新教材苏教版高中数学 选择性必修第二册 同步试题6.3.4空间距离的计算

6.3.4空间距离的计算

一、单选题

1.在正方体力Be。一z4G2中，异面直线4，5。所成角的余弦值为()

A.；B.农C.且D.近

2223

【答案】D

【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解异面直线的夹角余弦值.

【解析】如图，以。为坐标原点，分别以为XJ*轴，建立空间直角坐标系,

不妨设正方体边长为1,则D(0,0,0)体(1,0,为,8(1,1,0)4(0,0,1),

则而=(-1,0,0),西=(-1,-1,1),

设异面直线8n所成角为0,

则mH通好|＞小一岑

故选：D

2.已知4(2,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2),则点“到直线BC的距离为()

A.2B,独^C.4D.—

55

【答案】B

【分析】首先利用空间向量求出或在於上的投影，再利用勾股定理即可求解.

【解析】由题意可得，0=(2,-1,0),SC=(O,-l,2),则现在元上的投影为

箭卷耳，则点到直线的距离为幅*_净=房=等.

故选：B

3.两平行平面a,4分别经过坐标原点。和点/(L2,3),且两平面的一个法向量斤=(-1,0,1),

则两平面间的距离是（）

A.72B•芋C.D.30

【答案】A

【分析】由空间向量求解

【解析】：两平行平面见夕分别经过坐标原点。和点2,3）,厉=（1,2,3）,

且两平面的一个法向量为=（-1,0,1）,

•访近石门的铲所”\n-OA\2r-

••两平面间的距离d=------=—产=V2.

I«lV2

故选：A

4.正四棱锥S-X8CD的高SO=2,底边长为8=0，则异面直线8。和SC之间的距离

TiiV5-245

AA.--DR.---kz•--小--nLJ•---

55510

【答案】C

【分析】利用坐标法，利用异面直线距离的向量公式即求.

【解析】建立如图所示的直角坐标系，则

“（~2~，2~，。）1B（—-—,—-—,。），C（一日,*,。），D（-冬一冬0）,5（0,0,2）.

.•.方=（夜，啦,0）

_.一n-DB=0

令向量五=(x,y,l),且万_L。8,万_LCS,则{-

iiCS=0

x+y=0

{芋72-学五2)=0x-y+242=0

，异面直线BD和SC之间的距离为:

,*,0＞（-&,忘,1）

d='1

:|1+1+0|_2亚

J（-扬2+（何+『5-

故选：C.

5.在空间直角坐标系。物中，若有且只有一个平面a,使点”（2,2,2）到a的距离为1,且

点8（忆0,0）到&的距离为4,则加的值为（）

A.2B.1或3

C.2或4D.2-旧或2+布

【答案】B

【分析】由点48到平面a的距离是确定的且平面a只有一个，可得且48两点

在平面a同侧，由此可得线段的长，从而求得〃?值，

【解析】因为有且只有一个平面口,使点42,2,2）到a的距离为1,且点8（取0,0）到a的距

离为4,所以48J_a,且48两点在平面a同侧，AB=4-1=3,

+4+4=3,m=1或3.

若/8>3,则线段28与平面a至少有下列两种位置关系，即平面a至少有两个.

若/8<3,由上面/8>3的图形知，48两点到平面a的距离的差的绝对值不大于48,与

已知矛盾，即不存在平面a满足题意.

故选:B.

6.已知四边形/8CZ）是边长为4的正方形，瓦尸分别是边/民4。的中点，GC垂直于正方

形所在平面a,且GC=2,则点B到平面EFG的距离为（）

A.3B.^5C.—D.

1111

【答案】D

【解析】连接4c,8。，AC,EF交于M,AC,BD交于O,过。作O"_LGA/,垂足为H,

则问题转化为求0”的长度，根据两个直角三角形相似，对应边成比例可解得结果.

【解析】如图：连接4C,EF交于M,AC,BD交于O,

因为E,尸分别是边AB,4。的中点，所以BD//EF,

因为EFu平面EFG,所以平面EFG,所以点B到平面EFG的距离等于点。到平面

EFG的距离，

因为GCJ_平面N8CD,所以GC_L8。，又BD1AC,GCC]AC=C,

所以8。2平面GMC,因为EF//BD,所以EF/平面GA/C,

因为E尸u平面EFG,所以平面EFG_L平面GMC,

过。作O，_LGA/,垂足为H,则CW1平面EFG,则。〃为点O到平面EFG的距离，

在直角三角形GCM和直角三角形O/加中，ZGMC=20MH,所以△GCM~40HM,

叱“OHOM匚亡,、|___GCOM

所以"ZTT=7777'所以OH=

GCGMGM

因为正方形ABCD的边长为4,所以OM=-AC=4应=五，

44

CM=%C=《x4^=3«,GM=JGC?+CM?==4+18=后，

所以。"=3^=2而.

