易错点04 导数及其应用-2023年高考数学考试易错题（解析版）（全国通用）

易错点04导数及其应用

易错分析

易错点1：导数与函数的单调性

导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的

知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：

(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系.

(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数.

(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题.

(4)考查数形结合思想的应用.

易错点2:导数与函数的极(最)值

求函数上)在阿句上的最大值和最小值的步骤

(1)求函数在(a,b)内的极值；

(2)求函数在区间端点的函数值(a),.&>);

(3)将函数/(x)的各极值与/(a),/S)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最

小值。

易错点3:对“导函数值正负”与“原函数图象升降“关系不清楚

/'(x)>0oxe4U3U…=/(X)增区间为48和…

/'(x)<0=xeCUQU…=/(x)增区间为C。和…

xe。时尸(x)>0n/(x)在区间。上为增函数

xeOH"，(x)<On/(x)在区间。上为减函数

xe。时/(X)=0n/(x)在区间。上为常函数

讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论.

易错点4:导数与函数的零点

研究函数图像的交点、方程的根、函数零点，归根到底是研究函数的性质，如单调性、极值等

«用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数单调性，借助零点村子性定理判断；另一方

面，也可将零点问题转化为函数图像的交点问题，利用数形结合来解决。

错题纠正

-x--In->0

1.对任意的玉"2€（（1，3J,当占<马时，2-3£恒成立，则实数。

的取值范围是（）

A.艮内）B.(3,+吟C[9,+oo)D.(…

【答案】C

宁仁>。=、「弱看-（”?眸）>0,令/J）…*nx

【详解】依题意,

xe（l,3]

则对任意的当为时，/区）>〃々），即有函数/（X）在。，3]上单调递减,

7八"IfYx）=1--<0<=>tz>3x八、0

因此Vxe（l，3],3x,而（3*）M=9,则心9,

所以实数。的取值范围是I*+8）.

故选:C

2.若函数/3二八"旋'"，（"⑻

有三个不同的零点，则实数4的取值范围是（）

B.加

C.（。高七』）D.（S

【答案】D

【详解】由/+温3=0得Q）+“（/卜=°令8⑺工

由小）二丁=°,得X=l,因此函数g（x）在（71）上单调递增，在（L+00）

上单调递减，且g（0）=0,当x>0时，g（v）=7>0,则g0）=/的图像如图所示:

即函数g（x）的最大值为g°"",

X

t=一

令e"£则h(t)=t2+at-a=0

由二次函数的图像可知，二次方程的一根.必在内，另一根或或

Z2e（-oo,0）j_

_1_11

—_ci__t,—------

当e时，e2-e,则另一根'l-e,不满足题意,

当‘2=°时，。=0,则另一根:=°,不满足题意，

02+«-0-«＜0

".一＞0

当，2«0,0）时，由二次函数姐）=r+。"。=0的图像可知

0＜。v—

解得e-e

0,4

则实数”的取值范围是e-e

故选:D.

3.已知函数”"=7+c°",/'（X）是函数/（X）的导函数，则/'（X）

的图像大致是（）

f(x)=—x2+cosx/''(x)=-x-sinxr"八

【详解】「4,则'''2,则函数/(X)为奇函数，排除BD;

故选:C.

4.已知函数/(x)=-3(lnx)2+“x,若xe[l,e]时，y(x)在x=[

处取得最大值，则实数。的取值范围是()

A1aMB.S,。1C,I

【答案】B

【详解】根据题意得/(X)[⑴当、e[l，e2]时恒成立

则-3(lnx)2+ax<agptz(x-l)<3(lnx)2

.•.当Xe口4]时，y=a(x-1)在g(x)=3(ln图像的下方

g(x)=丁,则g'0)=。,则aMO

故选:B.

3UnuiF

5.已知/'（X）是定义在火上的函数«x）的导数，且/G）-/'（x）＜°

,则下列不等式一定成立的是（）

A,e7(-2)>/(l)B./(-2)<e7(l)

C.双I”"）D/(l)<er(2)

【答案】C

g（x）=:（x）g'（x）=

【详解】设Le',则ex

因为/（x）-/'（x）＜。，所以g'（x）＞°,则g（x）在火上单调递增.

