王矜奉固体物理习题

晶体的结构

习题

1.以刚性原子球堆积模型，计算以下各结构的致密度分别为:

(1)简立方，—;(2)体心立方，—

68

(3)面心立方，——肛(4)六角密积，——

66

(5)金刚石结构，

16

［解答］

设想晶体是由刚性原子球堆积而成，一个晶胞中刚性原子球占据的体积与晶胞体

积的比值称为结构的致密度，

设n为一个晶胞中的刚性原子球数/表示刚性原子球半径，「表示晶胞体

43

nm”

积，则致密度夕=J—

(1)对简立方晶体，任一个原子有6个最近邻，若原子以刚性球堆积,

如图1.2所示，中心在1,2,3,4处的原子球将依次相切，因为

车＞a-4r,y-cc",

面1.2简立方晶胞

晶胞内包含1个原子，所以

一切(打7t

36

(2)对体心立方晶体，任一个原子有8个最近邻，若原子刚性球堆积，如

图1.3所示，体心位置。的原子8个角顶位置的原子球相切，因为晶胞空间对角

线的长度为石。=4r,尸=，,晶胞内包含2个原子，所以

图1.3体心立方晶胞

(3)对面心立方晶体，任一个原子有12个最近邻，若原子以刚性球堆积，

如图1.4所示，中心位于角顶的原子与相邻的3个面心原子球相切，因为

缶=",/=〃，1个晶胞内包含4个原子，所以

4学南3

图1.4面心立方晶胞

(4)对六角密积结构，任一个原子有12个最近邻，若原子以刚性球堆积，

如图1。5所示，中心在1的原子与中心在2,3,4的原子相切，中心在5的原

子与中心在6,7,8的原子相切，

图1.5六角晶胞图1.6正四面体

晶胞内的原子。与中心在1,3,4,5,7,8处的原子相切，即。点与中心

在5,7,8处的原子分布在正四面体的四个顶上，因为四面体的高

。=舟=2舟=]

晶胞体积V=ca~sin60--——ca~

2

一个晶胞内包含两个原子，所以

2*洌疗-交-

P=

4ca26

(5)对金刚石结构，任一个原子有4个最近邻，若原子以刚性球堆积，如

图1.7所示，中心在空间对角线四分之一处的0原子与中心在1,2,3,4处的

原子相切，因为V3o=8r,

晶胞体积V-a3

图1.7金刚石结构

一个晶胞内包含8个原子，所以

8*打(?方岳

片一目一二记

2.在立方晶胞中，画出(102),(021),(122),和(210)晶面。

［解答］

图1.8中虚线标出的面即是所求的晶面。

3.如图1.9所不，在六角晶系中，晶面指数常用Qhkml)表示，它们代表

一个晶面在基矢的截距分别为红，丝，”,在C轴上的截距为-

hkmI

证明：力+左=-愣求出O'A,A3,AlA3BiBi,A2B2B5A5和4出人四个面的面

指数。

图L9六角晶胞对称画法

［解答］

设d是晶面族（如断/）的面间距，n是晶面族的单位法矢量，晶面族（麻加）

中最靠近原点的晶面在a轴上的截距分别为a,/h,a2/k,a3/m,c/l所

以有

ax,n=hd,

a2'n=kd,

a3,n=md.

因为

%=~(a2+%)，

所以

a3'n--(%+%)•〃o

由上式得到

md=-(hd+kd).

即

m--(A+k),

由图可得到：(744晶面的面指数为(1121)

一面的面指数为(u5o)

A2B2B5A5晶面的面指数为(1100)

晶面的面指数为(oooi)

4.设某一晶面族的面间距为d,三个基矢与,由,生的末端分别落在离原点的距

离为〃的晶面上，试用反证法证明：是互质的。

［解答］

设该晶面族的单位法量为4,%,%由已知条件可得

Q］•〃=h］d,a2♦n=h2d.=h3d,

假定厢外，均不是互质数，且公约数pwl即

瓦=pk［，h=P%2，〃3=P%3

勺,&，&是互质的整数，则有

n

%•〃=pkxd,a2,n=pZ2dM3'=pk3d

今取离原点最近的晶面上的一个格点，该格点的位置矢量为

r=/1（7|+/2a2+/3Q3，

由于心定是整数，而且

r'n=d=/臼♦n+l2a2'n+13a3,〃

于是得到

pkj\+pk2l2+pk3l3-1

由上式可得

k［h+kJ］+左3/3=—

P

上式左端是整数，右端是分数，显然是不成立的。矛盾的产生是p为不等

于1的整数的假定。也就是说，P只能等于1,即4,〃2,〃3一定是互质数。

5.证明在立方晶体中，晶列［加7］与晶面（筋/）正交，并求晶面（〃//）与

晶面（色宠2/2）的夹角。

［解答］

设d是为晶面族（温/）的面间距，n为法向单位矢量，根据晶面族的定

义，晶面族（阳）将侬,c分别截为|闱闱等份，即

=acos（a,n）=hdf

b・n=bcos（b,n）=kd,

c・〃=ccos（cM=/d

于是有

n=h—i+k—j+l—k

aaa

=4（次+灯+傀）

a

其中,ij盘分别为平行于a,4c三个坐标轴的单位矢量，而晶列[泯/]

