高数重修试题

（1）设a=3i+5j-2k,b=2i+j+4k，问九和p有什么的关系，能使得九a+pb与z轴垂直？(2)已知OA=i+3k,OB=j+3k，求AOAB的面积。3）已知A=2a+3b,B=3a一b,|a|=2,b3）（4）设向经oM=2i+2j+5k,从点P（1,2,1）出发，向oM作垂线PQ，求向量PQ和长度。（5）分别画出z=3-px2+y2,z=1-fl-x2-y2方程所表示的曲面。（6）求上半球0<z< 2-x2-y2与圆柱体x2+y2<ax（a>0）的公共部分在xoy坐标面上的投影。（7） 求两平面x+2y-z+1=0和-2x+y+z-1=0角平分面的方程。（8） 求过点（-1,2,1），并且平行直线；—2设L:-+y一2z一—2设L:-x+2y一z一4=0线方程。（9）求直线 =亠与平面2x+3y+3z-8=0的交点和夹角。TOC\o"1-5"\h\z3 1 -2（10） 求点（-1,2,0）在平面x+2y-z+1=0上的投影。（11） 求点（2,3,1）在直线心=3=宀上的投影。1 2 3{x^|y z| 1 ^0——的距离。2x一y+z一4-0x—2（13）求直线J 绕z轴旋转一周的曲面方程并画出它的大致图形。y-2zIx+y—0(14)求过直线J 且切于球面x2+y2+z2—9的平面方程。y-2-1x一y+y-2-1判断L,L是否相交，若相交求出交点P和相交平面兀;12在平面兀上求一过P点直线L，且L与L和L的夹角相同。12 ■求lim(x,y)t(0,o) 1—sin(xy)—1设z=y，求空,空，f可导。f(x2—y2) dxdy02z02z0x2 0x0y(3)设z=f(3x—2y,02z02z0x2 0x0y⑷设z=y0(-)，求空,竺y dxdy(5)求由f=x2*y2 所确定的隐函数的导数：空,空TOC\o"1-5"\h\zx2+2y2+3z2=20 dxdx(6)设①(u,v)具有连续偏导数，证明由方程①(cx—az,cy—bz)=0所确定的函数z=f(x,y)满足a—+b=c。0x 0y(y2+1)xyz(7)f(x，y，z)= ,则f(1,1,1)=_,f(0,1,1)=y x yyf(1,1,1)= 。zzz设函数z=z(x,y)由方程z-ln(z+1)—sin(xy)=0确定，则dz= .若二元函数f(x,y)满足fCx,y)=cosx+2xy，f(x,y)=x2+ey且xyf(0,0)=1，贝0f(x,y)= .设f(x,y,z)=sin(xsin(ysinz))，则f= .z02z02z02z设u=x—2y，v=x+3y，变换方程6 + - =00x2 0x0y 0y2三：♦■1)求曲线:x=t一smt,<y=1-cost,在(一-1,1,2J2)的切线方程和法平面方程。2tz=4sin—,〔2⑵求曲线JX2*y2*Z2-3X=0在点(1,1,1)处的切线及法平面方程。-2x-3y+5z-4=0椭球面X2+2y2+z2=1上平行于平面X-y+2z=0的切平面方程。设F(u,v,w)=0，其中函数F(u,v,w)具有连续偏导数，在(1,1,1)处法向量n=(1,2,3)，求曲面F(x,y2,z3)=0在(1,1,1)处的切平面方程。求函数u=x2+y2+z2在曲线x=t,y=t2,z=t3上点(1,1,1)处，沿曲线在该点的切线正方向的方向导数。(6)设z=z(x,y)是由方程z3+xz-y=0所确定隐函数，问在(x,y)=(0,1)处，沿什么方向z的增长率最大？函数在该点沿此方向的方向导数是多少？(-J2v'?\(7)设曲面刀是由曲线y=x2绕着x轴旋转而得，求刀上点1, 2,[22丿处的一个单位法向量。(8)f(x,y)=0,f(x,y)=0是f(x,y)在(x,y)取得极值的x0 0 y0 0 0 0 条件，A：充分，B必要，C充分必要，D无关f(x,y)在(x,y)点有极限是f(x,y)在(x,y)有偏导数的0000 条件，A:充分，B必要，C充分必要，D无关f(x,y,z)在(x,y,z)点沿任意方向有方向导数是f(x,y,z)000在(x,y,z)的 条件，A:充分，B必要，C充分必要，D无关000曲面刀满足方程xy+yz+zx=1，求曲面刀在(1,2,1)点的切平面方程。求函数u=ln[x+y+z+\'1+(x+y+z)2]在(1,1,1)点的最大方

