于对代表学习对象的符号形式不熟悉，往往把注意力集中于对符号本身含义的描述，而不是它的指代物的意义上，即所从事的是促进“工具性理解”形成的活动。他还指出，关系性理解本身就是一个数学学习目的，有益于学习者解决新的问题，容易记忆，有助于形成高质量的知识结构，所以更多的理解应当定位于“关系性理解”。斯根普关于理解的两种模式清楚地指出了数学理解的两个不同层面及其关系，即只有从工具性理解达到关系性理解，个体才能真正把握数学对象的本质。在斯根普看来，理解数学符号所代表的意义既是把握数学对象的本质的核心，更是数学理解所追求的目标，只有从工具性理解达到关系性理解，个体才能真正把握数学对象的本质。斯根普所提工具性理解和关系性理解在教学中同时存在，工具性理解指向结果，也为了结果；关系性理解指向过程，也是一种过程。不具发展性的教学常限于以“工具性理解”为目标，忽略培养学生的“关系性理解”，以致学生未能完全清楚地掌握数学知识。而教师之所以常常选择指向结果的工具性理解，是因为关系性理解的掌握太困难，需要花费太长时间，而选择工具性理解可以应对大多数考试。需要指出的是，两种理解是交融的，为了达成关系性理解有时需要工具性理解的支撑。—————————————①马复.试论数学理解的两种类型[J].数学教育学报,2001,10(3):50-53.（三）“超回归”数学理解模型“超回归”数学理解模型诞生于上世纪末，由英国的皮瑞和与加拿大的基伦通过反思之前数学理解之研究成果并通过大量实证研究提出，该理论模型以认知观为基础，为数学理解领域的研究打开了新的视野，主要用来探索学习过程中理解水平及其发展规律，是一套较为成熟的数学理解评价理论与模型，较全面地展示了数学理解的过程，深刻地展现了数学理解的发展层次。该模型认为，理解是一个进行中的、动态的、分水平的过程，从“分水平”的角度出发，把数学理解分为8个不同理解阶段，分别为：原始认识、产生表象、形成表象、性质认知、形式化、观察评述、构造化、发明创造。①1.初步认识(Primitiveknowing)：它是形成数学理解过程中的第一个水平。在这里，“初步的”并不是暗指水平低，而是指任何一个特定的数学理解形成的起点。大多数的教育工作者都认为这是一个人要达到理解性学习的前提条件。“初步认识”指通过一些具体的数学探究活动，或从原有的知识结构或生活体验出发，对所学习的内容有了初步的了解，例如具体的实例、粗糙的语言表述、一定的推论。2.产生表象(Imagemaking)：学习者需要凭借第一个水平对数学对象的认识，归结它的特征，制作崭新的表象来代表。3.形成表象(Imagehaving)：学习者将之前具体活动中产生的特殊表象组织起来，形成一般的表象，从而代替先前个别具体的表象，这是作为抽象的第一个水平。达到这一水平的学习者可以脱离之前的具体活动、事例，利用一般表象思考问题。4.关注性质(Propertynoticing)：在这一水平，学习者可以运用并组合数学对象的一系列表象，构造出独一无二的、与之相关的性质。具体表现为：学习者通过观察表象，发现表象间的不同点和相似点，从而创建表象间的关系，猜想、验证所学知识存在的特性或规律。教师通过提出思考性的问题，引导学生关注性质。5.形式化(Formalizing)：当学习者能通过认识前面的概念表象，概括和归纳得到有关的性质，进而构建形式化的数学对象，那么学习者就实现了“形式化”。在这期间，学习者的认知能够舍弃之前完善的表象，把数学对象变成一类进行思考。这一水平的理解可能在结构化和发明创造两个水平中再一次发生，进行再抽象。6.观察评述(Observing)：在这一水平，对数学概念、性质达到形式化的学习者能够反思并调控该过程，包括对内层水平的思维过程进行反思、对概括的知识进行思考和检验，并用自己的语言描述、掌握数学思想和方法。最后进行整理，归纳和应用。