初中数学-22.6三角形、梯形的中位线（1）三角形中位线（课件）-2020-2021学年八年级数学下册同步备课系列（沪教版）

22.6三角形、梯形的中位线（1）三角形中位线第二十二章四边形思考与归纳

一张三角形纸片，用一条平行于这个三角形一边的直线把它分割成一个梯形和一个小三角形.如果所得的梯形和小三角形恰好拼成一个平行四边形，那么这条用于分割的直线与三角形另外两边的交点在什么位置？为什么？观察：三角形的中位线段DE与边BC有什么样的数量关系和位置关系？DEBACDEBC（A）

联结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.操作如图，过△ABC边AC上的任意一点（除点A、C外），作BC的平行线，可将三角形分割成一个三角形和一个梯形.移动平行线，是否存在某个特殊的位置，恰好使分割得的梯形和三角形拼成一个平行四边形？答：存在的，点E是AC的中点.怎么拼？答：若平行线与AB边交于点D，将△AED绕点E旋转180°，即得到□DBCD′.

操作如图，过△ABC边AC上的任意一点（除点A、C外），作BC的平行线，可将三角形分割成一个三角形和一个梯形.为什么拼出的图形是平行四边形？图形的旋转△ADE≌△CD′E

∠A=∠1AB∥CD′DE∥BC

四边形DBCD′是平行四边形操作如图，过△ABC边AC上的任意一点（除点A、C外），作BC的平行线，可将三角形分割成一个三角形和一个梯形.这时，点D位于线段AB的什么位置上？

答：由于CD′=DB

，且CD′=AD，所以AD=BD，点D是AB的中点.点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，则线段DE是△ABC的一条特殊线段.为什么拼出的图形是平行四边形？连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.ABCDE知识要点两层含义:②如果DE为△ABC的中位线，那么D、E分别为AB、AC的

.①如果D、E分别为AB、AC的中点,那么DE为△ABC的

；中位线中点问题3：你能通过剪拼的方式，将一个三角形拼成一个与其面积相等的平行四边形吗？小明的做法：将△ADE绕点E按顺时针方向旋转180°到△CFE的位置（如图），这样就得到了一个与△ABC面积相等的平行四边形DBCF.ADEFCB动画演示猜一猜:三角形两边中点的连线与第三边有怎样的关系？能证明你的猜想吗？ADEFCBDE和边BC的关系数量关系：位置关系：平行DE是BC的一半能说出理由吗?三角形中位线的概念联结三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位线.一个三角形共有几条中位线呢？点D为AB中点，点E为AC中点，点F为BC中点，则DF、FE、ED都是△ABC的中位线.一个三角形共有三条中位线.三角形的中位线与三角形的中线有何区别？适时小结三角形的中位线与三角形的中线的区别.三角形概念图形中位线中线联结两边中点的线段.联结顶点与其对边中点的线段.两边中点一顶点一中点学习三角形中位线定理

通过上述的操作过程，你能猜想△ABC的中位线DE与边BC有怎样的位置关系和数量关系吗？DE∥BC且答：猜想并归纳三角形中位线的性质.如何证明你的猜想.答：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.如何证明四边形DBCF是平行四边形？

∴四边形BCFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），根据实验操作，如何添辅助线，构造与△ADE全等的三角形？

已知：如图，在△ABC中，AD=BD，AE=CE．求证：DE∥BC，且．

延长DE至点F，使EF=DE，联结CF.证明：∵AE=EC，∠2=∠3，∴△ADE≌△CFE，∴AD=CF，∠A=∠1，∴AB∥CF，即BD∥CF.∵AD=BD，AD=CF，∴DB=CF.∴DF∥BC，且DF=BC.∴DE∥BC，且.适时小结：

倍长中位线也是辅助线的常添方法之一.学习三角形中位线定理

如何解决？

三角形中位线定理

三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.在△ABC中,∵AD=BD，AE=CE，∴DE∥BC，且（三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半）.符号语言：【定理的理解】(1)从条件看，以后我们看到中点，尤其是两个或者两个以上的中点时我们就要联想到三角形的中位线定理.(2)从结论看，它既可以得到线段的位置关系（平行），又可以得到线段的数量关系（倍份关系），大家以后在解决相关问题时要两方面结合起来灵活应用.新知运用（2）如果DE=5，那么BC=____.10（一）口答练习1、如图，已知AD=DB，AE=EC，（1）如果BC=，那么DE=____；1.如左图，MN为△ABC的中位线，若∠ABC=61°，则∠AMN=

，若MN=12，则BC=

.AMBCN61°24练一练ADBCE2.如右图，△ABC中，

D，E分别为AB，AC的中点，当BC=10㎝时，则DE=

.5㎝新知运用2、如图，B、C两点被海水隔开，在B、C外选择一点A，找到AB、AC的中点E、F，测量得EF=22米.这样就能求出B、C两点间的距离.请说出这是为什么？答：∵点E、F分别为AB、AC的中点，∴EF∥BC，且BC=2EF=44米（三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半）．3.(1)已知:三角形的各边分别为6cm,8cm,12cm，则连接各边中点所成三角形的周长为____

cm.

