苏科版2021-2022学年八年级数学（上）：第2章 轴对称图形 单元达标测试卷(二)含答案与解析

苏科版八年级（上）第二单元达标测试卷（二）

数学

（考试时间：100分钟满分：120分）

学校：班级：考号：得分：

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的）

1.如图，在RhABC中，ZB=90.NC=3O'，以点A为圆心，任意长为半径作弧，

分别交边AB，AC于点P,<2；再分别以点P,。为圆心，以大于;PQ的长为半径作弧,

两弧交于点E，作射线AE交BC于点尸.设“BE,AABC的面积分别为邑，则去

的值为（）

1111

A.—B.—C.~~F=D.—

23V34

2.如图，直线/,用相交于点。.P为这两直线外一点，且OP=2.8.若点P关于直线/,

加的对称点分别是点［，鸟，则［，?之间的距离可熊是（）

C.6D.7

3.如图，在AABC中，/4=34。分别以点A、C为圆心，大于长为半径画弧，两弧

2

分别相交于点M、N,直线MN与AC相交于点E.过点C作CD_LAB,垂足为点D,CD

与踮相交于点F.若BD=CE,则NBFC的度数为（)

C.108°D.124°

4.某同学在画AABC的轴对称图形时弄乱了步骤，则正确的画图步骤是（）

.44\H,

AZ--

①②

，4A|/7*，

sW二二海惬：

③④

A.③①②④B.①②④③C.③④①②D.①③②④

5.下列四个图形分别是节能、节水、绿色食品和低碳标志，其中轴对称图形是（）

D

Aa。勘'

6.如图，在MAABC中，ZACB=90°,将AABC绕顶点C逆时针旋转得到VAEU,

M是8C的中点，P是A"的中点，连接PM，若5C=4,AC=3,则在旋转的过程中,

线段PM的长度不可能是（）

A.5B.4.5C.2.5D.0.5

7.如图，AABC中，AB=AC,ABAC.NABC的角平分线相交于点D.若

ZADB则44c等于（）

8.如图，△ABC是等边三角形，4。是BC边上的高，且AD=6,E是AC的中点，P是AD上

的一个动点，则PC与PE的和最小是（）

A.3B.4C.6D.8

9.如图，C,E和8,D,P分别在NG4H的两边上，^.AB=BC=CD=DE=EF,

若NA=18°,则NG£F的度数为（）

10.如图，长方形纸片ABCO,将NC8。沿对角线8。折叠得NC'BO,C5和"）相

交于点£，将NA8E沿3E折叠得NA'BD，若NA'3£>=a,则NCBD度数为（）

1

BC

aaa

A.45°+«B.60°+-C.300+-D.150+-

234

11.给出下面两个命题：①如图L若PA=PB,QA=QB,则PQ垂直平分A8；②如

图2,若点P到OA,。8的距离PC,FO相等，则O尸平分NAQB.其中真命题是（）

图1图2

A.①B.②C.①②D.无

12.如图，在△ABC中，ZC=90\按以下步骤作图：①以点A为圆心、适当长为半径作

圆弧，分别交边AC、AB于点M、N；②分别以点M和点N为圆心、大于glVIN的长为半

径作圆弧，在NBAC内，两弧交于点P；③作射线AP交边BC于点D,若CD=4,AB=9,

C.24D.36

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

13.如图，已知直线m是正五边形ABCDE的对称轴，且直线m过点D,直线m与对角线

BE相交于点。，则NAOE=度.

14.图，直线AB//CO,直线/与直线A8,CD相交于点E、F,点P是射线EA上的一个砂

点（不包括端点E）,将AEPF沿PF折叠,使顶点E落在点Q处.若NPEF=75°,2ZCFQ=NPFC,

则/EFP=

15.如图所示的网格是正方形网格，点A,B,C是网格线交点，那么

ZBAC+ZACB=

16.如图1是长方形纸带，ZDEF^\90,将纸带沿EF折叠成图2,再沿8尸折叠成图3,

则图3中的ZCFE的度数是度.