此时，学习者的思维具有一定的严密性，具体表现为能够解释之前—————————————①李淑文,张同君.“超回归”数学理解模型及其启示[J].数学教育学报,2002,11(1):21-23.的想法是正确的。7.结构化(CStructuring)：当学习者试图将前一水平整理与组织的结果(新学的知识内容)作为一种理论，或者是与学习者已有的知识之间建立联系，通过新旧知识相互作用将新知识纳入到原有的数学认知结构中时，结构化就产生了。此时，学习者需要反思所学的新知识与已有的数学知识之间是否存在联系，是否相互依赖，并利用逻辑或演绎推理的方法进行证明。8.发明创造(Inventing)：处于模型的最外层，在这一水平，学习者对数学对象有了整体的、深刻的、结构性的理解，可以互相迁移、举一反三、灵活应用了。与此同时，还有可能在此基础上，提出新的思考和新的理论。该模型明确指出了不同水平的具体表现，对8个水平进行了详尽的阐述与释义，客观地描述了数学理解过程中“回归”现象发生之原因，在这里，对“回归”现象做了细致之解释，强调8个理解水平之发展过程不是一步到位的，而是非线性的，从“回归”这一特点出发，体现了理解之反反复复之建构过程。该模型直观地描述了数学理解的过程和理解水平之间的相互关系，可以用具有一个公共切点的8个嵌套的圆来表示，一般认为，切点是知识的基点，外层包含内层，圆的半径依次增大，圆的大小表示对知识理解的广度与深度，逐步拓广。该理解模型用二维形式描述，包含着超越与回归，不是单向的发展过程，先前知识是后续知识的基础，理解总的方向是向外发展的，外层理解是内层理解的升华。知识理解的过程中，由外层返回到内层而后再到外层的理解活动过程就叫做“回归"。该模型有两点显著的特征：(1)超越性。居于内侧的理解水平包含于外侧的理解水平，并且被外侧的理解水平协调地统一起来，外侧理解水平的发展超越内侧发展水平。(2)回归性。学生无论在哪种理解水平上，当碰到一个无法理解或解决的问题时，会折回到低一级的水平上，即对无法解决的问题进行降维处理。（四）SOLO分类理论SOLO分类理论最先是由1982年澳大利亚的教育心理学家比格斯（J.B.Biggs）提出。它的理论基础是结构主义学说，它的本质是认知发展理论，它去除了皮亚杰的认知发展阶段理论中的不合理因素，并对其中的合理因素进行了发展。比格斯认为，认知的产物就是理解，为了更好地促进学生认知的发展，必须了解学生对知识的理解程度。。SOLO分类理论是一种质性评价方法，主要以等级描述为基本特征，同时SOLO分类理论也是描述学生学习素质和理解水平的语言。SOLO分类理论把个体认知发展的思维操作模式划分为五种方式：感觉运动方式、形象方式、具体符号方式、形式方式和后形式方式。每一种思维操作模式下的学习结果都可分为五个水平，构成了螺旋式上升的水平层次：前结构水平(P)、单元结构水平(U)、多元结构水平(M)、关联结构水平(R)和拓展抽象结构水平(E)。1.前结构水平：学生处理任务时，因为对任务中所涉及的表征(或功能)不能正确理解，所以经常被情景中无关信息所迷惑或误导导致不能完成任务。这个阶段表现为同一反复、答非所问、自我为中心、逻辑混乱等。2.单元结构水平：学生关注主题或问题的相关内容，但只能联系单一事件，找到一个线索就立即得出结论。这个阶段学生表现为希望能够很快回答问题，因此忽略了内部可能出现的矛盾。3.多元结构水平：学生使用两个或多个信息，却不能觉察到这些信息的相关性，没有对其进行有机整合的能力。该阶段学生能找到正确的相关特征，也能将这些特征联系起来，但是不能有机整合，给出的信息是离散的碎片。4.关联结构水平：学生将获得的信息和资料纳入到互相联系的结构框架中，形成一个前后一致的整体结构。该阶段学生能够把握问题线索和相关素材以及它们之间的联系，并进行归纳概括；能够检查错误和矛盾；能够重建算法中缺少的元素；能够进行反向操作。