/（-2）/（I）

因为-2＜1,所以g（-2）＜gO）,即e＜e,

所以ppjA错误；

因为/（一2）/①的大小不能确定，所以/（-2）,e'/（l）的大小不能确定，则B错误;

/⑴J（2）

因为1＜2,所以g0）＜g（2）,则ee2,所以学⑴＜/Q）,则c正确；

因为/（I）,/Q）的大小不能确定，所以八1）,不能确定，则D错误.

故选:C

举一反三

1.若直线/与曲线产△和/+产=?都相切，则/的方程为（）

A.尸2x+lB.尸2x+2C.y=2x+lD.y=^x+2

【答案】D

【详解】设直线/在曲线y=«上的切点为册'标）则

y=」=k=~r=

函数y=4的导数为2或，则直线/的斜率,

设直线/的方程为y"2扃'X。），即》_2国+/=0,

由于直线，与圆"+‘'=3相切，则/西亚,

_」

两边平方并整理得5、；-4%-1=0,解得%=1,”。=一5（舍），

11

=

c1Ay­x~^—

则直线/的方程为x-2p+l=0,即，22.

故选:D.

2.设"0,若X”为函数/（x）="x-a）（-'）的极大值点，则（）

A.a〈bB.a>bQab<a1D.ab>/

【答案】D

【详解】若则〃x）="（x-a）'为单调函数，无极值点，不符合题意，故aj.

•••/（X）有x=a和x=b两个不同零点，且在x="左右附近是不变号，在x=b

左右附近是变号的.依题意，x=。为函数y觞与碱y能衿壕的极大值点，,在

左右附近都是小于零的.

当。<0时，由x>b,"x）40,画出"x）的图象如下图所示：

由图可知6<a,”0,故而>/.

当〃>0时，由x>b时，/GA。，画出/G）的图象如下图所示:

由图可知万＞",”＞0,故

综上所述，湖＞/成立.

故选:D

3,设/（X）是函数"X）的导函数，将了=〃幻和y=/'（x）

的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）

【答案】D

【详解】解析:检验易知A、B、C均适合，不存在选项D的图象所对应的函数，在整个定

义域内，不具有单调性，但y=f（x）和y=P（x）在整个定义域内具有完全相同的走势，不

具有这样的函数，故选D.

、\x2-lax+2a,x„1,

/（x）=＜

4.已知aeR,设函数1x-alnx,'＞］，若关于x的不等式/⑴…。在火

上恒成立，则。的取值范围为

A［。，1］B.@2］C.［叫D.口述］

【答案】c

【详解】即aW0,

(］)当0«4V1时f(x)=x2-2ax+2a=(x-a)2+2a-a2>2a-a2=a(2-a)>0

当〃>1时,/(1)=1>0

故当“20时，/-2办+2/0在(—,1］上恒成立；

a<-^—

若x-“InxNO在(1,+8)上恒成立，即Inx在(1，+⑼上恒成立，

x，/、lnx-1

g(x)=g(x)=­ry

令Inx,则(Inx),

当x>e,函数单增当0<x<e,函数单减，

故g(x)m",=g(e)=e,所以a«e,当时，/-2办+2a20在(f」］上恒成立；

综上可知，。的取值范围是［°河，

故选C.

5.已知正四棱锥的侧棱长为/,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36%且

34/W3G,则该正四棱锥体积的取值范围是()

'2781^]F2764

B.L4,4]C,L4,3

A.।吟D.口8,27]

【答案】C

【详解】•••球的体积为36万，所以球的半径R=3,

设正四棱锥的底面边长为2。，高为仙

则/=2/+/,32=2«2+(3-/Z)\

所以6〃=尸，2a2=/2_〃2

y=l-Sh=-x4a2xh^-x（I2-—）x—=-\I4

所以正四棱锥的体积3333669136^

所以X6；9I6J

当34/42遍时，r>0,当2指</W36时，/<0,

64

所以当/=2遥时，正四棱锥的体积「取最大值，最大值为丁,

r=27/=81

又/=3时，4,/=3/时，4,

27

所以正四棱锥的体积『的最小值为4,

■2764

所以该正四棱锥体积的取值范围是［彳‘丁

故选:C.

易错题通关

1.曲线"xe'+2x-2在》=0处的切线方程是（）

A3x+y+2=0g2x+y+2=0

Q2x-y-2=0D3x-y-2=0

【答案】D

［详解］。=xe、+2x-2则y'=（x+l）c'+2,

当x=0时，y=-2y0=3

所以切线方程为V-（-2）=3x,即3x-y-2=0

故选:D.

