高数积分总结

第四章一元函数的积分及其应用第一节不定积分一、原函数与不定积分的概念定义1.设f(x)是定义在某区间的已知函数，若存在函数F(x)，使得F(x)=/(x)或dF(x)=f(x)dx，则称F(x)为/(x)的一个原函数定义2•函数f(X)的全体原函数F(x)+C叫做/(x)的不定积分,，记为：Jf(x)dx=F(x)+C其中/(x)叫做被积函数f(x)dx叫做被积表达式C叫做积分常数“J”叫做积分号二、不定积分的性质和基本积分公式性质1.不定积分的导数等于被积函数，不定积分的微分等于被积表达式，即(Jf(x)dx)=f(x)；dJf(x)dx=f(x)dx性质2.函数的导数或微分的不定积分等于该函数加上一个任意函数，即J八x)dx=f(x)+C,或Jdf(x)=f(x)+C性质3.非零的常数因子可以由积分号内提出来，即Jkf(x)dx=kJf(x)dx(k丰0)性质4.两个函数的代数和的不定积分等于每个函数不定积分的代数和，即基本积分公式(2)Jx卩dx= 1Jf(x)土g(x)]dx=J基本积分公式(2)Jx卩dx= 1(3)Jhx=In|x|+Cx(4)Jexdx=ex+C(5)Jaxdx=Q+Clna(6)Jcosxdx=sinx+C(7)Jsinxdx=—cosx+C(8)Jsec2xdx=tanx+C(9)Jcsc2xdx=—cotx+C(10)Jsecxtanxdx=secx+C(11)Jcscxcotxdx=—cscx+C(12)Jsecxdx=ln|secx+tanx|+C(13)Jescxdx=ln|cscx—cotx|+C(14)J dx一arctanx+C1+x2(15)J1 dxarcsinx+C1—x2(16)J dx一arcsinx+C—x2(1)Jkdx=kx+C (k为常数)xP+l+C(卩H—1)|!+1

三、换元积分法和分部积分法定理1.设申(x)可导，并且Jf(u)du=F(u)+C.则有Jf[e(x)]<p，(x)dx凑微刀Jf[Q(x)]d®(x)之"-9"卫Jf(u)duF(u)+C代回"=Q(x)F(Q(x))+C该方法叫第一换元积分法(integrationbysubstitution)，也称凑微分法.定理2.设x=Q(t)是可微函数且Q(t)丰0，若f(Q(t))Q'(t)具有原函数F(t)，则Jf(xJf(x)dxx=Q(t)换元Jf[q(t)]Q〈t)dt积分F(t)+C、J：XF「Q—1(x)]+C.L」 回代「 」该方法叫第二换元积分法选取u及v'(或dv)的原则:1)v容易求得；2)Ju'vd选取u及v'(或dv)的原则:解题技巧：选取u及v'的一般方法：把被积函数视为两个函数之积，按“反对幕指三”的顺序，前者为u后者为v'.第二节定积分概念一、 原函数与不定积分的概念二、 定积分的定义和存在定理三、 定积分的几何意义与定积分的性质1．定积分的几何意义2.定积分的性质性质1.Jb[f(x)+a性质2.Jbkf(x)dx=kJbf(x)dx(k是常数).aa性质3.Jbf(x)dx二"(x)dx+Jbf(x)dx.TOC\o"1-5"\h\za a c性质4.Jbf(x)dx=Jbdx=b-a.aa推论1•如果在［a,b］上，f(x)<g(x),则jbf(x)dx<\bg(x)dx(a〈b).a a推论2.jbf(x)dx<Jb|f(x)|dxa a性质5.jbf(x)dx>0 (a<b).a性质6.设M与m分别是函数f(x)在［a,b］上的最大值及最小值，则m(b―a)<jbf(x)dx<M(b—a) (a<b).性质7.(定积分中值定理)如果函数f(x)在闭区间［a,b］上连续，则在积分区间［a，b］］上至少存在一点g，使下式成立：jbf(x)dx=f(g)(b-a)(a<g<b)a可积的充分条件:定理1.函数f(x)在［a,b］上连续，则f(x)在［a,b］可积.定理2.函数f(x)在［a,b］上有界,且只有有限个间断点，则f(x)在［a,b］可积.第三节微积分基本公式一、微积分基本公式变上限函数定义1.设函数f(x)在区间［a,bJ上连续，则它在［a,b］任意一个子区间［a,x］上可积，则Q(x)=jxf(t)dx (a<x<b)xa是上限变量的函数，称此函数为积分上限函数，也称为变上限函数.微积分基本公式定理2.jbf(x)dx二F(b)—F(a)a定积分的换元积分法定理3.jbf(x)dx=『fKp(t)dta a注：设f(x)在［―a,a］上连续，证明若f(x)在［—a,a］为偶函数，则jaf(x)dx=2jaf(x)dx；—a 0若f(x)在［—a,a］上为奇函数，则jaf(x)dx=0.—a定积分的分部积分法定理4.jbudv=［uv］b—jbvdua aa第四节定积分的应用(这点跟高中无异，于是乎就偷懒了=v=~)一、 定积分的微元法AdA其实质是找出的微元 的微分表达式.二