离散经济变量无限求和

08二月20241无穷级数在微积分中占有很重要的地位，它是表示函数、研究函数性质和进行数值计算的有力工具。本章主要介绍无穷级数的一些基本知识。第一至四节介绍常数项级数的概念、性质和敛散性判断；第五节为幂级数的概念、性质和展开；最后一节讨论级数在经济中的应用。08二月20242§6.1

从一个问题谈起我国古代关于圆周率的计算：《九章算术》：周三径一张衡刘徽：祖冲之：割圆术08二月20243圆的面积S记六边形面积为u1；记这六个等腰三角形的面积之和为u2；记十二个等腰三角形的面积之和为u3；…刘徽08二月20244结论可列个数相加，其结果可以认为是有限个数相加的极限。割之弥细所失弥少割之又割以至于不可割则与圆周合体而无所失矣

刘徽︽九章算术注︾08二月20245§6.2

常数项级数的概念与性质一、常数项级数的概念

定义

给定数列{un}，称u1+u2+…+un+…为常数项无穷级数，简称级数，记为其中un为第n项或一般项。Sn=

u1+u2+…+un称为部分和。

注意部分和Sn本身构成一个数列；无穷项相加(级数)不一定有结果。例若Sn=

n3+2n+3，则un=

。08二月20246

定义若级数∑un=u1+u2+…+un+…部分和Sn的极限存在，则称此级数收敛，并称其部分和的极限值为此级数的和。即不存在，则此级数发散。

例

常数项级数称为几何级数，讨论几何级数的敛散性。

备忘08二月20247

例

讨论级数

练习

讨论级数

例常数项级数称为调和级数。证明调和级数发散。08二月20248二、性质若A≠0为常数，则且当它们都收敛时，

级数去掉或增加有限项不改变其敛散性。08二月20249收敛级数加括号后所成的级数仍为收敛级数，且收敛于原级数的和。

注逆命题不真。级数收敛的必要条件：

08二月202410§6.3

正项级数的敛散性判别法一、正项级数

定义若对任意n∈N，有un≥0，则称级数Σun为正项级数。

定理正项级数收敛当且仅当其部分和有(上)界。

例

证明p>1时级数08二月202411二、正项级数敛散性判别法

1、比较判别法

定理(比较判别法)若对任意n∈N，有0≤un

≤vn

，则若∑vn收敛，则∑un收敛；若∑un发散，则∑vn发散。

注意逆命题不真。

例

证明p<1时级数08二月202412

备忘

几何级数和p-级数的敛散性结果：几何级数：p-级数：

例判断级数

练习判断级数08二月202413

推论若∑un、∑vn皆为正项级数，存在A∈R+和N∈Z+，使得0≤un≤Avn，则若∑vn收敛，则∑un收敛；若∑un发散，则∑vn发散。

例判断级数08二月202414定理(比较判别法的极限形式)若∑un、∑vn皆为正项级数，且0<l<+∞时，l=0时，l=+∞时，例

讨论下列级数的敛散性：08二月202415通项为有理分式练习

讨论下列级数的敛散性：通项中含对数练习

讨论级数08二月202416无穷小量的应用推论若正项级数的通项un与vn为同阶无穷小量，则例讨论下列级数的敛散性：练习判断下列级数的敛散性：例判断级数08二月2024172、比值判别法

定理(比值判别法或D’Alembert判别法)r<1时，∑un收敛；r>1(包括r=+∞)时，∑un发散；r=1时，∑un可能收敛也可能发散。

注意级数中含有n!、an、nn时一般选用比值判别法。定理中用的是极限值而非直接用un+1与un的的比值。当r=1时不能用比值判别法判定级数是否收敛。08二月202418

例

讨论下面级数的敛散性。

练习讨论级数

定理

若s<1时，∑un收敛；s>1(包括s=+∞)时，∑un发散；s=1时，∑un可能收敛也可能发散。08二月2024193、根式判别法

定理(根式判别法或Cauchy判别法)r<1时，∑un收敛；r>1(包括r=+∞)时，∑un发散；r=1时，∑un可能收敛也可能发散。

例讨论级数

练习讨论级数08二月2024204、积分判别法

定理(Cauchy积分判别法)

设f(x)是[1,+∞)上的连续、递减、正值函数，记un=f(n)，则有

例讨论级数08二月202421

总结

正项级数敛散性判别的一般思路：首先判断通项是否趋于零：若不趋于零，则级数发散；若趋于零，则利用比值、根式、积分判别法；若这三种方法不能判别，则用比较判别法

(先考虑极限形式)；若上述方法都不可行，则考虑计算级数的部分和。

练习

讨论下面级数的敛散性：08二月202422§6.4

任意项级数的敛散性判别法

定义相对于正项级数，通项中的符号任意(即可正可负)的级数，通常称为任意项级数。一、绝对收敛与条件收敛

定理若∑|un|收敛，则∑un收敛。

注意

08二月202423

定义

若级数∑|un|收敛，则称级数∑un绝对收敛；若级数∑|un|发散而∑un收敛，则称级数∑un条件收敛。

例

证明级数练习

证明级数08二月202424二、交错级数

定义

当un>0，n=1、2、…时，称级数∑(-1)n-1un或∑(-1)nun为交错级数或Leibniz级数。

例下列级数中()是交错级数。08二月202425

定理若交错级数∑(-1)n-1un或∑(-1)nun满足un≥un+1，n=1、2、…

则此交错级数收敛。

注

此定理中的条件为交错级数收敛的充分条件而非必要条件。

例

讨论级数08二月202426

总结任意项级数∑un的敛散性判别的考虑顺序：08二月202427

例

判断下列级数的敛散性，若收敛指出是绝对收敛还是条件收敛：

练习

判断下列级数的敛散性，若收敛指出是绝对收敛还是条件收敛：08二月202428总结对任意项级数∑un，若则级数∑un发散。

例证明级数08二月202429§6.5

幂级数与函数的幂级数展开式一、幂级数的概念

定义

设un(x)在D上有定义，n=1,2,…,n,…，称为D上的函数项级数。08二月2024部分和08二月202408二月202408二月202408二月2024在[n-1,n]上应用Lagrange中值定理得因此对任意n∈N，有因此部分和有界，则原正项级数收敛。08二月202408二月202408二月202408二月202408二月202408二月202408二月2024用比较判别法，由由比较判别法，分析过程08二月2024分析

用比较判别法，显然与p级数为确定p，计算相应的极限：若取p>2，则极限为无穷大，但无法判别；若取p<2，则极限为零，即需要取p>1。通过以上分析，只要选择1<p<2，就可以用p级数判别。08二月202408二月202408二月202408二月2024由比值判别法知，级数当x<1时收敛；当x>