17.在AABC中，ZB=60°,AB的垂直平分线分别交AB，AC于点。，E，若AE=BC,

则NA=

18.如图所示，已知NAOB=40。，现按照以下步骤作图：①在。4。8上分别截取线段。D,

0E,使。。=。£；②分别以D,E为圆心，以DE长为半径画弧，在NAOB内两弧交于点C；

③作射线。C：④连接DC、EC.则NOEC的度数为.

三'解答题（本大题共6小题，共66分，解答应写出文字说明'演算步骤或推理过程）

19.如图，在RtAABC中，ZC=90°,AC<BC.

(1)动手操作：要求尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹.

①作出A8的垂直平分线MN,MN分别与AB交于点D,与8c交于点E.

②过点8作BF垂直于AE,垂足为F.

(2)推理证明：求证AC=BF.

20.已知：如图，点A、B、C、。在一条直线上，FB//EA交EC于H点,EA=FB，

AB=CD.

(1)求证：VACE史BDE；

(2)若CH=BC,44=50°,求NO的度数.

21.在8x8的方格纸中，点A,B,C都在格点上，按要求画图(保留作图痕迹):

(1)在图1中找一点0,使点。在线段上，且NADC=2NB；

(2)在图2中找一格点E，使N5AC+N3EC=180。.

A

//\

/\

BC

图1图2

22.如图，在等边△ABC中，AB=12cm,现有M,N两点分别从点A,8同时出发，沿△A8C

的边按顺时针方向运动，已知点M的速度为lcm/s,点N的速度为2cm/s,当点N第一次

到达8点时，M,N同时停止运动，设运动时间为t(s).

(1)当t为何值时，M,N两点重合？两点重合在什么位置？

(2)当点M,N在BC边上运动时，是否存在使的位置？若存在，请求出此时点

M,N运动的时间；若不存在，请说明理由.

23.如图，在等边△ABC中，NABC与NACB的角平分线相交于点。，点E、F分别在边A8,

BC上，连接E。、F0,使NEOF=60°,连接EF.

(1)求NBOC的度数.

(2)求证：CF=BE+EF.

24.如图，在△A8C中，A8=AC=2,N8=40。，点。在线段8c上运动(。不与8、C重合),

连接AD,作NADE=40。，DEJgACE.

(1)当NBDA=115。时，ZBAD=___°,ZDEC=°；当点。从B向C运动时，ZBDA

逐渐变(填"大"或"小""

(2)当。C等于多少时，AAB。与△OCE全等？请说明理由；

(3)在点。的运动过程中，AADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出N8DA

的度数；若不可以，请说明理由.

E

BDC.

参考答案

二、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的）

1.如图，在RhABC中，ZB=90.ZC=30）以点A为圆心，任意长为半径作弧，

分别交边AB，AC于点P,2；再分别以点P,。为圆心，以大于gpQ的长为半径作弧,

两弧交于点E，作射线AE交BC于点F.设AABE,AABC的面积分别为邑，则法

的值为（）

【答案】B

【分析】

根据作图过程可得A尸是44C的平分线，根据角平分线的性质和4=90°，ZC=30°,

可得E4=FC,设=则FC=E4=2x,BC=3x,根据三角形的面积公式分别求

出S，S?,再计算*即可.

»2

【详解】

解：根据作图过程可知：A厂是㈤。的平分线，

ZBAF=ZCAF=-ABAC,

2

.ZB=90°,ZC=30°,

ZBAC=60°

ZBAF=ZCAF=-ABAC=30°,

2

ZC4F=ZC=30°

FA=FC

设^?二工，则在RflB/7中，FA=2x

FC=FA=2x,BC=BF+FC=x+2x=3x,

1x13x

S.=-BF.AB=—AB,S,=—BC.AB=­AB,

122222

故选：B.

【点睛】

本题考查了角平分线的作法，角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形面积公式

等知识点，掌握角平分线的画法与性质是解决本题的关键.