V22H

所以点E到平面EFG的距离为《JTT.

故选：D

【点睛】本题考查了直线与平面垂直的性质，考查了直线与平面垂直的判定，考查了平面与

平面垂直的判定与性质，考查了直线与平面平行的判定，考查了求点到平面的距离，属于中

档题.

7.如图，点P为矩形所在平面外一点，尸4，平面480。为4P的中点，4B=3,

BC=4,PA=2,则点P到平面80。的距离为()

13

D.—

12

【答案】B

【分析】分别以4。，/P所在直线为x轴、V轴、z轴建立空间直角坐标系，则8(3,0,0),

。(0,4,0),mO,2),0(0,0,1),再利用点P到平面8。。的距离"="且，即可得答案;

1«1

【解析】如图，分别以AD,/P所在直线为x轴、V轴、z轴建立空间直角坐标系，

区=(3,0,7)，丽=(-3,4,0),无=(0,0,1).

设平面BQD的法向量为亢=(x,y,z),

in-BD=O[-3x+4^=0

川nl%.还=0'即an[3x-z=0.

令x=4,则2=3,z=12,・••万=(4,3,12).

.•.点P到平面BQD的距离"=也包=—.

故选：B.

【点睛】本题考查利用向量法求点到面的距离，考查空间想象能力、运算求解能力.

8.如图，已知正方体/88-44GA的棱长为1,。为正方形的中心，若P为平

面。。产内的一个动点，则P到直线4月的距离的最小值为()

【答案】A

【分析】建立空间直角坐标系，列出线面距离公式即可求解.

如图，以五I反，西为x，〉，z轴建立空间直角坐标系，则有

8(1,1,0),2(0,0,1),4(1,0,1),鸟(1,1,1),因为o为正方形/*4的中心，得o(；,og),

丽=(0,1,0),历丽=(i,L-D，瓯=(0,0,1)

———[11

_OB•万=0—x+y—z=0

设平面。町的法向量为"=(xj,z),利用__，则2'2，

DfB«=0x+y-z=0

取X=l,解得[=(1,0,1),有福G=o,且4A(Z平面。则直线44〃平面

设直线44的到平面距离为d,取直线上一点可，与平面上一点5,则

西=(0,0,1),

72

利用空间中点面距离公式有：d=丁F

故选：A

9.如图，已知正方体力8co-48cA棱长为3,点〃在棱“4上，且"4=1，在侧面8CC向

内作边长为1的正方形EFGC\,P是侧面8CC圈内一动点，且点P到平面CDDG距离等于

线段尸尸的长，则当点P运动时，|〃尸『的最小值是()

A.21B.22C.23D.13

【答案】D

【解析】建立空间直角坐标系，根据P在8CC圈内可设出尸点坐标，作，氏，连接RW,

可得HP2=HM、MP2，作「N，CG，根据空间中两点间距离公式，再根据二次函数的性

质，即可求得|期2的范围.

【解析】根据题意，以D为原点建立空间直角坐标系如图所示：

作/W1BB、交BB］于M,连接PM，则HM1PM

作PN1CG交CG于N,则PN即为点P到平面CDD,C,距离.

设P(x,3,z),则尸(1,3,2),M(3,3,2),N(0,3,Z)(04X43,04Z43)

;点P到平面CDD.C,距离等于线段PF的长

PN=PF

由两点间距离公式可得X=J(x-iy+(z-2)2，化简得2x-1=(z-2)2,则2x-120解不等式可

Wx>|

综上可得

则在放A/-加。中

HP2—HM24-MP2—3?+(x—3)~+(z—2)~=32+(x—3)~+2x—1=(x—2)~+13<x<3j

所以〃产zi3(当时x=2取等)

故选:D

【点睛】本题考查了空间直角坐标系的综合应用，利用空间两点间距离公式及二次函数求最

值，属于难题.

io.如图，在棱长为。的正方体力8cD-44GA中，尸为4。的中点，。为上任意一

点，E,尸为CQ上两个动点,且EF的长为定值，则点。到平面尸EF的距离()

A.等于正“B.和EF的长度有关

5

C.等于*aD.和点。的位置有关

【答案】A

【分析】取8c的中点G,连接尸G,CG,O尸，利用线面平行判断出选项B,D错误；建立空

间直角坐标系，利用平面的法向量结合空间向量数量积公式求得点到面的距离，从而得出结

论.

