新教材2023版高中数学第六章导数及其应用6.2利用导数研究函数的性质6.2.2导数与函数的极值最值第3课时导数与函数的极值最值综合问题课件新人教B版选择性必修第三册

第3课时导数与函数的极值、最值综合问题1.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；2．能利用导数求某些函数的极大值、极小值．新知初探·自主学习课堂探究·素养提升新知初探·自主学习教

材

要

点知识点利用导数研究函数的零点或方程根的方法是借助于导数研究函数的单调性，极值(最值)，通过极值或最值的正负、函数的单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数或者通过零点的个数求参数范围．

答案：A2．已知函数f(x)＝(x2＋a)ex有最小值，则函数y＝f′(x)的零点个数为(

)A．0B．1

C．2D．不确定解析：由题意得，f′(x)＝(x2＋2x＋a)ex，因为函数f(x)有最小值，且当x→－∞时，f(x)→0，当x→＋∞时，f(x)→＋∞，所以函数存在减区间，即f′(x)<0有解，所以x2＋2x＋a＝0有两个不相等的实根，所以函数y＝f′(x)的零点个数为2.答案：C

答案：B4．直线y＝a与函数y＝x3－3x的图象有三个相异的交点，则a的取值范围是________．解析：令y＝f(x)＝x3－3x，则f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1.因为当x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f′(x)>0，当x∈(－1，1)时，f′(x)<0，所以f(x)极小值＝f(1)＝－2，f(x)极大值＝f(－1)＝2.函数f(x)＝x3－3x的大致图象如图所示，所以－2<a<2.(－2，2)课堂探究·素养提升

利用导数解决函数的零点或方程的根问题例1

给定函数f(x)＝ex－x.(1)判断函数f(x)的单调性，并求出f(x)的值域；【解析】

(1)函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝ex－1，令f′(x)＝0，解得x＝0.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示：所以f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增．当x＝0时，f(x)的极小值f(0)＝1，也是最小值，故函数f(x)的值域为[1，＋∞).(2)画出函数f(x)的大致图象；

(3)求出方程f(x)＝m(m∈R)在区间[－1，2]上的根的个数．

方法归纳判断零点的个数问题的思路(1)求出函数的定义域．(2)求导数f′(x)及函数f′(x)的零点．(3)用f′(x)的零点将函数f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各个区间上的正负，并得出f(x)的单调性与极值．(4)确定f(x)的图象经过一些特殊点，根据零点存在性定理分析图象的变化趋势．(5)画出f(x)的大致图象．

(2)当a≤1时，求函数f(x)在区间(0，e]上零点的个数．

由函数的零点个数求参数的范围例2

已知函数f(x)＝x3－kx＋k2.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有三个零点，求k的取值范围．方法归纳利用导数研究函数的零点或方程根的方法是借助于导数研究函数的单调性、极值(最值)，通过极值或最值的正负、函数的单调性以及零点存在性定理判断函数图象走势，从而判断零点个数或者通过零点的个数求参数范围．跟踪训练2

已知函数f(x)＝ex－a(x＋2)，(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；解析：(1)f(x)的定义域为R.当a＝1时，f(x)＝ex－(x＋2)，f′(x)＝ex－1，令f′(x)<0，解得x<0，令f′(x)>0，解得x>0，所以f(x)在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数．~(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．(2)f′(x)＝ex－a.①当a≤0时，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．故f(x)至多存在一个零点，不符合题意．②当a>0时，由f′(x)＝0，可得x＝lna.当x∈(－∞，lna)时，f′(x)<0；当x∈(lna，＋∞)时，f′(x)>0.所以f(x)在(－∞，lna)上是减函数，在(lna，＋∞)上是增函数．故当x＝lna时，f(x)取得最小值，最小值为f(lna)＝－a(1＋lna).

二次求导问题例3

已知函数f(x)＝ex－ax.(a∈R)(1)求函数f(x)的单调区间；【解析】

(1)f′(x)＝ex－a，当a≤0时，f′(x)≥0恒成立，所以f(x)在R上单调递增，当a＞0时，令f′(x)＝0，解得x＝lna.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表：

所以a＞0时，f(x)在(－∞，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增．(2)若a＝3，证明：当x＞0时，f(x)＞x2－3x＋1恒成立．解析：证明：令g(x)＝f(x)－(x2－3x＋1)＝ex－x2－1，则g′(x)＝ex－2x.令h(x)＝ex－2x，则h′(x)＝ex－2，当0＜x＜ln2时，h′(x)＜0，h(x)单调递减，当x＞ln2时，h′(x)＞

0，h(x)单调递增；所以h(x)≥h(ln2)＝eln2－2ln2＝2－2ln2＞0，即g′(x)＞0恒成立．所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，所以g(x)＞g(0)＝1－0－1＝0，所以ex－x2－1＞0，即当x＞0时，f(x)＞x2－3x＋1恒成立．~方法归纳解决此系列问题的步骤：(1)求定义域且求导；(2)要判断f′(x)的符号，只需要判断优化后的函数的符号但不确定；(3)构造函数，二次求导，直接判断导函数的符号．跟踪训练3

已知函数f(x)＝excosx－x.(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；解析：因为f(x)＝excosx－x，所以f′(x)＝ex(cosx－sinx)－1，f′(0)＝0.又因为f(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.~

方法归纳