专题09三角恒等变换（8大考点知识串讲热考题型专题训练）

专题09三角恒等变换知识点1两角和与差的正弦、余弦和正切公式1、两角和与差的正弦：::2、两角和与差的余弦：::3、两角和与差的正切：:.:.注意：①公式的适用范围是使公式两边有意义的角的取值范围；②公式的变形：；知识点2二倍角公式与升（降）幂公式1、二倍角公式（1）二倍角的正弦（）：；变形（2）二倍角的余弦（）：.（3）二倍角的正切（）：2、升降幂公式（1）升幂公式：，（2）降幂公式：，知识点3给角求值与给值求值问题“给角求值”、“给值求值”问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法.1、给值求值问题处理（1）关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系．（2）常见的配角技巧：，，，等．2、给值求角问题处理实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角.遵照以下原则：（1）已知正切函数值，选正切函数；（2）已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是，选余弦较好；若角的范围是，选正弦较好.知识点4三角恒等变换综合应用1、辅助角公式：对于形如的式子，可变形如下：=由于上式中和的平方和为1，故令，则==其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定，或由和共同确定．2、三角函数化简“三看”原则3、三角恒等变换综合应用的解题思路（1）将化为的形式；（2）构造（3）和角公式逆用，得(其中φ为辅助角)；（4）利用研究三角函数的性质；（5）反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．考点1两角和与差的正（余）弦公式【例1】（2023·福建三明·高一三明一中校考阶段练习）（）A．0B．C．D．1【答案】C【解析】，故选：C【变式11】（2023·海南海口·高二校考阶段练习）计算：（）A．B．C．D．【答案】A【解析】.故选：A【变式12】（2023·湖南株洲·高一校考阶段练习）（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由.故选：A.【变式13】（2023·广东佛山·高一三水中学校考阶段练习）已知，，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，，平方相加可得，求得，即．故选：C．【变式14】（2023·四川遂宁·高一蓬溪中学校校考阶段练习）.【答案】【解析】.考点2两角和与差的正切公式【例2】（2023·西藏拉萨·统考一模）的值为（）A．B．0C．1D．2【答案】D【解析】因为，变形得，所以.故选：D．【变式21】（2023·山东泰安·高三统考期中）的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】,故选：C【变式22】（2023·云南·高三校联考阶段练习）的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】.故选：B【变式23】（2023·高一课时练习）若，则的值为（）A．B．1C．D．2【答案】D【解析】因为，所以，所以，所以，所以，故选：D【变式24】（2023·江苏徐州·高一统考期中）计算：．【答案】【解析】因为，整理得，则，所以，即.考点3二倍角公式及其应用【例3】（2023·河北邯郸·高一校考期末）若，则等于（）A．B．C．或D．或【答案】D【解析】因为，则，所以．故选：D．【变式31】（2023·江西·高一统考期中）已知，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以，故，所以.故选：B【变式32】（2023·全国·高一随堂练习）化简：．【答案】【解析】由二倍角公式可得：.【变式33】（2023·全国·高一专题练习）求下列各式的值:（1）（2）（3）（4）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】（1）.（2）.（3）.（4）.【变式34】（2023·全国·高一随堂练习）已知，求的值．【答案】【解析】，则.考点4给角求值问题【例4】（2023·山西朔州·高一怀仁市第一中学校校考期中）（）A．B．C．D．【答案】D【解析】原式.故选：D.【变式41】（2022·湖北荆州·高一沙市中学校考期中）化简：（）A．B．C．D．【答案】A【解析】故选：A【变式42】（2023·湖北武汉·高一武昌实验中学校考阶段练习）计算：（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以原式故选：C【变式43】（2022·贵州六盘水·高二校考阶段练习）的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】原式.故选：A【变式44】（2023·重庆·统考模拟预测）式子化简的结果为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】原式.故选：B.考点5给值求值问题【例5】（2023·全国·模拟预测）已知，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，所以，，因为，所以，因为，所以，，故选：B．【变式51】（2023·全国·模拟预测）已知，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意得，，两式相加得，得，故选：C【变式52】（2023·吉林·高一吉林一中校考期末）已知，则（）A．B．C．D．3【答案】D【解析】令，则，，则.故选：D．【变式53】（2023·浙江温州·高一温州中学校考阶段练习）已知，，则．【答案】【解析】因为，令，则，，又，所以，则，所以，故，.【变式54】（2023·宁夏银川·高一银川唐徕回民中学校考期末）在△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因为，A为三角形内角，所以A为锐角，可得，可得，所以.（2）因为，所以，所以．