【解析】取B£的中点G,连接PG,CG,DP,则PG//CD,所以点。到平面PEF的距离即

点0到平面PGCD的距离，与E尸的长度无关，B错.又的〃平面PGCD,所以点4到平

面尸GCZ)的距离即点0到平面尸GCC的距离，即点。到平面尸E尸的距离，与点0的位置

无关，D错.

如图，以点。为原点，建立空间直角坐标系，则10,4,0),。(0,0,0)，430,。),尸(今0,。｝

：.DC=(0,a,0),西=(4,0,a),DP=Iy,0,aI,

万丽=0,ZB=x+az=0,

设1（x/,z）是平面PG8的法向量，则由，得J2

n-DC^O,

ay-0,

令z=l,则x=-2,y=0,所以％=（-2,0,1）是平面PGC。的一个法向量.

设点0到平面PEF的距离为d,则dA对，C错.

【点睛】本题主要考查点到直线的距离，意在考查学生的数学抽象的学科素养，属中档题.

TT

11.如图，在直三棱柱N8C-48IG中，Z.BAC=—,AB=AC=AAt=1,已知G与E分别

为44和CG的中点，。与尸分别为线/C和上的动点（不包括端点），若GDVEF.

则线段。厂长度的取值范围为（）

A.［当）B.［坐，坐］C.［坐⑨D.［应⑸

5455

【答案】A

【分析】以A为坐标原点建立空间直角坐标系，设出2尸的坐标，根据已知条件求得参数

之间的关系，并建立QF关于参数的函数关系式，求其值域即可.

【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，

则设点。坐标为（机,0,0）,F（0,〃,0）,0</W<l,0<n<l,

故而=而=（加,-；,-1）,因为GD_LEF,

―■—■1|=—2m+1,由〃e（0,l）uj得me]。,]],

故可得EF-GD=-机〃+—=0,则"

22

又而0）,故河卜

故当机=|时，|可取得最小值咚；又当m=0时-，|西=1,但无法取到加=0,则I间无

法取到1;

综上，线段。尸长度的取值范围为.

故选：A

12.如图，在三棱柱/8C-44a中，底面“8C是边长为2省的正三角形，AA尸布，顶

点4在底面的射影为底面正三角形的中心，P,。分别是异面直线NG，48上的动点，则P，

。两点间距离的最小值是（）

C.V6

D-T

【答案】D

【分析】设。是底面正018C的中心，/0_L平面/8C,COLAB,以直线CO为x轴，。&

为z轴，过。平行于的直线为V轴建立空间直角坐标系，P,0两点间距离的最小值即为

异面直线AC｝与48间的距离用空间向量法求异面直线的距离.

【解析】如图，。是底面正“8C的中心，4。，平面/5C,/Ou平面H8C,则4。14。，

1

48=2石，则4O=|x*x2W=2,又44=近，AXO=^AA；-AO=73,

COA.AB,直线CO交45于点£>,。£>=1,

以直线CO为X轴，。4为Z轴，过O平行于的直线为夕轴建立空间直角坐标系，如图，

则40,0,6),4(1,-6,0),8(1,G,o),C(-2,0,0),

羽=(-1,6,6),JC=(-3,73,0),^5=(1,73,-73),

您=羽+祀=(-4,2"两，

_UUUUUUL

设"=(》,y,z)与A[B和ACt都垂直，

仿•苑=-4x+2伤+我=0广_厂

则\_——.rl，取x=A/3，则y=1/=2,〃=(百,1,2),

n-AXB=x+J3y-13z=0

P,Q两点间距离的最小值即为异面直线4G与48间的距离等于

卜./⑷|-^3+VJ+2A/S|娓

同一J3+1+4.2-

故选：D.

二、多选题

13.在棱长为2的正方体/BCD-44G4中，P是棱上一动点，则P到平面4G。的距

离可能是()

逑

B.y/3D.2V2

~T~

【答案】BC

【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量写出尸到平面力£。的距离的表达式，然后求

其范围即可.