向导数，并求出取得该最大方向导数的方向向量在方向(1,2,1)上的投影。(11)设函数f(x,y)=xa-ax+y2+2y定义在区域x>0，如果f(x,y)在点(x,y)处取得极值，试指出实数a的取值范围并问f(x,y)是极大值还0000是极小值？求原点到曲面(x-y)2-z2=1的最短距离。设长方体三个面在坐标面上，其中一个顶点在平面x+y+Z=1，且abca>0,b>0,c>0.问：长方体的边长为多少时，其体积最大.四：(1)化下列二重积分为二次积分f(x,y)db D1•是由y=x2,y2=x所围；2是由y=x,y=1,x=0所围;D3.是由y=x,y=_,x=2所围；4.是由y=x一2,y2=x所围;(2)计算二重积分1.JL为点A——，丄到点B(''‘3,1)的有向直线段;IL为点A——，丄到点B(''‘3,1)的有向直线段;I22丿0x2.I xI+x)ydb，其中D:y<x2+y2<2y.(y+x+y3x2)\!x2+y2db，其中D={(x,y)Ix2+y2<2x}。4.JJ|cos(x+y)|db，其中D:y=x,y=4.JJ|cos(x+y)|db，2改换二次积分J2dxJ2x-"f(x,y)dy的积分次序。1 2-x把积分JadyJa2一2(x2+y2)dx化为极坐标形式，并计算积分值。00J"d申J2sin®(3-p2sin2申)pdp00(6)设立体Q由曲面(6)设立体Q由曲面z=体积.2+y2及z=2-x2-y2所围，试计算该立体的(7)设一密度为卩的匀质立体Q由曲面2z=xL为由圆弧x2+y2L为由圆弧x2+y2=4，x2+y2=1，在第一象限的逆时针方向的闭曲线.z=2所围成，求Q关于z轴的转动惯量I,I= (x2+y2)dvzz(8)设Q=,y,z)Ix2+y2+z2<1 z)2(8)设Q=(9)利用三重积分计算由曲面z=x2+y2,z=4所围立体的质心(设密度五：计算对弧长的曲线积分：IFe'x2+y2ds其中L为圆周x2+y2=a2，直线y=x及x轴在第一象限内L所围成的扇形的整个边界。Fx2yzds，其中r为折线ABC，这里A、B、C依次为点(0,0,0)、(0,0,2)、r(1,1,2)；计算对坐标的曲线积分： J(x+y)dx+(y-x)dy其中L:抛物线Ly2=x上从点(1,1)到点(4,2)的直线段。利用格林公式计算：1.J(x2-xy J(2xy3-y2cosx)dx+(1- J(2xy3-y2cosx)dx+(1-2ysinx+3x2y2)dy，其中L为摆线lL顶点分别为(0,0)、(2,0)、(2,2)和(0,2)的正方形区域的正向边界。J(2xy-yx=t-sint;y=1-cost上从点(0,0)到点5,2)的一段弧。1+3)dx+(x2-4xy3x=t-sint;y=1-cost上从点(0,0)到点5,2)的一段弧。l(4)计算曲线积分I=J—(4)计算曲线积分I=J—arctany1dx+一arctanxxy y直线y=——直线y=——xy=v3x围成的(5)验证下列P(x,y)dx+Q(x,y)dy在整个xoy平面内是某一函数u(x,y)的全微分，并求这样的一个u(x,y):1.(x+2y)dx+(2x+y)dy；2.(ey+yex)dx+(xey+ex)dy币ydx-xdy(6)求山22丄2，其中L是逆时针方向运行的椭圆4x2+3y2=1。2x2+y2L(7)求摆线x=a(t一sint),y=a(1一cost)(0<t<n)的质心，其中密度为常数。六：计算对面积的曲面积分：J](2xy-2x2-x+z)dS其中Z为平面2x+2y+z=6在第一卦限的部分。求球冠z=a2 z<a的曲面面积。计算对面积的曲面积分：(y+z)dS其中Z为锥面z=Jx2+y2被柱Z面z2=2x所割下部分的曲面面积求积分(x2+y2+z2)dS，工是圆柱面x2+y2=4;Z0<z<4.计算对坐标的曲面积分：J]x2z2dxdy，其中Z为球面x2+y2+z2=R2Z的下半部分下侧。计算对坐标的曲面积分：xz2dydz+(x2y-z3)dzdx+(2xy+y2z)dxdy，其中Z为上半部分球面Z0<z<\：a2一x2一y2,x2+y2<a2的表面外侧。计算对坐标的曲面积分：JJ(2xy+siny+z3)dydz+(cosx-yx3+3z2)dzdx+(x+2y-2z)dxdyZ其中z是曲面z=x2+2y2一】；位于z<1的下侧。求力F=讦+zj+xk沿闭曲线r作的功，其中r为平面x+y+z=1被三坐标平面所截成的三角形的整个边界,从z轴正向看，取逆时针方向．七：1.判定下列级数的收敛性1)111111(—+一)+(一+一)+…+(一+一)1)111111(—+一)+(一+一)+…+(一+一)+…2 3 22322n3n2)送(2n+3)n+1n=13)为(丄)n (4)1+n1空丄3n=0n25)厶(-1)n=2-1In—n+16)(7)》1-(lnn)lnnn=22求下列幂级数的收敛区域：Z2n+3nXnnn=13.求下列级数的和函数⑵工(X-1)n=1n2远 x2n+1⑶为(-1)n-2n+1n=1(1(1)工旦n+1n=11 x2”+1n!(2n+1)n=0

(3)为生丄x2n-22nn=14•将函数y=xex2展开成x的幂级数，并求展开式成立的区间。2x5・将函数y=仝 展开成x的幂级数，并求展开式成立的区间。x2-5x+66・将函数y=丄展开