5.拓展抽象水平：学生能够在资料的基础上创新推理，并且能够归纳出新的抽象特点。该阶段学生使用外部系统的资料和更抽象的知识，对问题进行演绎和归纳，得到的结论具有开放性，并且更抽象，能拓展问题本身的意义。SOLO层次是一个由简单到复杂的层次模型，反映了对一个问题从片面到全面理解的过程，按照点、线、面、立体到系统的顺序发展对学生思维能力进行分析。前三个水平主要是对学生学习“量”的描述，强调基础知识的积累，而后两个水平是思维活动从量变到质变的过程。如果要实现思维结构水平的突破，就少不了之前已学基础知识内容的累积。SOLO分类理论的应用具有广泛的实践性，依据理解层次可以评价学生对数学理解的程度，通过对知识点进行不同维度的分类，并且制定各维度不同理解水平的标准，就可以依照标准来确定学生的理解水平。四、“数学理解”教学主张的内涵在西方数学教育研究者主流的视角下，数学理解就是教师根据学生已有的数学经验将相关数学知识进行重新组合，通过丰富学习者的认知网络，引导学生认识数学概念、领悟数学本质、发现数学规律，将数学知识转变成特定的数学能力（抽象、推理、逻辑思维、运算、空间想象和解决问题等能力）。国内学者认为，从心理学的角度，数学理解是指在学习者现有的认知水平范围内，通过数学学习活动，以目前自身已有的知识和经验对教材上的知识信息或教师所讲的内容（包括数学思想方法、数学知识的有关背景等），经过思维加工重新加以解释，重新建构其意义，从而把新的学习内容正确地纳入已有的认知结构，或者改组、扩大原有的认知结构，使新学习的内容成为整个结构的有机组成部分，从而逐步认识其本质和规律的一种思维活动。从数学教学的角度，数学理解的核心就是把握数学概念、性质、思想方法等的本质内涵及它们之间的内在关系，而且会应用于实际。（一）理解数学知识的意义数学理解就是揭示知识之间联系的过程，数学符号之间的联系、数学知识之间的联系、数学活动过程之间的联系以及现实世界与数学世界之间、数学世界与人的主观世界之间的联系等等，要真正理解数学的本质就不能仅仅局限于对数学知识(包括概念、原理、定理、公式、以及技巧、技能等)形式的理解，还应该理解数学知识所体现的数学意义。为了更严谨地论证推理和描述世界，使数学的方法更具有一般性和普遍性，数学逐渐发展为具有独特语言的学科，其特征就是符号化、形式化和公理化。“抽象、推理与建模”是重要的数学基本思想。在数学的发展过程中，数学知识的呈现越来越结构化、系统化、形式化和公理化，而其背后的问题产生与形成、发展与解决过程则慢慢地被隐藏起来。于是数学埋葬了“火热的思考”以及数学家的精神和思想，剩下“冰冷的知识”。而目前所用的数学教科书则考虑到知识的逻辑体系和编排的限制，也不可能过多地呈现知识产生的背景和发展过程，大多省略了概念和原理产生的诸多细节、弱化了数学知识逐步完善的过程、删去了为避免逻辑矛盾等而作出约定的缘由，很难看到数学知识的起源及其与生活、自然科学的现实联系，最后剩下一堆严谨的符合逻辑的形式化定义、定理、证明和看似人为的任意约定。教师若是照本宣科，学生将无法体验到数学的美和无穷魅力，也无法理解其在人类历史发展过程中所起到的不可替代的作用。对数学本质特征的把握应思考数学知识的前世今生，思考“从哪里来，往哪儿去，有什么用”这三大问题，即知识的来源、发展与运用。数学教师需对数学的历史发展脉络有整体的理解和认识，了解数学各分支的产生背景和整体结构、数学内部各知识之间的联系、数学与其它学科的联系。在教学过程中教师可以按照数学知识的历史发展顺序展开教学，帮助学生认识和体验前人探索知识的过程，了解知识在历史中的贡献。帮助学生明晰知识发生发展的来龙去脉，明确知识间的关联。在此基础上，教师再从整体的高度去审视和梳理知识，引导学生厘清每个知识点与整体知识结构间的关系与相互作用，让学生从宏观上理解数学知识，帮助学生完善认知结构，形成良好的数学认知体系。