的方向矢量为

R=hai+kqj+lak=。俏i+夕+lk）

由（1）,（2）两式得

a

即〃与R平行，因此晶歹U[〃左/]与晶面（碗/）正交。

对于立方晶系，晶面（////）与晶面（力2人2,2）的夹角，就是晶列

R[=〃/+%]办+/]C

与晶列

R2=h2a+k2b+l2c

的夹角，设晶面（力向人）与晶面（为&乙）的夹角为（P由

7?j-/?2=|7?1||7?2|COS^=J/?」+%；+/；J后+、；+/32cos。

2

=卜\卜2/+k、k2a2+/1/2<7

得

-1（。1〃2+k[k]+1"2,

夕=COS{/]4_].JJ/}

J（〃:+后+/：）（〃；+抬+/；

6.如图1.10所示，B,C两点是面心立方晶胞上的两面心。

（1）求ABC面的密勒指数；

（2）求AC晶列的指数，并求相应原胞坐标系中的指数。

图1.10面心立方晶胞

[解答]

(1)矢量球与矢量的叉乘即是ABC面的法矢量

---11

BA=OA-OB=(a+6)——(b+c)-—(2a+b-c),

---111

BC-OC-OB=[c+—(47+6)]--(A+c)=—((7+c),

-11a

BAxBC--(2a+6-c)x—(a+c)=—(a-36-c).

因为对立方晶系，晶歹U[跟”与晶面族(尿/)正交，所以ABC面的密勒指数为

(131).

一一一11

(2)AC=OC-OA=[c+—(6F+/?)]-(tz+6)=--(a+h-2c).

可见AC与晶列(a+b-2c)平行，因此AC晶列的晶列指数为[112].

由《固体物理教程》(1・3)式可得面心立言结构晶胞基矢与原胞基矢的关系

a=—a]+a2+%，

b=Q]-%+%，

c=q+Q2一?

晶列(a+b-2c)可化为(a+b-2c)=-2(q+出一2%)

由上式可知，AC晶列在原胞坐标系中的指数为[112]

7.试证面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。

[解答]

设与晶轴a/,c平行的单位矢量分别为面心立方正格子的原胞基矢可取为

a.7、

a\=5。z+%)，

a2=万(左+/),

%=5々+，)・

由倒格矢公式

2^r[<7x6r]27r[a,xa]27r[a,xa]

b=-----9---3-也=---------]，/=--------2-

]Q2Q…Q

可得其倒格矢为

277

b=­(i-j+k),

2a

&=—(,i+j-k).

a

设与晶轴a,b,c平行的单位矢量分别为ij,k，体心立方正格子的原胞基矢可取为

%=；(-/+j+k),

a2=-j+k),

%=；(，+/一左).

以上三式与面心立方的倒格基矢相比较，两者只相差一常数公因子,这说明面

心立方的倒格子是体心立方。

将体心立方正格子原胞基矢代入倒格矢公式

^2^

1Q2Q，3Q

则得其倒格子基矢为

b^—(i+k),

a

.2乃.,.、

b2——(k+z),

a

2万

&="(，+/).

可见体心立方的倒格子是面心立方。

8.六角晶胞的基矢

_V3.a.

U-----UIH----

22

,也.a.

b=------ai+—i,

22

C=ck

求其倒格基矢。

［解答］

晶胞体积为Cl=a-[hxc]

=ai+；j),程ai+3j)又(ck)]

=&c.

2

其倒格矢为

*27r［bxc］

a=-------------

Q

=24（--j出+：/）x（以：）］XJ2

22J342c

2兀4..、

=一（-J+J）-

a3

7*2TT［Cxa］

Q

=2万［（。4）x£ai+彳；）］x-■

22J342c

2%/VJ.

="（-丁+./）.