【解析】如图，以A为坐标原点，以丽，丽，丽的方向分别为x轴，y轴，z轴的

正方向，建立空间直角坐标系，则4(2,0,0),8(2,2,2),P(2,A,2)(0<2<2),7)(0,0,2),

C,(0,2,0),故福=(-2,2,0),40=(-2,0,2),设平面4G。的法向量G=(x,y,z),由

，取X=1,则〃=(1,1,1)为平面4G。的法向量，4尸=(0,42),所以P

五•

AXD=-2x+2z=0

到平面4G。的距离d=3.因为0W2W2,所以季，胆，而

=->0,即BC选项的数值才符合.

故选：BC

14.在棱长为1的正方体Z8CD-44GA中，E为线段的中点，F为线段84的中点,

则()

B.直线尸G到直线/1E的距离为叵

A•点4到直线耳E的距离为彳

5

C.点4到平面48也的距离为也D.直线FC到平面的距离为:

33

【答案】BD

__-RT

【分析】建立坐标系，求出向量4A在单位向量〃=舞上的投影，结合勾股定理可得点4

14初

到直线4E的距离，判断A；先证明4E〃/G，再转化为点尸到直线4E的距离求解，判断B；

求解平面的法向量，利用点到平面的距离公式进行求解，判断C；把直线FG到平面4片£的

距离转化为G到平面的距离，利用法向量进行求解，判断D.

【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,

则4(1,0,1)出(1,1,1),E(0,0,；),尸(1,1,；),G(0,1,1),41,0,0).

-----1一BE221-----

因为B\E=(TT—；)必=$=(-34与=(0,1,0),

2|BXE\555

----------2

所以A[B1-Wj.

所以点4到直线踏的距离为屈L（福]）2=F|=半,故A错误;

—■1——-1-----------------

因为4石=(-1,0,5)/。|=(-1,0,5),所以/£〃尸6，即/E〃/G，

所以点F到直线ZE的距离即为直线FG到直线/E的距离,

—>AE1,。,=(04,"2=沔二书,

〃2

\AE\

所以直线FC、到直线AE的距离为故B正确;

设平面Z8遂的一个法向量为G=(xj,z),函=(0,1,1),市=(-1,0,g),菊=(0,0,1).

n-AB}=y+z=0,

由_1令z=2,则y=-2,x=l,BP«=(1,-2,2).

\n-AE=—xd■—z=0,

\AAX-n\22

设点4到平面48e的距离为d,则d=即点4到平面的距离为故c

H33

错误；

因为4E〃尸G，/G&平面工斗£,NEU平面/8再，所以fG〃平面ZBE，

所以直线尸G到平面叫E的距离等于C,到平面AB、E的距离.场=(1,0,0),

由(3)得平面48f的一个法向量为7=(1,-2,2),

所以G到平面48遂的距离为

H3

所以直线尸G到平面Z8也的距离为:，故D正确.

故选：BD

15.(多选)已知正方体力8C。—48cA的棱长为1,点£、。分别是力蜴、4a的中点,

产在正方体内部且满足=++,则下列说法正确的是()

A.点/到直线BE的距离是在B.点。到平面ZBCQi的距离为也

54

C.平面48。与平面8cq间的距离为走D.点P到直线48的距离为II

336

【答案】BC

【分析】建立空间直角坐标系，写出各点坐标，利用直线的方向向量和平面的法向量结合空

间向量数量积求得各个选项的距离，得出结论.

【解析】如图，建立空间直角坐标系，则/(0,0,0),8(1,0,0),

0(0,1,0),4(0,0,1),c,(1,1,1),A(0,1,1),4；，0,1)，

所以或=(-1,0,0),而

设Z.ABE=9,则cos6=,sin。=Vl-cos20=-

\BA^BE\55

故1到直线8E的距离&=|瓦^|sin<9=lx2^=芈，故A错.

易知CQ==f-p-po'j,

平面/8CQ的一个法向量=(0,T,D，

则点O到平面4BCB的距离,==_2_=W1，故B对.

I函I一万一7

AJB=(1,0,-1),45=(0,1,-1),4/)；=(0,1,0).

设平面A{BD的法向量为G=(x,弘z),

则广雪u所以尸=：,

n•A】D=0,[y-z=0,

令z=l,得y=l,x=l,

所以1=(1],1).