2.如图，直线/,比相交于点。.P为这两直线外一点，且OP=2.8.若点尸关于直线/,

俄的对称点分别是点则之间的距离可能是（

4，P2,4，g）

R

A.0B.5

C.6D.7

【答案】B

【分析】

连接。匕PP,,OP2,PP2,P,P2根据轴对称的性质和三角形三.边关系可得结论.

【详解】

解:连接。6P%。,尸，［鸟，如图,

■-4是p关于直线।的对称点，

宜线।是P《的垂直平分线，

OPi=OP=2.8

■■丹是P关于直线m的对称点，

•••直线m是尸鸟的垂直平分线，

OP2=OP=2.S

当几。鸟不在同一条直线上时，。6-。鸟＜46＜。，+。鸟

即0＜利＜5.6

当几。，鸟在同一条直线上时，［鸟=。4+。鸟=5.6

故选：B

【点睛】

此题主要考查了轴对称变换，熟练掌握轴对称变换的性质是解答此题的关键

3.如图，在AA》。中，NA=34。分别以点A、C为圆心，大于^AC长为半径画弧，两弧

2

分别相交于点M、N,直线MN与AC相交于点E.过点C作CQ_LAB,垂足为点D,CD

与破相交于点F.若8D=CE,则NBFC的度数为（）

A

A.102°B.1070C.108°D.124°

【答案】B

【分析】

连接DE,如图，利用基本作图得到AE=CE,则DE为斜边AC的中线，所以DE=AE=CE,则

N4JE=NA=34。，接着证明8D=D£,所以ND8E=NDEB=17。，然后利用三角形外角性质计算

Z8FC的度数.

【详解】

解：连接DE,如图，

由作法得MN垂直平分AC,

：.AE=CE,

CDA.AB,

：.ZCDB=ZCDE=90",

■■■DE为斜边AC的中线，

DE=AE=CE,

：.ZADE=NA=34°,

•，-BD=CE,

：.BD=DE,

ZDBE=NDEB=—ZADE=17°,

2

Z8FC=NDBF+Z8DF=17°+90°=107°.

故选：B.

【点睛】

本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角

等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线：过一点作已知直线的垂线）.

4a.某同学在画AABC的轴对称图形时弄乱了步骤，则正确的画图步骤是（）

①

③

A.③①②④C.③④①②D.①③②④

【答案】D

【详解】

略

5.下列四个图形分别是节能、节水、绿色食品和低碳标志，其中轴对称图形是（）

A

【答案】C

【分析】

根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得到答案.

【详解】

解：A.不是轴对称图形，故本选项错误；

B.不是轴对称图形，故本选项错误；

C.是轴对•称图形，故本选项正确；

D.不是轴对称图形，故本选项错误.

故选：C.

【点睛】

本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿着对称轴折叠后可

完全重合即为轴对称图形.

6.如图，在RhABC中，NACB=90°,将AABC绕顶点C逆时针旋转得到V49C',

M是的中点，P是的中点，连接PM，若3c=4,AC=3,则在旋转的过程中，

线段的长度不可能是（）

A.5B.4.5C.2.5D.0.5

【答案】A

【分析】

连接PC.首先依据宜角三角形斜边上中线的性质求出PC=2,然后再依据三角形的三边关系

可得到PMVPC+CM,故此可得到PM的最大值为PC+CM.

【详解】

解：如图连接PC.

在RtAABC中,8c=4,AC=3,

：.48=5,

根据旋转不变性可知，A'B'=AB=5,

：.A'P=PB',

：.PC=—A'B'=2.5,

2

•，-CM=BM=2,

PM<PC+CM,即PM44.5,

线段PM的长度不可能是5.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查的是旋转的性质，直角三角形的性质、三角形的三边关系，掌握本题的辅助线

的作法是解题的关键.

7.如图，AAbC中，AB=AC,ABAC.NA6C的角平分线相交于点D.若

441)8=130°,则NR4c等于()

【答案】D

【分析】

设NBAC=x,根据已知可以分别表示出NABD和NBAD,再根据三角形内角和定理即可求得

Z8AC的度数.

