高考二轮复习文科数学试题（老高考旧教材）课后提升练3高考情境题的数学建模

课后提升练3高考情境题的数学建模一、选择题1.在北京冬奥会开幕式上,二十四节气倒计时惊艳了世界.从冬至之日起,小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列.若冬至的日影长为18.5尺,立春的日影长为15.5尺,则春分的日影长为()A.9.5尺 B.10.5尺C.11.5尺 D.12.5尺2.(2023山东滨州一模)《九章算术》记载一个问题“今有圆堡瑽,周四丈八尺,高一丈一尺.问积几何?答曰:二千一百一十二尺.术曰:周自相乘,以高乘之,十二而一”.这里所说的圆堡瑽就是圆柱体,它的体积V=112×(底面圆的周长的平方×高),则由此可推得圆周率π的取值为(A.3 B.3.1 C.3.14 D.3.23.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵,研究发现鲑鱼的游速(单位:m/s)可以表示为v=12log3Q100,其中Q表示鲑鱼的耗氧量,则鲑鱼以1.5m/s的速度游动时的耗氧量与静止时的耗氧量的比值为(A.2600 B.2700 C.2 D.274.2020年02月02日(20200202)被称为世界完全对称日(公历纪年日期中数字左右完全对称的日期).数学上把20200202这样的对称数叫回文数,两位数的回文数共有9个(11,22,…,99),则在三位数的回文数中,出现偶数的概率为()A.13 B.49 C.595.(2023广西部分学校3月测试)在一节数学研究性学习的课堂上,老师要求大家利用超级画板研究空间几何体的体积,步骤如下:第一步,绘制一个三角形;第二步,将所绘制的三角形绕着三条边各自旋转一周得到三个空间几何体;第三步,测算三个空间几何体的体积.若小明同学绕着△ABC的三条边AB,BC,AC旋转一周所得到的空间几何体的体积分别为2,83,4,则cos∠BAC=(A.14 B.7C.1116 D.6.(2023山西校联考模拟预测)中国古代四大名楼之一的鹳雀楼,位于山西省运城市永济市蒲州镇,因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而闻名.如图,某同学为测量鹳雀楼的高度MN,在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB,高约为37m,在地面上点C处(B,C,N三点共线)测得建筑物顶部A,鹳雀楼顶部M的仰角分别为30°和45°,在A处测得楼顶部M的仰角为15°,则鹳雀楼的高度约为()A.64m B.74m C.52m D.91m7.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,他对圆锥曲线有深刻而系统的研究,阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一,指的是:已知动点M与两定点A,B的距离之比为λ(λ>0,λ≠1),那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中,圆O:x2+y2=1,点A12,0和点B0,12,点M为圆O上的动点,则2|MA||MB|的最大值为()A.52 B.17C.32 D.8.(2023山东日照一模)如图1,某球形灯笼的轮廓由三部分组成,上下两部分是两个相同的圆柱的侧面,中间是球面除去上下两个相同球冠剩下的部分.如图2,球冠是由球面被平面截得的一部分,垂直于截面的直径被截得的部分叫做球冠的高,若球冠所在球面的半径为R,球冠的高为h,则球冠的面积S=2πRh.如图1,已知该灯笼的高为58cm,圆柱的高为5cm,圆柱的底面圆直径为14cm,则围成该灯笼中间球面部分所需布料的面积为()图1图2A.1940πcm2 B.2350πcm2C.2400πcm2 D.2540πcm29.(2023广西梧州一模)我们可以把(1+1%)365看作每天的“进步”率都是1%,一年后是1.01365;而把(11%)365看作每天的“落后”率都是1%,一年后是0.99365.可以计算得到,一年后的“进步”是“落后”的1.013650.99365≈1481倍.如果每天的“进步”率和“落后”率都是10%,则“进步”是“落后”的1000倍至少经过的天数为()(lgA.31 B.33 C.35 D.3710.(2023山西大同名校联考)质点P和Q在以坐标原点O为圆心,半径为1的☉O上逆时针做匀速圆周运动,同时出发.点P的角速度大小为2rad/s,起点为☉O与x轴正半轴的交点;点Q的角速度大小为5rad/s,起点为射线y=3x(x≥0)与☉O的交点.则当点Q与点P重合时,点Q的坐标不可以为()A.cos2π9,sin2π9 B.cos5π9,C.cosπ9,sinπ9 D.cosπ9,sinπ9二、填空题11.如图所示,圆柱内有一个内切球,这个球的直径恰好与圆柱的高相等,记圆柱的体积和表面积分别为V1,S1,球的体积和表面积分别为V2,S2,则V1V2×12.(2023江西九江二模)根据祖暅原理,界于两个平行平面之间的两个几何体,被任一平行于这两个平面的平面所截,如果两个截面的面积相等,则这两个几何体的体积相等.如图1所示,一个容器是半径为R的半球,另一个容器是底面半径和高均为R的圆柱内嵌一个底面半径和高均为R的圆锥,这两个容器的容积相等.若将这两容器置于同一平面,注入等体积的水,则其水面高度也相同.如图2,一个圆柱形容器的底面半径为4cm,高为10cm,里面注入高为1cm的水,将一个半径为4cm的实心球缓慢放入容器内,当球沉到容器底端时,水面的高度为cm.(注:32≈1.26)图1图213.(2023北京丰台一模)三等分角是“古希腊三大几何问题”之一,目前尺规作图仍不能解决这个问题.某位古希腊数学家借助圆弧和双曲线给出了一种三等分角的方法.如图,以角的顶点C为圆心作圆交角的两边于A,B两点,取线段AB的三等分点O,D,以B为焦点,A,D为顶点作双曲线H.双曲线H与弧AB的交点记为E,连接CE,则∠BCE=13∠ACB(1)双曲线H的离心率为;