所以点A到平面A.BD的距离d,=“3=」==€.

|«|733

因为平面48。//平面片。〃，

所以平面48。与平面间的距离等于点R到平面48。的距离,

所以平面48。与平面间的距离为正，故C对.

3

因为而+g而+|羽，所以万=(1，3，1)，

P—APAB3

又“8=(1,0,0),则nl—二了,

\AB\4

所以点尸到N8的距离d=|9『-|华华=J——=-.故D错.

V\AB\V144166

故选：BC.

【点睛】本题主要考查利用空间向量求点线、点面、面面距离，意在考查学生的数学运算的

学科素养，属中档题.线面距、面面距实质上都是点面距，求直线到平面、平面到平面的距

离的前提是线面、面面平行.

16.如图所示，三棱锥S-/8C中，为等边三角形，SZ，平面/8C,S/=3,48=2.

点。在线段SC上，且M=；SC,点E为线段S3的中点，以线段8c的中点O为坐标原点,

0A,。8所在直线分别为x,y轴，过点。作SN的平行线为z轴，建立空间直角坐标系，则

下列说法正确的是（）

A.直线CE的一个方向向量为B.点。到直线CE的距离为女

I222J21

C.平面4CE的一个法向量为（百,3,-2）D.点。到平面ZCE的距离为1

【答案】ABD

【分析】首先利用题目已经建好的坐标系，写出点的坐标，再利用空间向量分别求点。到

直线CE的距离、点力到平面/CE的距离以及平面4CE的法向量，利用向量共线定理可以

判断直线CE的一个方向向量.

【解析】依题意，5（"0,3）,力（0,0,0）,8（0,1,0）,40,-1,0）,后亭;|;若即=夫。，

(2J31)—■(633)-点:1正正'

则。-^-,--,2，则CE=,故A正确;

2,2,2

7、

f2^2J23

CD=祝=(-6,-1,0),AE=-,故。点到直线CE的距离

3'22

7

2

(--、疸,故正确;

d=.\cb2-CDCEB

Im-21

-yfix-y=0

设G=（xj,z）为平面ZCE的法向量,则一“0

。,令z=-2

AE-n=Ox+L+L

222

则三卜0,3,-2）为平面4CE的一个法向量，故C错误;

_.f22、CDn

而8=-y-,-,2,故点。到平面NCE的距离4=故D正确.

故选：ABD

三、填空题

17.已知是棱长为1的正方体，则平面与平面G8。的距离为

【答案】巫##!百

33

【分析】建立空间直角坐标系，可证得平面“斗"〃平面C/。，从而平面与平面

的距离等于点G到平面的距离.求得平面力耳。的法向量；;和以瓦，结合点到平面的

距离的向量公式，即可得解.

【解析】以。为坐标原点，所在直线分别为X,y,z轴建立如图所示的空间直角

坐标系，

则41,0,0),5(1,1,0),£)(0,0,0)<(0,1,1),4(0,0,1),和,1,1),

可得葩=(0,1,1),西=(-1,0,1),西=(-1,0,1),西=(0,1,1),

因为函=西，福=西，则函〃殒花〃函，

所以4)1〃8G//DC,,

因为0平面C石。，86<3平面弓8。，/屈仁平面68。，。&匚平面68。,

所以4。"平面G8。，/耳〃平面G8D,

又ZRc冉=/,四,/8«平面/耳0,

所以平面N8Q〃平面G8D,

所以平面/片4与平面C/。的距离等于点G到平面的距离d,

_n-AB,=y+z=0

设平面4BQ的法向量为〃=（x,y,z）,则---，

n•ADX=-x+z=0

令z=l,口J得x=l,歹=-1,所以〃=（1,—1,1）,

一_G4-n\

又因为G，=(1,0,0),所以“=—pi—

H'T'

所以平面ABQ、与平面C、BD的距离为3.

3

故答案为：旦.

3

18.已知平面a的法向量为万=。,L0）,向量方=（0,1,1）在平面a内的投影向量的长度为

【答案】巫#芸而

22

【分析】先求出cos5,石〉，进而可求出直线Z5与平面a的夹角大小，进而可求得向量而

在平面a内的投影向量的长度.

【解析】因为平面a的法向量为万=（1』,0）,向量存=（0,1,1）,所以cos5,方）=百篇=；,

设直线与平面a所成角为0,所以sinO=k°s〈斤,48〉卜g,

因为。“《，所以。=?•

所以向量荏=（0,1,1）在平面。内的投影向量的长度为|万|.cos®=0x*=*.