【详解】

解：设NBAC=x,

,在AABC中,AB=AC,

：.ZABC=4C=—(180。*),

2

・「BD是NABC的角平分线，AD是NBAC的角平分线，

1、1

NA8D=—(180--x),ZDAB=—X,

42

ZABD+ZDAB+Z4DB=180°,

-(180°-x)+—x+130°=180o,

42

x=20°.

故选：D.

【点睛】

此题主要考查等腰三角形的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理：三角形内角和是

180°.

8.如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，且AD=6,E是AC的中点，P是AD上

的一个动点，则PC与PE的和最小是（）

A.3B.4C.6D.8

【答案】C

【分析】

连接与AD交手点P,连接CP,贝IJ8E的长度即为PE与PC和的最小值，根据三角形的

面积公式即可证出8E=AD=6,从而得出结论.

【详解】

解：如图，连接8E,与AD交于点P,连接CP,

△A8c是等边三角形，AD±BC,

二垂直平分8C,BC=AC,

：.PC=PB,

：.PE+PC=PB+PE=BE,根据两点之间线段最短，8E的长就是PE+PC的最小值，

E是AC的中点，

BEJ.AC,

11

•SAABC=-BC'AD=—AC'BE,

22

BE=AD=6,

即PC与PE的和最小值是6.

故选：C.

【点睛】

本题考查了最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的

关键.

9.如图，C,E和3,D,尸分别在NG4H的两边上，且AB=BC=CD=DE=EF,

若乙4=18°,则/6所的度数为（）

【答案】D

【分析】

由A8=8C=CD=DE=EF,根据等腰三角形的性质，即可得NACB=N4ZCDS=ZCBD,

ZCED=ZDCE,ZEFD=ZEDF,又由三角形外角的性质与NA=18。，即可求得/GEF的度数.

【详解】

解：•••A8=8C,

ZACB=Z4=18",

ZCBD=ZA+NACB=36",

■：BC=CD,

，ZCDB=ZCBD=36°,

ZDCE=ZA+NCDA=18°+36°=54°,

CD=DE,

ZCED=NDCE=54°,

ZEDF=N4+ZAED=18°+54°=72°,

DE=EF,

ZEFD=ZEDF=72°,

：.ZGEF=ZA+NAFE=180+72°=90°.

故选：D.

【点睛】

此题考查了等腰三角形的性质与三角形外角的性质.此题难度适中，解题的关键是注意数形

结合思想的应用.

10.如图，长方形纸片ABC。，将NC6O沿对角线8。折叠得NC'BO,C5和A。相

交于点E,将Z4BE沿班折叠得N4BD,若NA'8D=a,则NC3D度数为（）

c

aaa

A.45°+«B.60°+-C.30°+-D.150+-

234

【答案】C

【分析】

设NCBD=6,根据折叠可得NC'BD=6,ZA'BE=6-a,依据NABC=NA8E+NE8D+NCBD

=90°,即可得到ZCBD的度数.

【详解】

解：设NCBD=6,则NC'BD=6,

■.ZA'BD=a，

ZA'BE—6-a,

由折叠可得，ZABE=Z.A'BE=6-a,

■：ZABC=Z.ABE+Z.E8D+NCBD=90",

6-a+6+6=90°,

.-.6=30°+-,

3

故选C.

【点睛】

本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大

小不变，位置变化，对应边和对应角相等.

11.给出下面两个命题：①如图1,若PA=PB,QA=QB,则P。垂直平分AB；②如

图2,若点P到OA,OB的距离PC,PO相等，则OP平分ZAOB.其中真命题是（)

【答案】C

【分析】

①根据线段垂直平分线的判定定理，可得P在A8的垂直平分线匕Q在A8的垂直平分线

上，又由两点确定一条直线，即可知PQ垂直平分48；②由点P到。A,。8的垂线段PC,

PD相等，利用HL可证得RtAPC8RtAPDO,即可得OP平分NAOB.

