新教材2023版高中数学第四章概率与统计4.2随机变量4.2.4随机变量的数字特征2课件新人教B版选择性必修第二册

4．2.4随机变量的数字特征(2)新知初探·自主学习课堂探究·素养提升[课标解读]

1.通过具体实例，理解离散型随机变量分布列及其数字特征(方差).2.通过具体实例，了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题.3.通过具体实例，了解超几何分布及其方差，并能解决简单的实际问题．新知初探·自主学习【教材要点】知识点一离散型随机变量的方差与标准差名称定义意义方差一般地，设一个离散型随机变量X所有可能取的值为x1，x2，…，xn，这些值对应的概率是p1，p2，…，pn，则D(X)＝_____________________________________________________，叫做这个离散型随机变量X的方差．离散型随机变量的方差和标准差反映了离散型随机变量取值相对于期望的___________(或说离散程度).标准差

平均波动大小知识点二服从两点分布与二项分布的随机变量的方差(1)若X服从两点分布，则D(X)＝________；(2)若X～B(n，p)，则D(X)＝________．知识点三随机变量的数字特征的性质如果X是一个随机变量，a，b都是任意实数且a≠0，则Y＝aX＋b也是一个随机变量；D(Y)＝a2D(X).p(1－p)np(1－p)【基础自测】1．下列说法正确的有________．(填序号)①离散型随机变量X的期望E(X)反映了X取值的概率的平均值；②离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平；③离散型随机变量X的期望E(X)反映了X取值的波动水平；④离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的波动水平．④解析：①错误．因为离散型随机变量X的期望E(X)反映了X取值的平均水平．②错误．因为离散型随机变量X的方差D(X)反映了随机变量偏离于期望的平均程度．③错误．因为离散型随机变量的方差D(X)反映了X取值的波动水平，而随机变量的期望E(X)反映了X取值的平均水平．④正确．由方差的意义可知．

答案：D解析：随机变量ξ服从两点分布，所以D(ξ)＝(0－m)2×(1－m)＋(1－m)2×m＝m(1－m)．3．已知X的分布列为：则D(X)等于(

)A．0.7 B．0.61C．－0.3 D．0X－101P0.50.30.2答案：B解析：E(X)＝－1×0.5＋0×0.3＋1×0.2＝－0.3，D(X)＝0.5×(－1＋0.3)2＋0.3×(0＋0.3)2＋0.2×(1＋0.3)2＝0.61.

课堂探究·素养提升题型1离散型随机变量的方差的概念及应用例1

(1)从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数，求X的方差．(2)已知X的分布列如表：①计算X的方差；②若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差．X－101Pa

X012P状元随笔(1)先列出随机变量X的分布列，再用定义求出方差即可．(2)利用分布列的性质求出a值，再利用方差公式及性质求解．方法归纳1．定义法求离散型随机变量X的方差的步骤(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值；(2)求X取各个值的概率，写出分布列；(3)根据分布列，由期望的定义求出E(X)；(4)根据公式计算方差．2．性质法求离散型随机变量X的方差应用公式：D(aX＋b)＝a2D(X)求离散型随机变量X的方差，既避免了求随机变量Y＝aX＋b的分布列，又避免了涉及大数的计算，从而简化了计算过程．跟踪训练1

设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次抽取一个，并且取出不再放回，若以X和Y分别表示取出次品和正品的个数．(1)求X的分布列、均值及方差；(2)求Y的分布列、均值及方差．

X012P

Y123P题型2两点分布与二项分布的数学方差例2

某厂一批产品的合格率是98%.(1)计算从中抽取一件产品为正品的数量的方差；(2)从中有放回地随机抽取10件产品，计算抽出的10件产品中正品数的方差及标准差．

状元随笔(1)利用两点分布求解．(2)利用二项分布的数学期望、方差公式求解．方法归纳1．常见的两种分布的均值与方差设p为一次试验中成功的概率，q＝1－p则(1)两点分布E(X)＝p；D(X)＝pq(2)二项分布E(X)＝np；D(X)＝npq熟练应用上述公式可大大减少运算量，提高解题速度．2．两点分布与二项分布辨析(1)相同点：一次试验中要么发生要么不发生．(2)不同点：①随机变量的取值不同，两点分布随机变量的取值为0，1，二项分布中随机变量的取值x＝0，1，2，…，n.②试验次数不同，两点分布一般只有一次试验；二项分布则进行n次试验．

0.166

题型3方差的综合应用【思考探究】

1．A，B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表：A机床B机床试求E(X1)，E(X2).[提示]

E(X1)＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44.E(X2)＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44.次品数X10123P0.70.20.060.04次品数X20123P0.80.060.040.102．在1中，由E(X1)和E(X2)的值能比较两台机床的产品质量吗？为什么？[提示]

不能．因为E(X1)＝E(X2).3．在1中，试想利用什么指标可以比较A，B两台机床加工质量？[提示]

利用样本的方差．方差越小，加工的质量越稳定．例3

甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2.(1)求ξ，η的分布列；(2)求ξ，η的数学期望与方差，并以此比较甲、乙的射击技术．解析：(1)由题意得：0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1.因为乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2，所以乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.所以ξ，η的分布列分别为ξ10987P0.50.30.10.1η10987P0.30.30.20.2(2)由(1)得：E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2；E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7；D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96；D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.由于E(ξ)>E(η)，D(ξ)<D(η)，说明甲射击的环数的均值比乙高，且成绩比较稳定，所以甲比乙的射击技术好．状元随笔(1)由分布列的性质先求出a和乙射中7环的概率，再列出ξ，η的分布列．(2)要比较甲、乙两射手的射击水平，需先比较两射手击中环数的数学期望，然后再看其方差值．方法归纳利用均值和方差的意义分析解决实际问题的步骤1．比较均值．离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高．2．在均值相等的情况下计算方差．方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定．3．下结论．依据方差的几何意义做出结论．跟踪训练3

甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等．两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为：甲保护区：乙保护区：试评定这两个保护区的管理水平．X0123P0.30.30.20.2Y012P0.10.50.4解析：甲保护区的违规次数X的数学期望和方差分别为：E(X)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3；D(X)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21.乙保护区的违规次数Y的数学期望和方差分别为：E(Y)