考点6给值求角问题【例6】（2022·广东广州·高三执信中学校考阶段练习）已知且，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因且，可知为锐角，为钝角，故，，，，，所以．故选：B【变式61】（2023·吉林·高一吉林一中校考期末）已知为钝角，为钝角满足，则．【答案】【解析】由于为钝角，为钝角，，所以，所以．又因为为钝角，为钝角，所以，所以．【变式62】（2023·福建泉州·高一德化第一中学校考阶段练习）已知是方程的两个根，且，则的值是．【答案】【解析】因为是方程的两个根，所以，所以又因，所以，所以，则，所以.【变式63】（2023·高一课时练习）已知，，，则．【答案】【解析】依题意，，，所以，所以，所以，由于，所以.【变式64】（2023·吉林白山·高一统考期末）设，，且，．（1）求的值；（2）试比较与的大小．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由，得，又，所以，从而，有，所以；（2）由（1）知，得，而，，所以，易知，又在上单调递减，所以．考点7三角形中的三角恒等变换【例7】（2023·广东佛山·高一九江中学校考阶段练习）在中，若，则是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．以上都有可能【答案】C【解析】由题意，得．即所以．又，故为钝角三角形．故选：C【变式71】（2023·全国·高一专题练习）在中，若，则此三角形为（）A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【答案】B【解析】由三角恒等变换得，又，则，即，所以，，所以，则为等腰三角形.故选：B【变式72】（2023·天津和平·高一耀华中学校考期中）关于x的方程有一根为1，则一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形【答案】A【解析】因为1是的根，所以，又，所以有，，整理可得，，即.因为，，，所以.则由可得，，所以.所以一定是等腰三角形.故选：A.【变式73】（2023·甘肃天水·高二天水市第一中学校考开学考试）在△中，，则△一定是（）A．等腰三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形【答案】A【解析】由已知得,,,，，∵,∴,即，故选：.【变式74】（2023·河南郑州·高一郑州一中校考期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．则△ABC的形状为()A．正三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．等腰三角形【答案】C【解析】由知，，∴＝，，，，∴，∵在△ABC中，，∴，∵，∴，即△ABC为直角三角形．故选：C．考点8三角恒等变换综合应用【例8】（2023·湖南长沙·高一长郡中学校考阶段练习）已知函数.（1）求的最小正周期；（2）当时，求的最大值与最小值的和.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意可得：，所以的最小正周期.（2）因为，则，当，即时，取到最小值；当，即时，取到最大值；所以的最大值与最小值的和为.【变式81】（2023·辽宁葫芦岛·高三校联考阶段练习）已知函数图象的一条对称轴方程为，（1）求的最小正周期；（2）求在上的值域.【答案】（1）；（2）【解析】（1），因为图象的一条对称轴方程为，所以，所以，因为，所以，所以.（2）由（1）知，因为，所以，所以，故.【变式82】（2023·北京·高三北京四中校考期中）已知函数.（1）求的值；（2）求的对称轴；（3）若方程在区间上恰有一个解，求的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）因为，则.（2）.由可得，所以，函数的对称轴方程为.（3）由，可得，当时，，因为方程在区间上恰有一个解，则，解得，因此，实数的取值范围是.【变式83】（2023·天津和平·高三汇文中学校考阶段练习）已知函数（1）求的最小正周期及单调递减区间：（2）若，求的值.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）原函数式可化为，则其最小正周期为，令，即单调递减区间为：；（2）由上可知，又，所以，则，故.1．（2023·高一课时练习）的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】.故选：C.2．（2023·全国·高一专题练习）的值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】.故选：D3．（2023·全国·高一专题练习）已知，，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，，，又，，，.故选：A.4．（2023·河北保定·高一校联考期中）记为的内角，若是方程的两根，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题知有且,，.故选：D.5．（2023·湖北·武汉市第三中学校联考一模）已知，若，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以，故选：C6．（2023·四川宜宾·统考二模）已知，则（）A．1B．C．D．【答案】C【解析】，故选：C7．（2023·江西抚州·高二黎川县第二中学校考开学考试）已知锐角满足，则等于（）A．B．或C．D．【答案】C【解析】因为满足，所以，.由此可得.又因为，所以，故选：C.8．（2023·河北邢台·高一邢台市第二中学校联考阶段练习）已知函数，若恒成立，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】依题意，得，其中，因为恒成立，即，当取最大值时，，所以，故.故选：D.9．（2023·吉林·高一吉林一中校考期末）（多选）下列各式中，值为的是（）A．B．C．D．【答案】AB【解析】对于A，因为，所以，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，，故D错误.