比如，在学习对数的知识时，学生感觉对数概念非常难理解，即使高一认真学习掌握了对数的知识，到了高三还是会感到非常生疏，特别是经常忘记对数运算法则。其原因在于，现行教材强调对数源于指数，是指数运算的逆运算，教师在教学中是通过大量练习来巩固运算法则，学生不能理解对数运算的意义，只能死记硬背。因此，在教学中引入阅读材料“对数的发明”，让学生了解对数发展的历史脉络，学生会发现对数最初是作为一种实用工具及方法引入的，然后才开始在纯数学研究中占据一席之地，其最重要的应用价值是简化运算。由于教材只是介绍对数发展的历程，学生对如何简化运算还不是很清楚，这时教师可对材料进行二次加工，先让学生计算两个大数之间的乘积，学生会感觉很困难，再引导学生将要运算的数转化为指数幂的形式，这样就将整数的乘除转化为指数的加减。通过具体的实例让学生体会“乘除”变“加减”的思想，感悟对数发明的最初动力。我们还可以让学生对材料中提到的“对数计算尺”进行研究，通过“知乎”网站了解它的设计原理和作用，通过优酷网站观看它的使用视频，感受对数运算的便捷。这种多角度、多方法、多形式的学习方式，能激发和培养学生的学习兴趣，极大地调动学生学习数学的积极性。（二）理解数学思想方法“学生们在初中、高中等接受的数学知识，毕业进入社会后几乎没有什么机会应用，所以通常出校门不到一两年，很快就忘掉了。然而，不管他们从事什么工作，唯有深深铭刻于头脑中的数学的精神、思维方法、研究方法、推理方法和着眼点等(若培养了这方面的素质的话)，却随时随地发生作用，使他们受益终生。”从事数学教育工作的人，对著名的日本数学教育家米山国藏的这段话想必都不陌生，所以数学理解的核心应是数学思想方法的理解。数学教学要通过具体知识的学习揭示数学的实质—数学的思想方法和研究精神，要在解决问题的过程中“帮助学生学会数学地思维”数学思想是在对较低水平的数学知识进行不断概括、反思的基础上提炼出来的中心思想、原理或总纲，比如人们在对现实世界的数量关系进行抽象的基础上产生了自然数的概念以及自然数的运算法则等，对自然数进一步抽象又可以将自然数用字母来进行表示

（比如用

N

表示自然数），这样就产生了字母代数的思想；而字母又可以进一步抽象为变量，这样又会产生变量的思想。由此可见，数学思想方法不同于数学概念、数学命题等理性知识，更多表现为一种整体的、直观的认识，它属于理性知识但又高于通常所说的理性知识。若从联系的观点来看，数学思想方法本质上是构建各种数学知识有机联系的方法或线索。数学理解是在数学知识之间建立联系，而要在众多数学知识之间建立联系又必须首先找到构建数学知识联系的方法或线索—数学思想方法。数学思想方法的理解需要经历从具有不确定性的数学活动经验中抽取出具有确定性的数学知识，产生解决数学问题的方法，然后再运用这些知识和方法来解决现实世界中的问题、解释现实世界中的现象，并在这种解释世界、解决问题的数学活动过程中形成解决数学问题的观念和态度—数学思想方法这几个阶段。比如，在学习二分法时，可以先采用“幸运52”游戏来让学生体验二分的过程，当学生积累了一定的感性认识以后老师再出示具体方程让学生猜测方程根的分布情况。如让学生模仿“幸运52”游戏来猜方程“3456x2－3458x＋1＝0”有实数根吗？学生通过计算会发现：当x＝0时，f（0）＝1；而当x＝1时，f（1）＝－1，因此，方程3456x2－3458x＋1＝0在区间（0，1）上一定有一个实数根。接着教师引导学生计算其二等分点