故答案为：忌.

2

19.在三棱锥S—/8C中，SA=BC=2,SC=AB<,SB=/C=JL记8c的中点为M,

S4的中点为N,则异面直线/〃与CN的距离为.

【答案】华

【分析】将三棱锥S-/8C补成正六面体为利用勾股定理求解长、宽、高，再建立直接坐标

系后，求出而和丽的法向量，便可求得直线4"与CN的距离.

【解析】解：三棱锥S-48C的三组对棱分别相等，因此三棱锥S-48C的外接平行六面体

为长方体，将三棱锥S-48C放在长方体中，设长方体的长、宽、高分别为。，6,c,且

a2+b2=SR。，a2+b2=4,a=5

Z>2+c2=SC2,gp-〃+/=3,解得•b=l.

a2+c2=SB2,a2+c2—5,c=V2,

因此以8为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示:

则可0,6,板），虚），5（0,0,0）,C（1,A/3,0）,M；冷,0,N；，与五

赤='；，*，-同,丽=K，4,&

n-AM=-—x+—y-yllz=0,

22

设〃=（x,y,z）垂直于五五和丽所以

n•CN=--x--^-y+=0,

22

令y=0,则2=苴，x=0,所以>=(0,0,

2I

又丽=（0,0,五）,所以异面直线与CN的距离d=

故答案为：华

20.如图，在四棱锥S-Z8C。中，底面48co是矩形，AD=SA=SD=2AB=2,P为棱AD

的中点，且SPL/8,屈=/1万（04241）,若点〃到平面S8C的距离为孚，则实数4的

值为.

s,

\\D

C

」

M/.A'

B

【答案】|

【分析】建立合适的空间直角坐标系，写出相关点坐标，得到豆=（-1」,-6）,

SB=（1,1,-万），利用ZA/=/MS求出诟，再利用点到平面距离公式d=-R—，

代入相关向量坐标，解出2即可.

【解析】过点P作尸E〃CO,交BC于点E,*;SD=SA,P为/。中点，

SPLAD,又：SPL4B,且/£）c/8=/,u平面力BCD,

.•.SPJL平面/BCD,QPEu平面48CD,则SP1PE,

则易得SRP4PE两两垂直，所以以P为原点，尸4尸瓦尸5所在直线分别建立x,y,z轴，如

图所示：

则点P(0,0,0),又知4)=S/=S0=2,AB=1,P为4。中点，则SP=Q，

故2(1,0,0),S(0,0,6),5(1,1,0),C(-l,l,0),

=，诟=(T，0，b),拓=(1,1,-石)，

又：AM=AAS>：.MS=(1-2)AS=(A-1,0,>^(1-A)),

设平面SBC法向量为加=（x,gz）,则加•SC=0，且而•S3=0

-x+y-衣=0一L

有L，令Z=l,则a=(0,6,1),

x+y-y/3z=0

M到平面SBC的距离〃=%'~,

」-））.（。,"=今化简得一二|,故小

2

故答案为：

【点睛】本题涉及到点到平面的距离的计算方法，我们常用以下几种方法计算点到平面距离:

（1）等体积法；（2）定义法；（3）转化法；（4）空间向量法。本题我们采用空间向量法

求解相关参数，首先我们需要建立合适的空间直角坐标系，写出相关向量，再利用点到平面

距离公式〃=,其中而为相关平面的法向量，此方法可操作性强，按步骤算出相关向

量即可.

四、解答题

21.如图，已知正方体/8C。-44GA的棱长为1,是异面直线/C与CQ的公垂线段,

试确定点M在4C上及点N在CQ上的位置，并求异面直线AC与CtD间的距离.

【答案】点〃是线段/C上靠近点C的一个三等分点，，点N是线段CQ上靠近点。的一

个三等分点；

3

【分析】以A为原点，所在直线分别为x轴，V轴，z轴，建立空间直角坐标系,

利用就•丽=0,西•丽=0,可求出M,N两点的坐标，从而可求出答案.

【解析】以A为原点，/8,/。,力4所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系,

如图所示，

则/f(o,o,o),c(i,i,o),o(o,i,o),c,(1,1,1),

因为点M在ZC上，点N在上，所以设例N(”,l,w),

所以％=(1,1,0),困=(1,0,1),丽=(〃-利1-九〃)，

因为MN是异面直线AC与CQ的公垂线段，

2

(.m——

——--------n—m+i-m=0A?

