刚体动力学7.3碰撞0806

前言刚体的平面运动非惯性基下刚体动力学碰撞刚体的定点运动理论力学CAI版权所有,2000(c)上海交通大学工程力学系理论力学CAI刚体动力学碰撞2024/2/81理论力学CAI刚体动力学碰撞前言基本假设、恢复因数

碰撞中刚体动量与动量矩的变化刚体动力学/碰撞2024/2/82理论力学CAI刚体动力学碰撞前言基本假设、恢复因数

碰撞中刚体动量与动量矩的变化刚体动力学/碰撞2024/2/83理论力学CAI刚体动力学前言如一个运动着的物体，突然对其施加约束，物体的速度也会发生突变在力学上凡物体的速度或动量发生突变的现象均称为碰撞本节将根据动力学的基本原理对碰撞现象进行描述，讨论碰撞运动的基本规律

刚体动力学/碰撞/前言碰撞是物体运动的特殊形式特点是在很短的时间间隔内物体的速度发生突然的变化如工程中的锻铁、打桩，生活中踢足球，捶钉子等2024/2/84理论力学CAI刚体动力学刚体动力学/碰撞/前言两物体发生碰撞的时间间隔在千分之一到万分之一秒之间在碰撞的时间间隔内，速度有很大的变化故物体的加速度极大在碰撞的时间间隔内，物体相互的作用力非常大这种在短暂时刻发生远大于普通力的力称为碰撞力在巨大的碰撞力作用下，物体肯定产生变形，同时会发生声、光与热等物理现象。说明碰撞的物理现象很复杂碰撞过程中将有一部分机械能转化为其他运动形式的能量，机械能不守恒2024/2/85理论力学CAI刚体动力学碰撞前言基本假设、恢复因数

碰撞中刚体动量与动量矩的变化刚体动力学/碰撞2024/2/86理论力学CAI刚体动力学基本假定、恢复因数在理论力学中不考虑碰撞时间间隔内的所有物理过程主要讨论在碰撞力的作用下物体在碰撞前后的速度的变化

刚体动力学/碰撞/基本假定恢复因数2024/2/87理论力学CAI刚体动力学基本假定1不考虑碰撞时间间隔中碰撞力的变化刚体动力学/碰撞/基本假定恢复因数碰撞的时间间隔碰撞力对物体的作用直接用碰撞力的冲量来描述碰撞力的冲量称为碰撞冲量2024/2/88理论力学CAI刚体动力学基本假定2通常碰撞力是物体的普通作用力(如重力、弹性力等)的数百倍或数千倍在讨论碰撞的效应时只考虑碰撞力，其他的相互作用力均忽略

刚体动力学/碰撞/基本假定恢复因数2024/2/89理论力学CAI刚体动力学基本假定3由于碰撞的时间间隔t非常短，质点的位移、刚体的位形变化非常小，而忽略不计，只考虑它们的速度的变化尽管该位形的变化很小，由于碰撞力很大，故碰撞力所作的功为一有限值，不能忽略刚体动力学/碰撞/基本假定恢复因数2024/2/810理论力学CAI刚体动力学正碰撞碰撞前后两球中心的速度与两中心连线重合称为正碰撞接触变形阶段变形恢复阶段正碰撞的两个阶段各阶段位形不变刚体动力学/碰撞/基本假定恢复因数2024/2/811理论力学CAI刚体动力学刚体动力学/碰撞/基本假定恢复因数动量定理的积分形式接触变形阶段变形恢复阶段2024/2/812理论力学CAI刚体动力学恢复因数接触变形阶段冲量变形恢复阶段冲量牛顿认为这两个碰撞冲量的比为常数，且该常数与碰撞物体的材料性质有关，与物体的形状、大小与碰撞前的速度无关刚体动力学/碰撞/基本假定恢复因数2024/2/813理论力学CAI刚体动力学刚体动力学/碰撞/基本假定恢复因数未知量个数=方程数无恢复因数的条件无法解2024/2/814理论力学CAI刚体动力学恢复因数等于碰撞前后两物体相对速度的绝对值之比刚体动力学/碰撞/基本假定恢复因数2024/2/815理论力学CAI刚体动力学e=0e=1变形不恢复变形完全恢复完全塑性碰撞完全弹性碰撞刚体动力学/碰撞/基本假定恢复因数接触变形阶段变形恢复阶段相碰撞的材料铁/铅木/橡皮木/木铁/铁玻璃/玻璃恢复