处的函数值，发现，从而断定在区间内有根，这样的程序可以不断进行下去直到找到方程的根或近似根为止。到了这个时候，老师可以“象这样一种方法我们给它取个名字叫二分法”来点出二分法的本质。在老师的启发与点拨下，学生头脑中对二分法的认识从模糊、直观逐渐变得清晰、明确，能够逐渐理解和掌握二分法的含义及其操作程序。学生在对二分法本质获得更加清晰的理解以后要做的事情就是要能够灵活运用这一方法解决各类问题，如用二分法求方程的近似解，求曲线的近似交点等。而对二分法认识的最高阶段则是形成运用二分法思想观察问题、分析问题和解决问题的态度和数学观。如果学生能够将二分法进一步上升为逼近这一重要数学思想，并能运用逼近思想去观察问题、分析问题和解决问题，那么对二分法的理解就达到了数学思想方法理解。①（三）理解数学的文化内涵数学理解的目标指向具有双重内涵：一是“对数学对象的理解”，理解数学的知识内容、方法技巧、思想方法等；二是“从数学的角度去理解现实”，让学生建立良性数学观，能够通过数学去理解生活、理解世界，在观念与意识深处真正融入数学的精髓，融入数学的文化内涵，形成数学思维的意识，最终获得终身受益的数学素养。我们发现，人们对数学有一种片面化的理解，即：数学高度抽象，越往纵深发展就越脱离现实世界，越来越像数学家创造的空中楼阁；而另一方面，我们在身边所用的数学却是极为简单、极为初等的数学，哪怕是稍微深一些的数学知识在现实生活中也都是无法应用的，这导致绝大多数学生认为“数学无用”。—————————————①钟志华.理解性数学教学论[D].

南京：南京师范大学数学与计算机科学学院，2007.确实，很多数学知识是通过逻辑建构的方式而被不断抽象出来的，但抽象并不意味着数学知识与现实世界的完全脱离，恰恰相反，数学的发展正是在与现实世界的互动过程之中获得前进的。从一方面来说，现实世界作为数学抽象的最终来源，为数学家的创造提供着无穷的动力与源泉，例如几何学、微积分理论以及图论等都是现实社会发展的必然要求与结果。而另一方面，数学的发展也同样作用于外部现实世界，并在应用的过程中促进着现实世界的深刻发展。因此，抽象建构的数学知识与其在现实外部世界中的应用并不是断割分离的，而是一种辨证的融合。许多被认为是极度抽象的纯粹数学得到了意想不到的应用，例如有限域理论应用于密码学，纤维丛理论应用于物理中的规范场研究，拉东变换应用于CT扫描，拓扑学理论用于DNA分子结构的研究。更为重要的是，数学内蕴着一种理性精神，这种理性精神的精髓就是一种基于理性力量的对客观世界的真理的探索精神。但数学作为一种文明所经历的探索过程却体现出一种独特性。一方面，数学似乎在诞生之日起就被视作绝对真理而用于对自然规律的探索，例如数学在天文学、力学、光学以及空气动力学领域中所做的预测，但另一方面，数学在探索自身以及探索世界的过程中，却越来越感到数学的这种所谓真理性并不具备绝对性，理性精神带给数学的并不是勿庸质疑、无懈可击。悖论的不断产生让数学家继续对数学的逻辑结构本身进行探索，而并行的其他数学结构的不断诞生，更预示着数学所具有的复杂性和创新性。而上述两个方面的结合彰显着数学作为一种文化以及数学在推动人类文化发展中的独特魅力。数学知识不只是数学符号的堆积，数学学习也不只是操练无意义的符号运算以及对数学概念、定理、公式的缺乏深度的掌握，而是一种在对数学整体文化的深刻领悟下的数学思想及观念的深层次理解与建构。数学家在探索知识中的科学精神、人所赋予数学知识的一种美的感受、数学对人类文明的影响、数学知识背后所蕴涵的深刻思想方法等，都与数学符号一样，共同构成了整个数学的文化意义的精髓。①四、“数学理解”教学主张的实践架构（一）数学理解水平的划分在教学实践中，我们不但需要知道学生掌握了哪些知识技能，更需要知道学生对这些知识技能掌握到什么程度、能否利用已有的数学知识技能解决实际问题。只有明晰学生需要理解哪些知识内容，实际达到何种理解水平后，才能有针对性地提出具体的促进数学理解的教学策略，才能有层次性地、系统性地从学生实际学习情况出发，立足学生实际理解水平，制定出科学合理的课程目标。—————————————①吕林海.

数学理解性学习与教学研究[D].