所以ZC.MN=0,OG.MN=0,即《八，解得〈，，

n—m+n=01

'n=—

3

所以点M是线段ZC上靠近点。的一个三等分点，，点N是线段上靠近点。的一个三

22.如图，在长方体43co-44CQ中，&A=2AB=2BC=2,E为线段。。的中点，F

为线段的中点.

(1)求点4到直线&E的距离;

(2)求直线FC、到直线AE的距离;

⑶求点4到平面/8也的距离.

【答案】(1)坐

⑵当

婕

【分析】(1)建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用空间点到直线距离公式进行计算;

(2)在第一问的基础上，得到房//次，从而利用空间点到直线距离公式求出直线FC,到

直线/E的距离；

(3)求出平面的法向量，利用点到平面的距离公式求出答案.

【解析】(I)建立如图所示以。4DC、为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，

则。(0,0,0,0),C(0,1,0),040,0,2),8(1,1,0)3(0,0,1),

4(1,0,2),C,(0,1,2),B,(1,1,2),F(l,1,1),

庭-i)，4瓦=(o,i,o),

设点4到直线AE的距离为4,

则点4到直线B、E的距离为理.

3

(2)元;=(-1,0,1),荏=(-1,0,1),故西〃荏

丽=。,1,0)，

设直线FC、到直线AE的距离为“2，则d2即为F到直线AE的距离;

_V6

d2=羊-

J诟L一2

则直线FCX到直线AE的距离为如

2

（3）设平面产的法向量为五=（xj,z）,

n-AE=(x,y,z\(-1,0,1)=-x+z=0

由<—,

n-B}E=(x,y,z)•-x-y-z=0

令x=L则y=-2,z=l,所以万=(1,-2,1)

设点4到平面AB}E的距离为4，

...”|(0,1,0)-(1,-2,1)|_^

\n\J1+4+13

则点4到平面AB.E的距离为限.

3

23.如图，四棱锥P-N8C。的底面是矩形，尸。_1_底面/5。力，PD=DC=],例为8c的

中点，且尸.

⑴求8C；

（2）求点8到平面均〃的距离.

【答案】（1）0

⑵手

【分析】（1）建立空间直角坐标系，设8c=2〃，写出各点坐标，利用丽.痂=0列出方

程，求出°=也，从而得到BC的长；

2

（2）求出平面以阳的法向量，利用点到平面的距离公式进行求解.

【解析】（1）.••2。_1平面”88,四边形/8S为矩形，不妨以点。为坐标原点，DA.

DC、OP所在直线分别为x、V、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系。-乎，

Z八

设BC=2a,则。（0,0,0）、尸（0,0,1）、8（24,1,0）、M（a,l,0）、Z（2”,0,0）,

则而=（2〃,1,-1）,而=（-a,l,0）,

日

,：PB1AM,则而ZA/=-2a2+l=0,解得.=",

2

故BC=2a=叵;

（2）设平面尸/M的法向量为三=（%，M，zJ,贝1」而=-¥，1，。}AP=（-V2,0,l）,

由；和1=-孝占+必=0,取寸a可得康（拉,1,2）,

m-AP-->/2x}+zl-0

益=（0,1,0）,

,,38词J币

.•.点B到平面PAM的距离d=―尸j」=—==—,

同V77

24.如图，已知以。为圆心，2为半径的圆在平面a上，若尸。_La,且尸。=4,OA>OB

为圆。的半径，且408=90。，/为线段的中点.求：

（1）异面直线。5,产物所成角的大小;

⑵点O到平面PZ8的距离；

（3）异面直线08,的距离.

【答案】(l)arccosJ

6

(2)i

(3)果后

【分析】（1）根据题意，建立空间直角坐标系，找到直线03,的方向向量，代入向量的

夹角公式，计算得答案；

（2）利用等体积法计算点。到平面PAB的距离；

（3）把异面直线08,的距离.转化为直线08与平面的距离，求出平面的法向

量，利用空间向量点到平面的距离公式，计算求解.

【解析】（1）由尸且乙4。8=90。，以。为原点，分别以。4。氏0P所在的直线为

x,%z轴，建立空间直角坐标系，如图，

由题意P（0,0,4）,4（2,0,0）,8（0,2,0）,因为M为线段48的中点，所以〃（1,1,0）,

所以两=（1,1,-4）,砺=（0,2,0）,

所以异面直线08,PM所成角的大小为arccos—；