求递推数列通项公式的常用方法

求递推数列通项公式的常用方法求递推数列通项公式是数列知识的一个重点，也是一个难点，高考也往往通过考查递推数列来考查学生对知识的探索能力，求递推数列的通项公式一般是将递推公式变形，推得原数列是一种特殊的数列或原数列的项的某种组合是一种特殊数列，把一些较难处理的数列问题化为中学中所研究的等差或等比数列，下面就求递推数列通向公式的常用方法举例一二，供参考：一公式法：利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法，常用的公式有，等差数列或等比数列的通项公式。例一已知无穷数列的前项和为，并且，求的通项公式？【解析】：，，，又，.反思：利用相关数列与的关系：,与提设条件，建立递推关系，是本题求解的关键.跟踪训练1.已知数列的前项和，满足关系.试证数列是等比数列.二归纳法：由数列前几项用不完全归纳猜测出数列的通项公式，再利用数学归纳法证明其正确性，这种方法叫归纳法.例二已知数列中，，，求数列的通项公式.【解析】：，，，猜测，再用数学归纳法证明.（略）反思：用归纳法求递推数列，首先要熟悉一般数列的通项公式，再就是一定要用数学归纳法证明其正确性.跟踪训练2.设是正数组成的数列，其前项和为，并且对于所有自然数，与1的等差中项等于与1的等比中项，求数列的通项公式.三累加法：利用求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如的递推数列通项公式的基本方法（可求前项和）.例三已知无穷数列的的通项公式是，若数列满足，，求数列的通项公式.【解析】：,,=1+++=.反思:用累加法求通项公式的关键是将递推公式变形为.跟踪训练3.已知,,求数列通项公式.四累乘法:利用恒等式求通项公式的方法称为累乘法,累乘法是求型如:的递推数列通项公式的基本方法(数列可求前项积).例四已知,,求数列通项公式.【解析】：,,又有=1×=,当时，满足，.反思:用累乘法求通项公式的关键是将递推公式变形为.跟踪训练4.已知数列满足,.则的通项公式是.五构造新数列:将递推公式（为常数，，）通过与原递推公式恒等变成的方法叫构造新数列.例五已知数列中,,,求的通项公式.【解析】:利用,求得,是首项为,公比为2的等比数列,即,反思:.构造新数列的实质是通过来构造一个我们所熟知的等差或等比数列.跟踪训练5.已知数列中,,求数列的通项公式.例7已知数列满足，求数列的通项公式。解：设 ④将代入④式，得，等式两边消去，得，两边除以，得，则x=－1，代入④式，得 ⑤由≠0及⑤式，得，则，则数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则，故。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。待定系数法求通项公式：例8已知数列满足，求数列的通项公式。解：设 ⑥将代入⑥式，得整理得。令，则，代入⑥式，得 ⑦由及⑦式，得，则，故数列是以为首项，以3为公比的等比数列，因此，则。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。例9已知数列满足，求数列的通项公式。解：设 ⑧将代入⑧式，得，则等式两边消去，得，则得方程组，则，代入⑧式，得 ⑨由及⑨式，得则，故数列为以为首项，以2为公比的等比数列，因此，则。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。六倒数变换：将递推数列,取倒数变成的形式的方法叫倒数变换.例六已知数列中,,,求数列的通项公式.【解析】:将取倒数得:,,是以为首项,公差为2的等差数列.,.反思:倒数变换有两个要点需要注意:一是取倒数.二是一定要注意新数列的首项,公差或公比变化了.跟踪训练6.已知数列中,,,求数列的通项公式.小结:求递推数列的通项公式的方法很多,以上只是提供了几种常见的方法,如果我们想在求递推数列中游刃有余,需要在平时的练习中多观察,多思考,还要不断的总结经验甚至教训.参考答案:证明：由已知可得：，当时，时，满足上式.的通项公式,时为常数,所以为等比数列.解:由已知可求,,,猜测.(用数学归纳法证明).由已知,=.4.时,,作差得:,,,,,,,,.5.6.七：利用特征根法求通项公式例已知数列满足，求数列的通项公式。解：的相应特征方程为，解之求特征根是，所以。由初始值，得方程组求得从而。评注：本题解题的关键是先求出特征方程的根。再由初始值确定出，从而可得数列的通项公式。八：利用不动点法求通项公式例1已知数列满足，求数列的通项公式。解：令，得，则是函数的两个不动点。因为。，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故，则。评注：本题解题的关键是先求出函数的不动点，即方程的两个根，进而可推出，从而可知数列为等比数列，再求出数列的通项公式，最后求出数列的通项公式。例2已知数列满足，求数列的通项公式。解：令，得，