上海：华东师范大学教科院课程与教学系，2005.通过借鉴已有研究，我们可以把数学理解的水平划分为感知、意象，关联、推理、数学方法、数学思想这六个层次。①感知：感知是通过观察、操作、记忆等活动获得所理解对象的外部现象，具体表现为对数学语言、符号的表面理解，即能领会和识别认知对象，达到认可的程度，简单的说就是能读懂或领会认知对象，其典型表现是能对正例或反例作出正确的判断。意象：意象是理解者在头脑中形成了所理解对象的形象。它是与所理解对象直接相联系的“整体性”认知结构，包括相应的心智图像、对其性质的认识和有关过程的记忆等。在教学中，意象理解层次最典型的表现是能举出所理解对象的正例或反例。关联：关联性理解就是对数学知识内在联系的理解，即能理解概念的上位、下位、同位关系，或能知道命题的来龙去脉，它要解决的主要是“是什么”及“它有什么性质”的问题，从认知理论角度来看，关联性理解是指学生的知识点之间产生了某些联系，但并不是所有知识点之间都已建立了联系。能否用数学语言表述所理解的对象是关联性数学理解的重要标志之一。对概念而言，它不仅需要知道如何用数学语言来描述或表示所理解的概念(知道“它是什么?”)，而且还需要进一步了解所理解概念的内涵与外延(知道“它有什么性质”)：而对于命题的理解而言，则不仅需要知道如何用数学语言来描述或表示所理解的命题(知道“它是什么?”)，而且还需要进一步了解所理解命题的来龙去脉(知道“它有什么联系”)。推理：推理在某种程度上来说就是人们通常所说的应用，它是在充分把握概念的内涵与外延，定理和公式的来龙去脉的基础上对有关数学对象作出个人的推断，即能够运用学过的概念、定理和公式解决所面对的问题。用通俗的话来说就是不仅能知其然，而且能知其所以然，推理性理解主要解决的是“为什么”的问题。从认知理论角度来看，推理性理解层次的实质是将头脑中零散的知识联系在一起而形成一个知识网络。方法：方法性理解在某种程度上来说是一种是策略性知识，它是在数学活动过程中所获得的解决问题的一种方法，它所要解决的是“怎么做”的问题，用通俗的话来说就是通过学解一道题而会解一类题。从认知结构角度来看，它是在理解者的头脑内产生一系列产生式的过程，方法性理解以能否进行实际操作作为衡量标志。思想：思想性理解又被称为观念性理解。指学生通过抽象、反思等过程对某个知识的理解上升到一个新的层次。这时理解者往往会在头脑中形成关于所理解对象的意象。这种意象可以是对各个具体理解对象的整体认识，也可以是心理图—————————————①钟志华.理解性数学教学论[D].

南京：南京师范大学数学与计算机科学学院，2007.象，甚至还可以是在此基础上所形成的更加抽象的新概念数学理解的过程不是沿直线前进的，相反，它需要经过不断的反复和循环才能达到深入理解。数学理解发展决不是以高一水平逐步取代低水平，低水平的思维形态从此就销声匿迹了，而是低水平思维形态作为高水平思维形态发展的基础，高水平思维形态的出现和发展，反过来又带动、促进低水平思维形态不断地由低水平向高水平的发展。同时，数学理解具有个体差异性，即不同学生对知识的理解之间存在个体差异，每个人的理解都有不同的起点、不同的视角并会采取不同的理解方法，因而每个人的理解都不可能完全相同。

（二）数学理解的教学实施策略1.依据学生理解水平进行教学设计基于数学理解的课堂教学设计，必须立足于学生现有的理解状态，明确课程内容的理解水平，从学生已有知识经验出发，为其提供处于最近发展区上的教学支持，从而促进其知识建构与观念理解上的转变，建立明晰的认知结构。（1）理解数学知识发展的历史数学理解的本质是要揭示所理解对象之间的内在联系，因此只有充分揭示所理解对象的来龙去脉、它的历史背景及其背后所蕴涵的数学思想方法，才能达到对数学本质的深刻理解。