新教材2023版高中数学第一章空间向量与立体几何1.2空间向量在立体几何中的应用1.2.2空间中的平面与空间向量课件新人教B版选择性必修第一册

1．2.2空间中的平面与空间向量[课标解读]

1.能用向量语言描述直线和平面，理解直线的方向向量与平面的法向量.2.能用向量语言表述直线与平面、平面与平面垂直与平行关系.3.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判定定理.4.体会向量方法在研究几何问题中的作用．新知初探·自主学习课堂探究·素养提升新知初探·自主学习

垂直n1∥n2n1⊥n2n1·n2＝0状元随笔平面的法向量有何作用？是否唯一？[提示]平面的法向量与空间一点可以确定一个平面，利用平面的法向量可以判断直线与平面、平面与平面的位置关系．平面的法向量不唯一，它们都是共线的．知识点二三垂线定理及其逆定理1．射影：①已知平面α和一点A，过点A作α的________l与平面α相交于点A′，则A′就是点A在平面α内的________，简称射影．②图形F上________在平面α内的________所成的集合F′，叫做图形F在平面α内的射影．2．三垂线定理：如果在平面内的________与平面的一条斜线在这个平面内的____________，则它也和这条斜线垂直．3．三垂线定理的逆定理：如果平面内的________和这个平面的________________，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直．垂线正射影所有的点射影一条直线射影垂直一条直线一条斜线垂直

答案：D

2．设平面α的法向量的坐标为(1，2，－2)，平面β的法向量的坐标为(－2，－4，k)．若α∥β，则k等于(

)A．2B．－4C．4D．－2答案：C

3．已知平面内的两个向量a＝(2，3，1)，b＝(5，6，4)，则该平面的一个法向量为(

)A．(1，－1，1)B．(2，－1，1)C．(－2，1，1)D．(－1，1，－1)答案：C

4．设u＝(－2，2，t)，v＝(6，－4，4)分别是平面α，β的法向量．若α⊥β，则t＝(

)A．3B．4C．5D．6答案：C解析：∵α⊥β，则u·v＝－2×6＋2×(－4)＋4t＝0，∴t＝5.课堂探究·素养提升

方法归纳利用待定系数法求法向量的解题步骤跟踪训练1在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求平面ACD1的一个法向量n.

题型2利用法向量证明空间中的位置关系例2如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，M分别为棱BB1，CD，AA1的中点．(1)证明：C1M∥平面ADE；

题型2利用法向量证明空间中的位置关系例2如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，M分别为棱BB1，CD，AA1的中点．(2)平面ADE⊥平面A1D1F.

状元随笔建立空间直角坐标系，求出平面ADE与平面A1D1F的法向量求解．方法归纳利用空间向量证明平行、垂直问题的常用思路线面平行(1)求出直线l的方向向量是a，平面α的法向量是u，只需证明a⊥u，即a·u＝0.(2)在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可．面面平行(1)转化为相应的线线平行或线面平行．(2)求出平面α，β的法向量u，v，证明u∥v即可说明α∥β.线面垂直求出平面内两条相交直线的方向向量，证明直线的方向向量和它们都垂直．面面垂直(1)转化为线面垂直．(2)求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直．跟踪训练2

(1)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点．设Q是CC1上的点．当点Q在什么位置时，BQ∥平面PAO?

(2)本题若把“Q是CC1上的点”改为“Q是CC1的中点”，其他条件不变，求证：平面D1BQ∥平面PAO.

题型3三垂线定理及逆定理的应用例3在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：A1C⊥平面BDC1.

方法归纳利用传统的几何法进行证明，在证明线面垂直时，首先应证明线线垂直，本题在证明线线垂直时，应用到了三垂线定理及其逆定理．

易错点本节课的易错点是直线的一个方向向量和平面的一个法向量之间关系的公式要牢记．设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，平面α，β的法向量分别为u＝(u1，u2，u3)，v＝(v1，v2，v3)，则位置关系向量关系向量运算关系坐标关系l⊥ma⊥ba·b＝0a1b1＋a2b2＋a