,_2万［ax6］

’-—Q-

cV3.a^3.a2

=2TT［（—ai4—/）x（----aiH—7）］x—=^——

22〃22',限%

2万

=——k

9.证明以下结构晶面族的面间距：

（1）立方晶系:九=。/+左2+/2产，

⑵正交晶系:九=［（与+d）2+（'）20

abc

⑶六角晶系:九=白〃2+£+/）+（勺产

3ac

（4）简单单斜加=［一（*4-吆吗+齿之

sin-pacacb

［解答］

（l）设沿立方晶系轴a,b,c的单位矢量分别为ij#,则正格子基矢为

a-ai,b-hj,c-ak,

图1.11立方晶胞

倒格子晶矢为

*2zr.乙*21«27r.

u=—z,b=—j,c=—k.

aaa

与晶面族（加力正交的倒格为

Khkt=ha+kb*+lc.

由晶面间距dhkl与倒格矢Khtl的关系式

24

dhki

得，

a

dhki

J/+k2+/2

（2）对于正交晶系，晶胞基矢。，"c相互垂直，但晶格常数awbwc.设沿晶轴

48c的单位矢量分别为“，左则正格子基矢为

a=ai,b=bj,c-ck.

图L12正交晶胞倒

倒格子基矢为

♦27c..*24.*27r.

u=—z,b=—]>c=—k.

abc

与晶面族（秘/）正交的倒格为

K=ha*+kb*+lc\

由晶面间距dhk,与倒格矢K网的关系式

得

九=[3+针+（，）2户

abc

（2）对于六角晶系，a=bHc,a=，=9（r,y=12（r,晶面族（hkl）的面间距

_2%_2乃_2%

KM\ha'+kb*+lc*\低*+妨*+/“

也即

工=工田2。*2+k2b*2+l2c*2+2hk(a-b^+2kl(b*-c*)+2/z/(a*•(?*)].

加4/r

由图1.13可得六角晶胞的体积

Q=c-a(axb)=a2csiny=6/2csinl20°=—^a^c.

倒格基矢的模

*,*।*|c\bxc\2mcsma44

0"小卜2%丁=阵嬴=后

*।*|c（a义b）2如2sin/2万

C=卜|=2"厂=破赤二•

倒格基矢的点积

”=箓[("。)，(。、4)]=箓{°.[公伍xc)]}

=箓[9，c^c-a)-(b-a\c-c)]

4万2。2c2\8万2

="————(cosacosp-cosy)-.

其中利用了矢量混合的循环关系

/•(B.C)=8・(C./)=C«x8)

及关系式

/x(8xC)=8(4.C)-C(J-B)

因为（ox。矢量平行于c所以

a"-c-曹2[(Z>xc).(ax/>)]=0,

b*-c*=[(cxa)■(ox/,)]=0.

将以上诸式代入(1)式得

/_4(//2+k2+hk)I2

hk，2=方+/，

即

加=弓(匕与型)+(3产

3ac

(4)单斜晶系晶胞基矢长度及晶胞基矢间的夹角分别满足“Kbwc和

a=y=90°,£工90°晶胞体积

Q=6•(cxa)=abcsin0

由

_17i\bxc]

Q

公处回

Q

c*_2〃[axb]

Q

得其倒格子基矢长度

27rhc2"

Q*=*|二

abcsin/3asm/3

及

"叩I号

24

c*=|c*|=

ocsin/3

倒格基矢间的点积

442

((7xZ>)-(Z?xc)

7F

=箓K",刈和c)—(a.c)(6.b)]

_442加c(cosacosy-cos夕)

abcsin20

因为（cxa）矢量平行于6所以

4万2

a*・b*=——[(/?xc)•(cx67)]=0

71

b*，c*=^r[(cxa).(ax/>)]

将以上诸式代入

1=，。2。*2+k2b*2+12C2*+2hk(a'a-b*)+2kl(b*-c^+lhlia*-c*)