对数学家理解数学的历史过程的分析，内蕴着对数学知识观的探究，理解数学的历史有利于掌握关于数学的来龙去脉的知识、并获得对数学中许多重要概念的更深入的理解。比如要真正理解微积分往往需要首先理解微积分产生和发展的历史背景，即不仅要知道微积分的起源，而且还应该进一步了解微积分的深化和发展历程；同时还应该了解微积分与其他数学知识如变量、函数、极限、解析几何等诸多数学概念之间的联系；另外，还应该进一步理解微积分背后的数学思想、如函数思想、形数结合思想、极限思想等并从数学思想的高度去把握，才能更好地理解微积分。因此，在教学实践中，教师要对所教知识的发展历史有深入的了解，才能帮助学生去更好理解数学的知识内容、方法技巧和思想。（2）立足学生现有知识经验进行设计数学学科具有高度的抽象性与概括性，与学生的原有认知和生活经验之间有较大的距离，不利于学生理解学习的内容。因此，教师应立足于学情，摸清学生学习的现实起点，理清学生学习起点与教材编排的逻辑起点是否一致，然后根据学生认知规律和已有的知识经验采取行之有效的措施。比如教师可根据具体的知识点，设计有利于激发学生思考的问题情境，搭建情境与数学知识的桥梁，抓住核心问题设计问题串，将数学知识赋予学生能理解、可接受的情境与问题串中，引导他们积极主动地交流自己的所获所想。这样，学生可以在表达、倾听、认同、补充、修正、质疑的过程中，跨越理解的层级，完成对知识的理解与建构，达成对数学本质的深度理解。同时，由于学生在数学理解上的表现存在差异，不同学生呈现的数学理解水平是不同的，因此要求教师在设计学习活动时，尊重学生的年龄特点、认知水平以及他们之间可能存在的差异，因材施教。2.借助多元表征促进学生的数学理解（1）在多元表征中深化学生数学理解多元表征就是采用多种不同方式表现事物，以便学习对象选择自己熟悉的、擅长的方式构建自己的知识体系，促进有意义的学习，达到内化的目的。数学多元表征是指数学学习对象的多种表征形式。这包括两层含义：其一，同一数学学习对象必须具有言语化和视觉化两种本质不同的表征；其二，数学学习对象的表征形式至少具有两种或两种以上。一般来说，数学学习有五种表征方式，分别是实物情境、教具模型、图形图表、言语、书写符号，不同的表征方式的背后是学生不同的思维水平。在教学中，教师应重视学生用多元的方式来表征数学知识，多角度呈现他们对数学知识的理解。通过让学生相互交流、鉴赏，找出不同表征方式之间的异同，进而抓住知识的本质，实现多维度理解数学知识。比如在进行“直线的斜率”的教学时，斜率表达的是直线延伸方向，而方向的数学表征具有多样化。虽然不同时期不同版本的教材对斜率的定义方式不尽相同，但表征斜率的形式都离不开代数、几何和运动等形式，如角度（直线的倾斜角）、向量（直线的方向向量和法向量）、平移变化和一次函数图象等。斜率数值的形象化，丰富了学生对斜率的认识，加深了对概念的理解。从更高的层面来看，这体现了解析几何的核心思想—数形结合，遵循“几何问题代数表达—代数运算获得结果—代数结果的几何形式”的研究过程。多样化的概念表征无论是对内涵的理解还是概念网络的建立都是必要的。（2）重视数学语言的理解数学理解需要对数学语言有深刻的理解。这是因为，数学理解的本质就是要在数学对象之间建立联系，揭示所理解对象的意义。而这些数学对象从其外在形式来看，总是表现为某种数学语言。比如你要理解“函数”这样一个数学概念，你必须首先了解函数的符号，同时还应该理解函数的定义及其性质等；再比如，要理解“函数与方程”这一思想方法，你需要通过函数的运算和应用去获得一系列的操作步骤甚至是观念，这些操作步骤或观念虽然可以从活动过程体验而得到，但要真正理解则必须由感性上升为理性，由默会知识上升为显性知识，而所有这一切都离不开数学语言。一个人如果不能掌握数学语言就很难进行高层次的数学思维，就只能借助于感觉和直观去认识事物，而这样的认识既难以全面和系统，更难以深入和透彻。