因数0.140.260.500.560.942024/2/816理论力学CAI刚体动力学碰撞前后的机械能损失碰撞前后有机械能损失e=0：完全塑性碰撞e=1：完全弹性碰撞损失为零损失最大碰撞前后势能不变假定：碰撞前后刚体位形变化忽略不计刚体动力学/碰撞/基本假定恢复因数2024/2/817理论力学CAI刚体动力学碰撞前言基本假设、恢复因数

碰撞中刚体动量与动量矩的变化刚体动力学/碰撞2024/2/818理论力学CAI刚体动力学碰撞中刚体动量与动量矩的变化定轴转动的碰撞问题刚体平面运动的碰撞问题刚体动力学/碰撞/刚体动量与动量矩的变化2024/2/819理论力学CAI刚体动力学定轴转动的碰撞问题刚体动力学/碰撞/刚体动量与动量矩的变化惯性基连体基运动分析受力分析碰撞理想约束力对无贡献在点Pk的碰撞主动力对有贡献姿态坐标其他非碰撞主动力不计利用对定轴动量矩定理的积分形式对定轴动量矩2024/2/820理论力学CAI刚体动力学刚体动力学/碰撞/刚体动量与动量矩的变化刚体碰撞前后对该轴动量矩的改变等于主动碰撞力的冲量对该轴的矩之和假定(3)：碰撞前后刚体位形变化忽略不计与时间无关

冲量对点O的矩

2024/2/821理论力学CAI刚体动力学刚体动力学/碰撞/刚体动量与动量矩的变化/例[例]以速度为v0匀速运动的小车上有一边长为l的方块。当小车突然停住时，方块将绕底面的O点翻转求此时方块翻转的角速度与方块能量的损耗2024/2/822理论力学CAI刚体动力学刚体动力学/碰撞/刚体动量与动量矩的变化/解[解]惯性基运动分析突变碰撞前瞬时滑块的动量对点O

的动量矩碰撞后瞬时对点O

的动量矩滑块的平动绕O的定轴转动设定正向冲量分析铰O2024/2/823理论力学CAI刚体动力学刚体动力学/碰撞/刚体动量与动量矩的变化/解滑块的平动绕O的定轴转动突变滑块的动能机械能的改变碰撞前瞬时碰撞后瞬时2024/2/824理论力学CAI刚体动力学平面运动的碰撞问题刚体动力学/碰撞/刚体动量与动量矩的变化惯性基连体基运动分析受力分析碰撞理想约束力在点Pk的碰撞外力碰撞主动力碰撞前瞬时碰撞后瞬时质心速度刚体角速度质心速度刚体角速度动量对C

的动量矩动量对C

的动量矩包括2024/2/825理论力学CAI刚体动力学刚体动力学/碰撞/刚体动量与动量矩的变化动量定理的积分形式在点Pk的碰撞外力碰撞前瞬时质心速度碰撞后瞬时质心速度动量动量2024/2/826理论力学CAI刚体动力学刚体动力学/碰撞/刚体动量与动量矩的变化对质心C的动量矩的积分形式假定(3)：碰撞前后刚体位形变化忽略不计与时间无关

