新教材2023版高中数学第一章空间向量与立体几何1.3空间向量及其运算的坐标表示1.3.2空间向量运算的坐标表示课件新人教A版选择性必修第一册

1.3.2空间向量运算的坐标表示[课标解读]

1.掌握空间向量的坐标表示.2.掌握空间两点间距离公式.3.会用向量的坐标解决一些简单的几何问题．新知初探·课前预习题型探究·课堂解透新知初探·课前预习教材要点要点一空间向量的坐标运算设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有向量运算向量表示坐标表示加法a＋ba＋b＝__________________减法a－ba－b＝__________________数乘λaλa＝__________________数量积a·ba·b＝__________________状元随笔空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示完全一致．(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)(a1－b1，a2－b2，a3－b3)(λa1，λa2，λa3)a1b1＋a2b2＋a3b3要点二空间向量的平行、垂直及模、夹角设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则名称满足条件向量表示形式坐标表示形式a∥ba＝λb(λ∈R)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)a⊥ba·b＝0a·b＝______________模|a|＝________________夹角a1b1＋a2b2＋a3b3＝0

×√√√2．已知向量a＝(1，2，3)，b＝(－1，0，1)，则a＋2b＝(

)A．(－1，2，5)

B．(－1，4，5)C．(1，2，5)

D．(1，4，5)答案：A解析：a＋2b＝(1，2，3)＋2(－1，0，1)＝(1，2，3)＋(－2，0，2)＝(－1，2，5)．

答案：C

4．已知向量a＝(－3，2，5)，b＝(1，5，－1)，则a·b＝(

)A．3

B．4C．2

D．6答案：C解析：∵a＝(－3，2，5)，b＝(1，5，－1)，∴a·b＝－3＋10－5＝2.

题型探究·课堂解透题型

1空间向量的坐标运算例1

(1)已知a＝(－1，2，1)，b＝(2，0，1)，则(2a＋3b)·(a－b)＝________；－4解析：易得2a＋3b＝(4，4，5)，a－b＝(－3，2，0)，则(2a＋3b)·(a－b)＝4×(－3)＋4×2＋5×0＝－4.(2)若2a－b＝(2，－4，3)，a＋2b＝(1，3，－1)，则cos〈a，b〉＝________．

方法归纳空间向量坐标运算的3类问题及解题方法

答案：D

(2)已知a＝(1，1，0)，b＝(0，1，1)，则a·(－2b)＝________，(a－b)·(2a－3b)＝________．－25解析：a·(－2b)＝－2a·b＝－2(0＋1＋0)＝－2，a－b＝(1，0，－1)，2a－3b＝2(1，1，0)－3(0，1，1)＝(2，－1，－3)．∴(a－b)·(2a－3b)＝(1，0，－1)·(2，－1，－3)＝2＋3＝5.

方法归纳解答此类问题只需根据平行、垂直的条件建立方程(组)求解即可．巩固训练2

(1)已知向量a＝(0，1，1)，b＝(1，－2，1)．若向量a＋b与向量c＝(m，2，n)平行，则实数n的值是(

)A．6

B．－6C．4

D．－4答案：D

(2)已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，若ka＋b与b互相垂直，则实数k的值是________．解析：因为a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，所以ka＋b＝(k－1，k，2)，又ka＋b与b互相垂直，所以(ka＋b)·b＝0，即－(k－1)＋4＝0，解得k＝5.5角度2平行、垂直关系在立体几何证明中的应用例3

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E，F，G，H分别是CC1，BC，CD，A1C1的中点．求证：(1)AB1∥GE，AB1⊥EH；(2)A1G⊥平面EFD.

方法归纳对于一些以正方体、长方体或其他具备垂直关系的几何体作为载体的立体几何问题，可以优先考虑坐标法，这种方法的优点在于抛开了繁杂的推理论证，仅通过计算即可获得一些平行、垂直关系．

题型3向量夹角与长度的计算例4如图，已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，且PA＝AD＝2.(1)求M，N两点之间的距离；(2)求直线PA与MN所成的角．

方法归纳利用空间向量的坐标运算求夹角、距离的步骤巩固训练4

已知正三棱柱ABC-A1B1C1，底面边长AB＝2，AB1⊥BC1，点O，O1分别是棱AC，A1C1的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．(1)求三棱柱的侧棱长；(2)求异面直线AB1与BC所成角的余弦值．

易错警示易错原因纠错心得由a与b的夹角为锐角，得到a·b>0，但当a·b>0时，a与b的夹角不一定为锐角，还可能是共线同向，夹角为0°