新教材2023版高中数学第二章平面解析几何2.2直线及其方程2.2.1直线的倾斜角与斜率课件新人教B版选择性必修第一册

2．2.1直线的倾斜角与斜率[课标解读]

1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式．新知初探·自主学习课堂探究·素养提升新知初探·自主学习教材要点知识点一直线的倾斜角1．倾斜角的定义(1)当直线l与x轴相交时，将x轴绕着他们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为θ，称角θ叫做直线l的倾斜角．(2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为________．2．倾斜角的范围直线的倾斜角θ的取值范围为__________．3．确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个________及它的________．0°0°≤θ<180°定点倾斜角知识点二直线的斜率及斜率公式1．斜率的定义一条直线的倾斜角θ(θ≠90°)的________值叫做这条直线的斜率．常用小写字母k表示，即k＝________．正切tanθ状元随笔直线的斜率与倾斜角是一一对应吗？不是，当倾斜角为90°时，直线的斜率不存在．2．斜率公式经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝________．当x1＝x2时，直线P1P2斜率不存在．3．斜率的几何意义用实数反映了平面直角坐标系内的直线相对于x轴正方向的________．

倾斜程度

90°2．直线的法向量一般地，如果表示非零向量v的有向线段所在直线与直线l垂直，则称向量v为直线l的一个法向量，记作v⊥l.不难看出，一条直线的方向向量与法向量互相垂直．基础自测1．如图所示，直线l的倾斜角为(

)A.30°B．60°C．120°D．以上都不对答案：C解析：根据倾斜角的定义知，直线l的倾斜角为30°＋90°＝120°.

答案：B

3．斜率不存在的直线一定是(

)A．过原点的直线

B．垂直于x轴的直线C．垂直于y轴的直线D．垂直于坐标轴的直线答案：B解析：只有直线垂直于x轴时，其倾斜角为90°，斜率不存在．4．已知直线l经过两点P(1，2)，Q(－2，1)，那么直线l的一个方向向量为______________________；一个法向量为________________；斜率为________．(－3，－1)(答案不唯一)(－1，3)(答案不唯一)

课堂探究·素养提升题型1直线的倾斜角例1

设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为(

)A.α＋45°B．α－135°C．135°－αD．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾角为α－135°答案：D解析：根据题意，画出图形，如图所示：因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知：当0°≤α<135°，l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.故选D.方法归纳求直线的倾斜角的方法及两点注意1．方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．2．两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°.②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°.跟踪训练1一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为(

)A．α

B．180°－αC．180°－α或90°－αD．90°＋α或90°－α答案：D解析：如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α.故选D.

C

－2

答案：C

答案：A

题型3直线的斜率、方向向量、法向量及应用例3

已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点．(1)求直线l的斜率k的取值范围；(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．

状元随笔作图，让直线与线段有公共点，可得倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，进一步获得斜率取值范围．例4

若三点A(2，－3)，B(4，3)，C(5，k)在同一条直线上，则实数k＝________．

答案：6状元随笔利用AB和AC的斜率相等，或利用三点共线的充要条件．方法归纳1．求直线斜率的取值范围时，通常先结合图形找出倾斜角的范围，再得到斜率的范围．2．利用斜率可解决点共线问题，点A，B，C共线⇔kAB＝kAC或kAB与kAC都不存在．3．涉及直线与线段有交点问题，常通过数形结合，利用斜率公式求解．跟踪训练3

(1)若三点A(3，1)，B(－2，b)，C(8，11)在同一直线上，则实数