我们在进行数学语言教学时，要注重数学符号的讲解，明确符号的形式、书写方法以及注意事项等，还可以告诉学生一些符号的发展历程以及来源，让学生体会符号的产生以及发展，这样有助于学生对数学符号的理解记忆，明确数学符号内涵。在教学过程中，我们不仅要教给学生符号的各种外在表现形式，还要阐述符号所代表的深层含义，在许多数学文本中，都需要对数学符号的隐藏含义进行挖掘。例如，在分析此函数的增减性时，需要考虑函数的定义域即x的取值范围。在掌握基本的数学符号和句子的基础上，进一步学会运用所学的数学语言表达数学对象和数学思想，做到清楚、准确、流畅地表达自己的数学思想和数学理解过程。（3）培养学生多种语言转换的意识和习惯数学语言可以分为文字、图形、符号三种，文字语言，是数学化了的自然语言，图形具有形象直观性，符号具有国际通用性和简洁性，三种语言都有各自的优点，都具有不可替代的作用。比如我们常见的圆的描述可以采取多种方式，既有文字语言：动点到定点的距离等于定长的点的轨迹；也有图形语言；还有符号语言。而符号语言又有各种不同形式，在直角坐标系内，极坐标系内，复平面内都有不同的表示方法。能够在这三种语言之间清楚、准确地转化，是符号理解高水平的表现，同时这种转化也能进一步巩固甚至提高对数学符号的理解。数学语言的转换可以使数学对象的意义更丰富。一个数学对象往往具有多种不同的表征形式，而不同的表征形式又会造成理解数学对象的差别。比如如果只知道图形而未能掌握符号表征，那么将无法用数学语言去定量地刻画数学对象，也就很难达到对数学对象本质深层次的理解；同样，如果只是知道抽象的数学符号而没有掌握图形直观，那就会缺乏感性认识基础，这样的理解不可能真正达到深刻的理性认识层次，充其量只是一种形式化的理解。因此，熟练掌握三种语言的转换，不仅能从局部去认识数学对象，而且能从整体的知识联系中去把握数学对象，还可以从数学思想方法这一高度更好地认识数学对象的本质属性，从而达到对数学对象本质的深刻认识。数学语言转换能力的培养需要一个非常长期的过程，而培养数学转换能力首先要让学生养成自觉进行数学语言转换的意识。培养学生的数学语言转换意识，最有效的办法莫过于采用元认知提问来进行，在教学中教师可以有意识地引导学生提问自己“这一问题(概念)可不可以采用其它数学语言来进行表征?”、“如果可以，那么可以采用哪些数学语言进行表征?”、“怎么表征?”、“这些表征中哪种最优?”、“这些表征之间如何转换?”等等。通过这样不断反复进行的元认知提问，可以让学生逐渐养成数学语言转换的意识并最终形成自觉进行数学语言转换的习惯。而一旦形成了进行数学语言转换的习惯，那么就能大大促进数学语言转换能力的发展。3.运用数学反省促进数学理解数学理解之所以能从低层次到高层次，关键靠学生不断地进行反思。反思是不断提高数学理解水平的重要手段。根据“超回归”数学理解模型，学习者面对一个不能马上理解或解决的问题，为了加深和扩充自己的理解，不只是将自己的理解直线式地抽象为更高水平的理解，而是通过重新返回更内侧理解水平来完成。反思是对数学学习思维活动的过程进行回顾性的思索，以获取学习的经验或教训。通过反思，可以从新的角度，多层次、多侧面地对问题及解决问题的思维过程进行全面的考察、分析与思考，可以提高数学意识，优化思维品质，沟通新旧知识之间的联系，从而深化对知识的理解。从理解学习的角度看，如果只做不想，不去反思，那么，不仅错误的做法得不到纠正，合理完善的数学认知结构也得不到重新组合，从而阻碍了学生的理解。因此，教师在教学中应督促学生经常对自己的数学学习活动过程进行反思，自己是如何想的，如何思维的，用了哪些数学思想、数学方法、数学技巧，旨在探寻前人和自己的思维轨迹，进一步洞察数学理论的本质，领会数学思想的精髓，体会数学的真谛，以达到高层