2.已知/。）="'+3/+2,且八一1）=4,则实数”的值为（）

/9161310

A.3B.3C.3D.3

【答案】D

【详解】•••/Q）=&+3X2+2

./"（x）=3#+6x

••./'（T）=4

，3。-6=4>

10

/.a=—

3.

故选:D.

3.设函数f（x）在定义域内可导，〃x）的图象如图所示，则其导函数/（X）

的图象可能是（）

【答案】A

【详解】解：由/⑴的图象可知，当xe（7，°）时函数单调递增，则/'（x）Z°

,故排除C、D;

当xe(O,M)时/(x)先递减、再递增最后递减所以所对应的导数值应该先小于。

,再大于0,最后小干。，故排除B；

故选:A

Jg

4,已知函数g(x)=x-lnx,若与X2G(0,3)g(x,)+A>/(X2)

恒成立，则实数人的取值范围是()

A[2+In2,+00)B.[-3,+吟

D.艮+8)

【答案】D

【详解】/"AY-6x+8=(x-2)(x-4)

当x«0,2)时,r(x)>0/(x)单调递增，当x«2,3)时」(x)<0/(》)单调递减,

所以/(X)在(。，3)上的最大值是/Q)=4

g((x)=l--=—

XXt

当xe(O,l)时，g'(x)<。，gG)单调递减当xe(l,3)时，g")>0,g(x)单调递增，

所以g(x)在(。，3)上的最小值是g(l)=l

若叫2W(0,3)g(xj+无恒成立则[g(x)+打min”(x)„wx,即1+左N4,

所以心3,所以实数4的取值范围是艮+8)

故选:D.

5.已知函数/(x)=-3(lnx)2+or,若x«l,e1时，/⑴在》=]

处取得最大值，则实数。的取值范围是()

J/](OS[金]

【答案】B

【详解】根据题意得小了/0)当无时恒成立

贝lj-3(lnx)2+ax<a即Q(工一l)43(lnx)2

...当xe[l，e1时，V="l)在g(x)=3(lnx>图像的下方

，/、—61nx

父"=丁，则g'0)=°,则a"

故选:B.

-V；«

6.已知函数/。六-内心-/,贝怀等式/（3-*）>/（2x-5）的解集为（）

A.INB.HZ）

Q（-8,-2）U（2,+8）D（-8,-4）U（2,+8）

【答案】D

【详解】〃x）的定义域为（―收），

因为/'（x）=-ln2-3x2<0,所以“X）在（-8,+8）上单调递减

所以不等式/（3-£）>/（2x-5）等价于3-f<2x-5,解得x<-4或x>2,

所以不等式/（34）>/（2一）的解集为（-8,~4）U（2,+8）

故选:D

7.如图所示为某“胶囊”形组合体，由中间是底面半径为1,高为2的圆柱，两端是半径

为1的半球组成，现欲加工成一个圆柱，使得圆柱的两个底面的圆周落在半球的球面

上，则当圆柱的体积最大时，圆柱的底面半径为（）

8V22

B.9C.3D.3

【答案】A

【详解】设该几何体的内接圆柱的底面半径为x（0＜x4D,则其高为2+27T7,

该内接圆柱的体积为口）

____2五

令片3=°,则有2加7+2-3/=0,解得人亍

2②（2&,1

XG0,----XG----,1

当V3J时，r（x）＞0当I3」时r（x）＜0

2V2

X~~~---

所以当一3时体积有最大值；

故选:A.

8.不等式Inx-丘4。恒成立，则实数人的取值范围是（）

—+oo

A」0,e）（-00,e]L'ej9

BcD.

【答案】D

【详解】由题可得一X在区间（。，巾）上恒成立，

令/（力争'叫则/'（'）=三（、＞°）,

当xe（O,e）时，r（x）＞0当X«e,+oo）时/"（x）＜0

所以/（X）的单调增区间为（“），单调减区间为&+°°）；

所以(力；

所以e.

故选:D.

9.已知函数〃x)=e)函数g(x)与/(x)的图象关于直线,二x对称若h(x)=g(x)-h

无零点，则实数A的取值范围是()

化e[f-，el化+s]

A.SJB.