(2)若∠ACB=π2,|AC|=32,CE交AB于点P,则|OP|=.课后提升练3高考情境题的数学建模1.D解析设从冬至到芒种这十二个节气的日影长构成等差数列{an},公差为d,由题意冬至的日影长为a1=18.5,立春的日影长a4=15.5,则a4a1=3d=15.518.5=3,所以d=1.则春分的日影长a7=a1+6d=18.56=12.5.2.A解析设圆柱体的底面半径为r,高为h,由圆柱的体积公式V=πr2h.由题意知V=112×(2πr)2×h.所以πr2h=112×(2πr)2×h,解得π=3.故选3.D解析由12log3Q100=0,得Q100=1,Q=100;由12log3Q100=1.5,得Q100=33=27,Q=2700.故鲑鱼以1.54.B解析3位回文数的特点是百位和个位数字相同且不能为0,十位数字可以为从0到9的任意一个数,当百位和个位数字同时为1,2,3,…,9时,各有10个回文数,共90个回文数.若三位数的回文数是偶数,则末(首)位可能为2,4,6,8.如果末(首)位为2,中间一位数有10种可能,同理可得,如果末(首)位为4或6或8,中间一位数均有10种可能,所以三位数的回文数是偶数,有4×10=40个,所以在三位数的回文数中,出现偶数的概率为P=40905.C解析令△ABC的三边长AB,BC,AC分别为c,a,b,边AB上的高为hc,△ABC的面积为S,则以直线AB为轴所得旋转体体积13πhc2c=2,有hc2c2=6cπ,于是S2=3c2π,同理可得S2=2aπ,S2=3bπ,则有a=6.B解析因为在Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=37m,∠ACB=30°,所以AC=2AB=74m,又因为在Rt△MNC中,NC⊥MN,∠MCN=45°,所以MN=MC·sin45°=22MC,又因为∠MAC=45°,∠MCA=180°45°30°=105°,故∠AMC=180°105°45°=30°,在△ACM中,由正弦定理得MCsin∠MAC=ACsin∠AMC,即MCsin45°=74sin30°,故MC=74sin45°sin30°=7.B解析设M(x,y),令2|MA|=|MC|,则|MA||MC|=12,由题知圆x2+y2=1是关于点A,C的阿波罗尼斯圆,且λ=12,设点C(m,n),则|MA||MC|=(x+12)

2即m=2,n=0,点C(2,0).如图所示,设直线BC与圆O的交点分别为M1,M2,当点M位于点M1时,2|MA||MB|=|MC||MB|的值最大,最大为|BC|=172.故选B8.C解析由题意得R258-1022=72,所以R=25cm,所以h=2558-102=1cm,所以两个球冠的面积为2S=2×2πRh=2×2×π×25×1=100πcm2,则围成该灯笼中间球面部分所需布料的面积为4πR22S=4×π×252100π=2400π9.C解析根据题意,如果每天的“进步”率和“落后”率都是10%,假设经过n天后,“进步”是“落后”的1000倍,得1.1n0.9n≥1000,即n(lg11lg9)≥3,所以n(lg112lg3)≥3,即n≥3(1.041-2×0.477)=30.087≈10.C解析由题意,点Q的初始位置Q1的坐标为12,32,锐角∠Q1OP=π3,设t时刻两点重合,则5t2t=π3+2kπ(k∈N),即t=π9+2k3π(k∈N),此时点Qcosπ3+5t,sinπ3+5t,即Qcos2π9+10k3π,sin2π9+10k3π(k∈N),当k=0时,Qcos当k=1时,Qcos32π9,sin32π9,即Qcos5π9,sin5π9,当k=2时,Qcos62π9,sin62π9,即Qcosπ9,sinπ9,故D不符合题意.故选11.1解析设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R,高为2R,所以V1=πR2·2R=2πR3,V2=43πR3,S1=2πR×2R+2πR2=6πR2,S2=4πR2,故V1V2×S12.1.48解析设实心球沉到容器底端时,水面的高度为h.由题图2知,容器内水的体积加上球在水面下的部分体积等于圆柱的体积,由题图1知相应圆台的体积加上球在水面下的部分体积也等于相应圆柱的体积,故容器内水的体积等于相应圆台的体积.因为容器内水的体积为V水=π×42×1=16π,相应圆台的体积为13×π×42×413×π×(4h)2×(4h)=64