【详解】

解：①,••R4=P8,QA=QB,

，P在AB的垂直平分线上，Q在A8的垂直平分线上，

.PQ垂直平分AB；

②点P到。40B的垂线段PC,PD相等，

ZPCO=NPDO=90°,PC=PD,

在RtAPCO与RtAPDO中，

PC=PD

PO=PO'

：.RSPC。丝RtAPDO(HL),

ZP0C=4POD,

即OP平分NAOB.

故选：C.

【点睛】

此题考查了角平分线与线段垂直平分线的判定.此题难度不大，解题的关键是注意数形结合

思想的应用.

12.如图，在△ABC中，ZC=90",按以下步骤作图：①以点A为圆心、适当长为半径作

圆弧，分别交边AC、AB于点M、N；②分别以点M和点N为圆心、大于gMN的长为半

径作圆弧，在NBAC内，两弧交于点P；③作射线AP交边BC于点D,若CD=4,AB=9,

则△ABD的面积是()

【答案】B

【分析】

作DE±AB于E,根据角平分线的性质得到DE=DC=A,根据三角形的面积公式计算即可.

【详解】

解：作DEJ_AB于E,

由基本作图可知，AP平分NCAB

「AP平分ZCA8,ZC=90°,DE±AB,

：.DE=DC=4,

：.△A8。的面积=！xA8xD£=18,

2

故选：B.

【点睛】

本题考查基本作图、角平分线的性质定理、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所

学知识解决问题.

二'填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)

13.如图，已知直线m是正五边形A8CDE的对称轴，且直线m过点D,直线m与对角线

BE相交于点0,则NAOE=度.

【分析】

证明AO^BO,求出NABO可得结论.

【详解】

解：；直线m是正五边形ABCDE的对称轴，

AO=BO,

zBAE是正五边形ABCDE的一个角，

(5-2)x180°

ZBAE=------------------=108°,

5

AE=AB,Ze/lf=108°,

ZAEB=N48E=36°,

ZBAO=NABO=36°,

：.ZAOE=ZBAO+NABO=36°+36°=72°,

故答案为：72.

【点睛】

本题考查正多边形，轴对称的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是求出

ZABE=36°.

14.图，直线Ag〃C。，直线/与直线AB,8相交于点E、F,点P是射线EA上的一个利

，卓(不包括端点E),将“EPF沿PF折叠,使顶点E落在点Q处.若NPEF=75°,2ZCFQ=NPFC,

则ZEFP=.

/zPvE/B

cD

【答案】35°或63°

【分析】

分两种情形：①当点Q在平行线A8,CD之间时.②当点。在CD下方时，分别构建方程

即可解决问题.

【详解】

解：①当点Q在平行线A8,CD之间时，如图1.

,/AB//CD

：.ZPEF+NCFF=180°

设NPFQ=X,由折叠可知NEFP=X,

,/2ZCFQ=ZCFP,

ZPFQ=ZCFQ=x,

/.75°+3x=180°,

・•・x=35°,

/.ZEFP=35°.

②当点Q在CD下方时，如图2

•/2ZCFQ=ZCFP,

2

ZPFC=—x,

3

2

75°+-x+x=180°,

3

解得x=63°,

ZEFP=63°.

故答案为：35°或63°

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质以及翻折问题的综合应用，正确掌握平行线的性质和轴对称的

性质是解题的关键.

15.如图所示的网格是正方形网格，点A,B,C是网格线交点，那么

ZBAC+ZACB=

【答案】135

【分析】

过点A作AD_LBC,垂足为点D,求出NABC,再运用三角形内角和定理可得结论.

【详解】

解：过点A作ADLBC,垂足为点D,

则AD=BD

ZAB£>=45°

ZABC+ABCA+ABAC=180°

.­.ABAC+ZACB=180°-ZABC=180°-45°=135°

故答案为：135.

【点睛】

此题主要考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，求出NAB£>=45。是解答本题的

关键.

16.如图1是长方形纸带，NDEF=19°,将纸带沿EF折叠成图2,再沿5尸折叠成图3,

则图3中的ZCFE的度数是度.

