新教材2023版高中数学第七章随机变量及其分布7.3离散型随机变量的数字特征7.3.2离散型随机变量的方差课件新人教A版选择性必修第三册

7.3.2离散型随机变量的方差新知初探·课前预习题型探究·课堂解透课标解读1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差、标准差的概念和意义．2．会求离散型随机变量的方差、标准差．3．会利用离散型随机变量的方差、标准差解决一些实际问题．新知初探·课前预习教

材

要

点要点一离散型随机变量的方差、标准差设离散型随机变量X的分布列为我们称D(X)＝____________________________________________＝_______________为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称________为随机变量X的标准差，记为σ(X)❶.Xx1x2…xnPp1p2…pn(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2·p2＋…＋(xn－E(X))2pn

要点二离散型随机变量方差的性质❷设a，b，c为常数，则(1)D(X＋b)＝________；(2)D(aX)＝________；(3)D(aX＋b)＝________．D(X)a2D(X)a2D(X)助

学

批

注批注❶随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度．方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散．批注❷与均值的区别：离散型随机变量X乘以一个常数a，其均值变为原均值的a倍，方差变为原方差的a2倍．夯

实

双

基1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．(

)(2)若a是常数，则D(a)＝0.(

)(3)随机变量的方差即为总体方差，不随抽样样本的不同而不同．(

)(4)标准差与随机变量本身有相同的单位．(

)×√√√

X－101P答案：D

答案：C

4．有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量ξ1，ξ2，已知E(ξ1)＝E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)，则自动包装机________的质量较好．乙解析：均值仅体现了随机变量取值的平均大小，如果两个随机变量的均值相等，还要看随机变量的取值如何在均值的周围变化，方差大说明随机变量取值较分散，方差小说明取值较集中，由题意，可得乙的质量较好．题型探究·课堂解透题型1方差的性质及应用例1

[2022·福建龙岩高二期末]已知随机变量X的分布列如下：则D(3X＋2)的值为(

)A．2B．6C．8

D．18X236Pa答案：D

方法归纳对于变量间存在关系的方差，在求解过程中应注意性质的应用，如D(aξ＋b)＝a2D(ξ)．这样处理既避免了求随机变量η＝aξ＋b的分布列，又避免了繁杂的计算，简化了计算过程．巩固训练1

[2022·山东菏泽高二期末](多选)设离散型随机变量X的分布列为若离散型随机变量Y满足：Y＝2X＋1，则下列结论正确的有(

)A．E(X)＝2B．E(Y)＝4C．D(X)＝1.8

D．D(Y)＝3.6X01234Pq0.40.10.20.2答案：AC解析：由分布列知：q＝0.1，E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，A正确；E(Y)＝E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝5，B不正确；对于C，D(X)＝0.1×22＋0.4×12＋0.1×02＋0.2×12＋0.2×22＝1.8，C正确；对于D，D(Y)＝D(2X＋1)＝4D(X)＝7.2，D不正确．故选AC.题型2求离散型随机变量的方差例2

[2022·广东佛山高二期末]今年3月份以来，随着疫情在深圳、上海等地爆发，国内消费受到影响，为了促进消费回暖，全国超过19个省份都派发了消费券，合计金额高达50亿元．通过发放消费券的形式，可以有效补贴中低收入阶层，带动消费，从而增加企业生产产能，最终拉动经济增长，除此之外，消费券还能在假期留住本市居民，减少节日期间在各个城市之间的往来，客观上能够达到降低传播新冠疫情的效果，佛山市某单位响应政策号召，组织本单位员工参加抽奖得消费优惠券活动，抽奖规则是：从装有质地均匀、大小相同的2个黄球、3个红球的箱子中随机摸出2个球，若恰有1个红球可获得20元优惠券，2个都是红球可获得50元优惠券，其它情况无优惠券，则在一次抽奖中：(1)求摸出2个红球的概率；(2)设获得优惠券金额为X，求X的方差．

方法归纳求离散型随机变量X的方差的一般步骤

答案：B

题型3方差的实际应用例3

[2022·河北张家口高二期末]已知投资甲、乙两个项目的利润率分别为随机变量X1和X2.经统计分析，X1和X2的分布列分别为表1：表2：X10.30.180.1P0.20.50.3X20.250.15P0.20.8

解析：(1)由题意，得E(X1)＝0.3×0.2＋0.18×0.5＋0.1×0.3＝0.18，D(X1)＝(0.3－0.18)2×0.2＋(0.18－0.18)2×0.5＋(0.1－0.18)2×0.3＝0.0048，E(X2)＝0.25×0.2＋0.15×0.8＝0.17，D(X2)＝(0.25－0.17)2×0.2＋(0.15－0.17)2×0.8＝0.0016，由E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)，又Y1＝100X1，Y2＝100X2，得E(Y1)＝100×0.18＝18，D(Y1)＝1002×0.0048＝48，E(Y2)＝100×0.17＝17，D(Y2)＝1002×0.0016＝16，因此投资甲的平均利润18万元大于投资乙的平均利润17万元，但投资甲的方差48也远大于投资乙的方差16.所以投资甲的平均利润大，方差也大，相对不稳定，而投资乙的平均利润小，方差也小，相对稳定．若长期投资可选择投资甲，若短期投资可选投资乙．

方法归纳在实际决策问题中，一般先计算均值，比较随机变量平均水平的高低，再计算方差，比较随机变量取值的稳定性．巩固训练3

[2022·重庆万州高二期中]为选拔奥运会射击选手，对甲、乙两名射手进行选拔测试．已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分分别为两个相互独立的随机变量ξ，η，甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，a，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2.(1)求ξ，η的分布列；(2)求ξ，η的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术并从中选拔一人．解析：(1)依据题意知，0.5＋3a＋a＋a＝1，解得a＝0.1.因为乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2，所以乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.所以ξ，η的分布列分别为ξ10987P0.50.30.10.1η10987P0.30.30.20.2(2)结合(1)中ξ，η的分布列，可得：E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2，E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7，D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.