不定积分解题方法与技巧总结

./不定积分解题方法总结摘要：在微分学中,不定积分是定积分、二重积分等的基础,学好不定积分十分重要.然而在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和"有章可循".本文论述了笔者在学习过程中对不定积分解题方法的归纳和总结.关键词：不定积分；总结；解题方法不定积分看似形式多样,变幻莫测,但并不是毫无解题规律可言.本文所总结的是一般规律,并非所有相似题型都适用,具体情况仍需要具体分析.利用基本公式.〔这就不多说了~第一类换元法.〔凑微分设f<μ>具有原函数F<μ>.则其中可微.用凑微分法求解不定积分时,首先要认真观察被积函数,寻找导数项内容,同时为下一步积分做准备.当实在看不清楚被积函数特点时,不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试,或许从中可以得到某种启迪.如例1、例2：例1：[解]例2：[解]第二类换元法：设是单调、可导的函数,并且具有原函数,则有换元公式第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式.常见的变换形式需要熟记会用.主要有以下几种：〔7当根号内出现单项式或多项式时一般用代去根号.但当根号内出现高次幂时可能保留根号,〔7当根号内出现单项式或多项式时一般用代去根号.但当根号内出现高次幂时可能保留根号,分部积分法.公式：分部积分法采用迂回的技巧,规避难点,挑容易积分的部分先做,最终完成不定积分.具体选取时,通常基于以下两点考虑：降低多项式部分的系数简化被积函数的类型举两个例子吧~！例3：[解]观察被积函数,选取变换,则例4：[解]上面的例3,降低了多项式系数；例4,简化了被积函数的类型.有时,分部积分会产生循环,最终也可求得不定积分.在中,的选取有下面简单的规律：将以上规律化成一个图就是：〔a^xarcsinx〔lnxPm<x>sinx>νμ〔a^xarcsinx〔lnxPm<x>sinx>νμ但是,当时,是无法求解的.对于〔3情况,有两个通用公式：〔分部积分法用处多多~在本册杂志的《涉及lnx的不定积分》中,常可以看到分部积分5不定积分中三角函数的处理1.分子分母上下同时加、减、乘、除某三角函数.被积函数上下同乘变形为令,则为2.只有三角函数时尽量寻找三角函数之间的关系,注意的使用.三角函数之间都存在着转换关系.被积函数的形式越简单可能题目会越难,适当的使用三角函数之间的转换可以使解题的思路变得清晰.3.函数的降次①形如积分〔m,n为非负整数当m为奇数时,可令,于是,转化为多项式的积分当n为奇数时,可令,于是,同样转化为多项式的积分.当m,n均为偶数时,可反复利用下列三角公式：不断降低被积函数的幂次,直至化为前两种情形之一为止.②形如和的积分〔n为正整数令,则,,从而已转化成有理函数的积分.类似地,可通过代换转为成有理函数的积分.③形如和的积分〔n为正整数当n为偶数时,若令,则,于是已转化成多项式的积分.类似地,可通过代换转化成有理函数的积分.当n为奇数时,利用分部积分法来求即可.4.当有x与三角函数相乘或除时一般使用分部积分法.几种特殊类型函数的积分.有理函数的积分有理函数先化为多项式和真分式之和,再把分解为若干个部分分式之和.〔对各部分分式的处理可能会比较复杂.出现时,记得用递推公式：1.有理真分式化为部分分式之和求解①简单的有理真分式的拆分②注意分子和分母在形式上的联系此类题目一般还有另外一种题型：2.注意分母〔分子有理化的使用例5：[解]故不定积分求得.〔2三角函数有理式的积分万能公式：的积分,但由于计算较烦,应尽量避免.对于只含有tanx〔或cotx的分式,必化成.再用待定系数来做.〔注：没举例题并不代表不重要~简单无理函数的积分一般用第二类换元法中的那些变换形式.像一些简单的,应灵活运用.如：同时出现时,可令；同时出现时,可令；同时出现时,可令x=sint；同时出现时,可令x=cost等等.〔4善于利用,因为其求导后不变.这道题目中首先会注意到,因为其形式比较复杂.但是可以发现其求导后为与分母差,另外因为求导后不变,所以容易想到分子分母同乘以.〔5某些题正的不行倒着来这道题换元的思路比较奇特,一般我们会直接使用,然而这样的换元方法是解不出本题的.我概括此类题的方法为"正的不行倒着来",当这类一般的换元法行不通时尝试下.这种思路类似于证明题中的反证法.〔6注意复杂部分求导后的导数注意到:本题把被积函数拆为三部分：,的分子为分母的导数,的值为1,的分子为分母因式分解后的一部分.此类题目出现的次数不多,一般在竞赛中出现.〔