【分析】

由题意根据折叠的性质可得NDEF=NEFB=19°,图2中根据平行线的性质可得NGFC=142。，

图3中根据角的和差关系可得/CFE=ZGFC-ZEFG.

【详解】

解：AD//BC,

：.ZDEF=Z.EFB=19",

在图2中，NGFC=1800-ZFGD=1800-2ZEFG=142°,

在图3中，ZCFE=4GFC-ZEFG=123°.

故答案为：123.

【点睛】

本题考查平行线的性质，图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于

轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变.

17.在AABC中，NB=60°,AB的垂直平分线分别交AB，AC于点。，E，若AE=BC,

则ZA=

【答案】40

【分析】

连接BE,根据中垂线和AE=5。得出两个等腰三角形，再根据三角形内角和180。.即可算

出来.

【详解】

连接BE

DE垂直平分AB

：.AE=BE,

NBAE=NEBA

AE=BC

BC=BE

NBEC=NECB

设NBAE=NEBA=x

则N8EC=NECB=NBAE+NEBA=2x

ZB=60°

NEBC=60°-x

在△EBC中，2x+2x+60°-x=180°

解得x=40°

Z4=40°

故答案是40

【点睛】

本题考查了中垂线，等腰三角形，三角形内角和等知识点，根据中垂线作出辅助线是解题关

键.

18.如图所示，已知NAOB=40。，现按照以下步骤作图：①在OB上分别截取线段。D,

OE,使。D=OE；②分别以D,E为圆心，以DE长为半径画弧，在NAO8内两弧交于点C；

③作射线。C；④连接DC、EC.则NOEC的度数为.

D

0YEB

【答案】130°

【分析】

利用基本作图得到OD=OE,利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出NOED=70。，再判

断^DEC为等边三角形得到NCED=60。，然后计算NOFD+ZCED即可.

【详解】

解：由作法得。。=。£,

ZOED=ZODE=(180°-40°)+2=70°,

---DE=DC=EC,

A△DEC为等边三角形，

ZCFD=60°,

ZOEC=70°+60°=130°.

故答案为130°.

【点睛】

本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图(作一条线段等于己知线段；作一个

角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作己知角的角平分线；过一点作已知直线的

垂线).

三、解答题(本大题共6小题，共66分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)

19.如图，在RQABC中，NC=90°,AC<BC.

(1)动手操作：要求尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹.

①作出AB的垂直平分线MN,MN分别与AB交于点D,与8C交于点E.

②过点B作BF垂直于AE,垂足为F.

(2)推理证明：求证4：=8F.

c

【答案】（l）①见解析；②见解析；（2）见解析

【分析】

（1）①根据垂直平分线的作法得出即可；②延长AE，再根据过直线外一点作已知直线

的垂线的作法得出即可；

（2）根据垂直平分线的性质得至ijAE=BE,再加上ZBFE=ZACE=90°,ZBEF=ZAEC，

证得：ABEF之AAEC,根据全等的性质得AC=防.

【详解】

⑴①②：

如图直线MN,BF就是所要求的作的图形.

(2)证明：・•・MN垂直平分A8,

AE=BE.

BF±AE,垂足为F,

..NBFE=ZACE=90。.

ABEF=ZAEC,

■■■ABEFdAEC.

：.AC=BF.

【点睛】

此题主要考查了垂直平分线的作法、过直线外一点作己知直线的垂线的作法、垂直平分线性

质以及全等三角形的应用，根据已知得出AE与BE的关系是解题关键.

20.已知：如图，点A、B、C、。在一条直线上，FB//EA交EC于H点,EA=FB，

AB=CD.

(1)求证：NACE^/BDF；

(2)若CH=BC,ZA=50°,求NO的度数.

【答案】(1)见解析；(2)80。

【分析】

(1)山胡//F8,利用同位角相等可得NE4C=NFa).山A5=CD,利用等式性质可

得AC=BD,可证AACE%BDF(SAS)；

(2)由E6//E4可得㈤C=/FBD=5()。，由CW=6C利用等角对等边，可求

NHBC=/BHC=50°.利用三角形内角和可得NEC4=80°.利用VACE名丫比甲性

质，可得NEC4=NO=80°.