在点Pk的碰撞外力碰撞前瞬时碰撞后瞬时刚体角速度对C

的动量矩2024/2/827理论力学CAI刚体动力学刚体动力学/碰撞/刚体动量与动量矩的变化刚体平面运动碰撞前后的动量与动量矩的变化2024/2/828理论力学CAI刚体动力学刚体动力学/碰撞/刚体动量与动量矩的变化刚体平面运动碰撞前后的动量与动量矩的变化对任意动点D：?×√2024/2/829理论力学CAI刚体动力学刚体动力学/碰撞/刚体动量与动量矩的变化刚体平面运动碰撞前后的动量与动量矩的变化对任意动点D：2024/2/830理论力学CAI刚体动力学刚体动力学/碰撞/刚体动量与动量矩的变化刚体平面运动碰撞前后的动量与动量矩的变化对任意动点D：2024/2/831理论力学CAI刚体动力学刚体动力学/碰撞/刚体动量与动量矩的变化/例[例]均质杆OA质量为m1，长为l，一端O由铰链与机座相连。从水平位置下落，在铅垂位置杆的另一端A撞击一质量为m2的方块设点A与方块的质心C2在同一水平线上已知恢复因数为e求撞击后杆的角速度与方块的速度，杆对方块的冲量2024/2/832理论力学CAI刚体动力学刚体动力学/碰撞/刚体动量与动量矩的变化/解[解]惯性基杆由水平位置碰撞发生前杆的角速度势能铅垂位置重力机械能守恒动能零势面约束力不作功（1）撞击后杆的角速度与方块的速度2024/2/833理论力学CAI刚体动力学刚体动力学/碰撞/刚体动量与动量矩的变化/解杆定轴转动碰撞分析滑块平动杆角速度碰撞前瞬时碰撞后瞬时滑块速度杆角速度滑块速度冲量分析（杆滑块系统）其他非碰撞力不计铰O约束力冲量重力、摩擦力、滑块的约束力设定正向设定正向设定正向2024/2/834理论力学CAI刚体动力学刚体动力学/碰撞/刚体动量与动量矩的变化/解碰撞前后瞬时铰O约束力冲量系统对点O的动量矩2024/2/835理论力学CAI刚体动力学刚体动力学/碰撞/刚体动量与动量矩的变化/解未知量(2)>方程数(1)附加方程恢复因数定义2024/2/836理论力学CAI刚体动力学刚体动力学/碰撞/刚体动量与动量矩的变化/解（2）杆对滑块的冲量碰撞前瞬时碰撞后瞬时滑块速度滑块速度动量定理的积分形式2024/2/837理论力学CAI刚体动力学刚体动力学/碰撞/刚体动量与动量矩的变化/解1．如图所示，滑块与杆AB铰接，静止放在光滑的水平面上。小球D以垂直于杆的速度v与杆AB的端点B发生碰撞。恢复因数为e=0.5。滑块与杆AB的质量均为m，小球D的质量为2m。求：（1）碰撞后滑块A的速度和杆AB的角速度。（2）A处的约束冲量。vABD2024/2/838理论力学CAI刚体动力学刚体动力学/碰撞/刚体动量与动量矩的变化/解1．如图所示，滑块与杆AB铰接，静止放在光滑的水平面上。小球D以垂直于杆的速度v与杆AB的端点B发生碰撞。恢复因数为e=0.5。滑块与杆AB的质量均为m，小球D的质量为2m。求：（1）碰撞后滑块A的速度和杆AB的角速度。（2）A处的约束冲量。vABD碰撞后瞬时滑块速度解：速度分析碰撞前瞬时滑块速度杆的角速度小球速度假定正向杆的角速度假定正向小球速度假定正向还需分析碰撞前后AB杆质心和碰撞点B的速度碰撞前碰撞后2024/2/839理论力学CAI刚体动力学刚体动力学/碰撞/刚体动量与动量矩的变化/解碰撞后瞬时速度分析碰撞前瞬时冲量分析A处铰链B处碰撞2024/2/840理论力学CAI刚体动力学刚体动力学/碰撞/刚体动量与动量矩的变化/解碰撞后瞬时速度分析碰撞前瞬时未知量2024/2/841理论力学CAI刚体动力学刚体动力学/碰撞/刚体动量与动量矩的变化/例[例]质量为m，长为l的两均质杆OA与AB，以铰A相连，一端O由铰链与机座相连现在杆AB的质心C2作用一水平冲量I求撞击后两杆的角速度与C2的速度2024/2/842理论力学CAI刚体动力学刚体动力学/碰撞/刚体动量与动量矩的变化/解[解]惯性基以OA为对象定轴转动运动分析铰O与A理想约束力冲量冲量分析设定正向对点O的动量矩定理的积分形式2024/2/843理论力学CAI刚体动力学刚体动力学/碰撞/刚体动量与动量矩的变化/解以AB为对象平面一般运动运动分析铰A理想约束力冲量冲量分析设定正向对点C的动量矩定理的积分形式动量定理的积分形式2024/2/844理论力学CAI刚体动力学刚体动力学/碰撞/刚体动量与动量矩的变化/解未知量(4)>方程数(3)附加方程速度约束条件对于OA对于ABA为共点2024/2/845理论力学CAI刚体动力学刚体动力学/碰撞/刚体动量与动量矩的变化/解，，约束有冲量2024/2/846理论力学CAI刚体动力学刚体动力学/碰撞/刚体动量与动量矩的变化/解长为l的均质杆OA和长为l的均质杆AB用铰链连接，如图所示。杆AB在B端的销子可以在铅垂滑槽内无摩擦滑动。杆OA和AB的质量均为m。初始系统静止。求在杆AO的中点处作用垂直冲量I后，杆OA和AB的角速度。2024/2/8