13（2）已知:三角形的周长为64cm，则连接各边中点所成三角形的周长为____cm.32（3）△ABC的周长为aD、E、F分别为△ABC各边中点,△DEF的周长为

；G、H、I分别为△DEF各边中点,△GHI的周长为

；CABDFEGHI像这样下去,第3个三角形的周长为

;第n个三角形的周长为

.a12a14a18a12n你发现了什么？你还有什么想法？4.如图,D、E、F分别是△ABC三边的中点你能发现△DEF的面积与△ABC的面积有什么关系吗？为什么？●●●ABCDEF解：S△DEF=S△ABC.理由如下：由题意得DE,DF,EF是△ABC的中位线，∴DE∥BC, DF∥AC,EF∥AB,∴四边ADFE,BDEF,DECF都是平行四边形，∴S△DEF=S△ADE=S△BDF=S△CEF,∴S△DEF=S△ABC.3.如图，已知△ABC中，AB=3㎝，BC=3.4㎝，AC=4㎝且D，E，F分别为AB，BC，AC边的中点，则△DEF的周长是

㎝.ABCDEF5.2练一练4.如下图：在Rt△ABC中，∠A=90°，D、E、F分别是各边中点，AB=6cm，AC=8cm，则△DEF的周长=______cm．12EFBACD

典例精析例1已知:如图,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别为各边的中点.求证:四边形EFGH是平行四边形.ABCHDEFG分析:将四边形ABCD分割为三角形,利用三角形的中位线可转化两组对边分别平行或一组对边平行且相等来证明.证明:连接AC.∵E,F,G,H分别为各边的中点,∴EF∥HG,EF=HG.∴四边形EFGH是平行四边形.ABCHDEFG∴EF∥AC,HG∥AC,1.如图：EF是△ABC

的中位线，BC=20，则EF=________;10

2.在△ABC中，中线CE、BF相交点O、M、N分别是OB、OC的中点，则EF和MN的关系是_______________.平行且相等4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,D是斜边AB的中点，E是BC的中点.

（2）若AB=10,DE=4,求△ABC的面积.（1）DE⊥BC吗？为什么？ABCDE∵DE∥BC，∠C=90°，∴DE⊥BC.∵DE=4，∴AC=8.∵AB=10，AC=8,∴BC=6.例题讲解例题6

已知：如图，点O是△ABC内任意一点，D、E、F、G分别是OB、

OC、AC、AB的中点．求证：四边形DEFG是平行四边形．由已知条件你能在图中找到什么？

GF、DE分别是△ABC和△OBC的中位线，且这两个三角形有公共边BC.如何证明？

例题讲解例题6

已知：如图，点O是△ABC内任意一点，D、E、F、G分别是OB、

OC、AC、AB的中点．求证：四边形DEFG是平行四边形．证明：∵点G、F分别为AB、AC的中点，∴GF∥BC，且（三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半）．同理：DE∥BC，且.∴GF∥DE，且GF=DE.∴四边形DEFG是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.变式2：顺次联结四边形四条边的中点，所得的四边形（称为“中点四边形”），是平行四边形吗？分析：例题讲解例题6

已知：如图，点O是△ABC内任意一点，D、E、F、G分别是OB、

OC、AC、AB的中点．求证：四边形DEFG是平行四边形．变式1：如图，点O是△ABC外一点，以上结论是否还成立？答：成立.变点O的位置不变GF、DE仍是△ABC和△OBC的中位线，且这两个三角形有公共边BC.结论四边形DEFG是平行四边形．答：是的.如何证明？

方法类似.形变质不变课堂练习求证：顺次联结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形.已知：如图，四边形ABCD中，

E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，求证：四边形DEFG是平行四边形．证明：联结BD.适时小结1、以上的三个问题图形变化，而本质是不变的.2、任意四边形的“中点四边形”是平行四边形.平行四边形的“中点四边形”是

.平行四边形矩形的“中点四边形”是

.菱形菱形的“中点四边形”是

.矩形正方形的“中点四边形”是

.正方形对角线互相垂直的四边形的“中点四边形”是

.矩形对角线相等的四边形的“中