【详解】

(1)证明：EA//FB,

ZEAC=ZFBD.

AB=CD,

AB+BC=CD+BC,EPAC=BD,

在AACE和ABZW中，

AC=BD

.<ZEAC=NFBD,

EA=FB

..^ACE^BDF(SAS).

(2)解：FB//EA,

：.NEAC=/FBA500,

CH=BC,

ZHBC=NBHC=50。.

AECA=180°-50°-50°=80°.

.NACE^BDF，

ZECA=ZD=80°.

【点睛】

本题考查平行线性质，等腰三角形性质，三角形全等判定与性质，三角形内角和，掌握平行

线性质，等腰三角形性质，三角形全等判定与性质，三角形内角和是解题关键.

21.在8x8的方格纸中，点A,B,C都在格点上，按要求画图（保留作图痕迹）：

（1）在图1中找一点。，使点O在线段上，且NADC=2NB；

（2）在图2中找一格点E，使NBAC+NBEC=180。.

AA

/\

/

BCBC

图1图2

【答案】（1）见详解：（2）见详解

【分析】

（1）先作线段A8的垂线，然后根据直角三角形斜边中线定理可进行作图:

（2）分别作AB、AC的垂线，然后交于一点，则问题即可求解.

【详解】

解：(1)作A8的垂线，构造直角三角形斜边中线，如图所示,

图1

由直角三角形斜边中线定理可得AD=8D,则有ZADC=2ZB：

(2)分别作A8、AC的垂线，然后交于一点，如图所示：

图2

ZABE=ZACE=90°,

..ZABE+ZACE=1SQ°,

..ABAC+ZBEC^180°,则点E即为所求.

【点睛】

本题主要考查直角三角形斜边中线定理、垂线及中线的作法，熟练掌握直角三角形斜边中线

定理、垂线及中线的作法是解题的关键.

22.如图，在等边△ABC中，A8=12cm,现有M,N两点分别从点A,8同时出发，沿△ABC

的边按顺时针方向运动，已知点M的速度为lcm/s,点N的速度为2cm/s,当点N第一次

到达B点时，M,N同时停止运动，设运动时间为t(s).

(1)当t为何值时，M,N两点重合？两点重合在什么位置？

（2）当点M,N在BC边上运动时•，是否存在使AM=AN的位置？若存在，请求出此时点

M,N运动的时间；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）当1=12时-，M,N两点重合，此时两点在点C处重合；（2）存在，此时M、

N运动的时间为16秒

【分析】

（1）由N的运动路程比M的运动路程多12cm,再列方程，解方程即可得到答案；

（2）由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，由AN=AM,证明AACMg△ABN

（AAS）,可得CM=BN,再列方程求解即可得到答案.

【详解】

解:（1）由题意，txl+12=2t,

解得：t=12,

,当t=12时，M,N两点重合，

此时两点在点C处重合；

（2）结论：当点M、N在8c边上运动时，可以得到AM=4V,即以MN为底边的等腰三

角形.

理由：由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处,

如图，假设是等腰三角形,

AN=AM,

ZAMN=NANM,

AAMC=Z.ANBf

V△4C8是等边三角形，

NC=NB,

在△ACM和△ABN中，

ZC=ZB

<ZAMC=NANB,

AC=AB

△ACM合△ABN(AAS),

CM=BN,

设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间为y秒，AAMN是等腰三角形，

CM=y-12,WB=36-2y,

■：CM=NB,

：.y-12=36-2y,

解得：y=16.经检验符合题意，故假设成立.

当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形AM/V,此时M、N运动

的时间为16秒.

【点睛】

本题考查的是三角形全等的判定与性质，等边三角形的性质，几何动态问题，掌握利用方程

解决几何动态问题是解题的关键.

23.如图，在等边△ABC中，NA8c与NACB的角平分线相交于点。，点£、F分别在边AB,

BC上，连接E。、F0,使N£OF=60°,连接EF.

(2)求证：CF=BE+EF.

【答