djki

得到

1h2k22/?/cos[5

~~~7---1---T+

crsin-pb'c2sin2J3acsin2p

1(h2l22万八k2

2

sin7?(Q2+—+——+—2

cac?h

2-1/2

1h2I22〃/cos/)k

即dhkl+F

sin20尸/一acJ

10.求晶格常数为a的面心立方和体立方晶体晶面族仇外外）的面间距

［解答］

面心立方正格子的原胞基矢为

ai=^C/+左）

%="1（%+，）

%=£（，+/）

由

b2万[。2X]624[白3X4』627[qX口2]

1=Q，2=Q，3=

可得其倒格基矢为

-"(―/+/+左)，

a

与=红Q一j+k),

a

%--0+j-k),

a

倒格矢

Kh=hh4-h2b2+h3b3.

根据《固体物理教程》（1。16）式

,_2万

人也K

得面心立方晶体面族伉〃24）的面间距

,_2%

a帅必一天一

2

[(-ht+h2+h3)'+(/?,-h2+h3)+(4+〃2-%丫]

体心立方正格子原胞基矢可取为

="，+/+左)

=1(/-.7+^)

a2

%=.(i+—)

其倒格子基矢为

仇=—(J+k)

a

b=—(k+z)

2a

,2)A

b3=——Q+i)

a

则晶面族,也〃3)的面间距为

/_24_a

…N=……）十

n.试找出体心立方和面心立方结构中，格点最密的面和最密的线。

［解答］

由上题可知，体心立方晶系原胞坐标系中的晶面族仇外〃③）的面间距

d=

M+♦）2+依+/）:+（4+力2）2

可以看出，面间距最大的晶面族就是｛001｝,将该晶面指数代入《固体物理教程》

（1.32）式，得到该晶面族对应的密勒指数为｛110｝面间距最大的晶面上的格点

最密，所以密勒指数｛110｝晶面族是格点最密的面，格点最密的线一定分布在

格点最密的面上，由图1.14虚线标出的（110）晶面容易算出，最密的线上格点的

周期为

图1.14体心立方晶胞

Md

由上题还知，面心立方晶系原胞坐标系中的晶面族仇〃2刈）的面间距

明曲=

J（一%%+%）"+（%2+%3丫+仇+力23）一

可以看出，面间距最大的晶面族是｛111｝。由本章第15题可知，对于面心立方晶

体，晶面指数（力也〃3）与晶面指数（必/）的转换关系为

回）4｛（.%+%+为油-〃2+〃3脑+〃-3）｝，

将晶面指数｛111｝代入上式，得到该晶面族对应的密勒指数也为｛111｝.面间距最

大晶面上的格点最密，所以密勒指数｛111｝晶面族是格点最密的面,格点最密的线

一定分布在格点最密的面上，由图1.15虚线标出的（111）晶面上的格点容易算出,

最密的线上格点的周期为

图1.15面心立方晶胞

12.证明晶面（〃也用），（〃；〃；"）及G；〃㈤）属于同一晶带的条件

九〃2h

h2耳=0

h；A

［解答］

设原胞坐标系中的倒格子基矢为仇也也，则晶面（他也），（砧2〃;）及（后瓦石）

的倒格矢分别为

Kh=hxbx+h2b2+113b3、

Ktl=h'也+h'2b2+h'3b3,

K/=h'h+h'2b2+h,^b,.

当三个晶面共晶带时，它们的交线相互平行，这些交线都垂直于倒格矢K〃KhKh：

即KhKh.勺.位于同一平面上,于是有

勺•（叫x£j=0

利用正倒格子的关系

2HbixZ>]_2Hb3x4]_2Hbix&]

2得

Q*，2-—rr-

£・xK..=（喇-力流'K*=+（励;一耳及hx4+（耳力；-稔；Nx瓦

Q*力；4A

%M产卬4-

2乃%

式中Q*为倒格原胞体积，于是得到

耳h\

（K耳Az,

h.K,xK,）=h3+h2

+%〃3.“〃；

h〃2“3

h〃2h；.

h卮£

代入⑴式，得

%卜2%

h}h2/=0

h；〃；h；

13.晶面优外的交线与晶列

&=l}a}+l2a2+l3a3,

平行，证明

”2〃3/_〃3h\,_h\h

h

〃；"’2=A2

［解答］

与晶面（%h2h3\（九力2耳）垂直的倒格矢分别为

Kh=她+她2+〃3b3,

K,,=h；K+h'2b2+4蜀

晶面的交线应同时与Kh和K,垂直，即与K.xK.平行，而

4〃2〃3

:ax仇+bx/>+"b、x。

/x/=23

小2力;%%1

。*九4

2万h\十+〃；%

式中Q*=6］他X〃J为倒格原胞体积，4”。2M3为正格原胞基矢

已知晶面（九〃2%3）,（〃/；〃；）的交线与晶列&=h%+l2a2+l3a3平行，即&和

Kh.xK〃.平行，因此乙4/可取为

=”2〃3/%h\4%

一〃；y2h\h2

14.今有正格矢

〃=/《+ma2+na3,

v=I+加。2+〃生，

w=IaA+m4+〃％.

其中/，加,〃；加，/及/"，加；〃"均为整数，试证〃，匕w可选作基矢的充分条件是

tnmm-±1.

nnn

[解答]

解法一：

固体物理原胞的选取方法有无数种，但它们有•个无同的特点，即它们的体积都相

等，是晶体的最小重复单元。因此〃，匕w可选作基矢的充分条件是，由基矢

W,v,w构成的原胞体积一定等于由基矢/,外，%构成的原胞体积，即

,•(VXwj=%・4X%)=C

将

+“生，

u-la{+ma2

v=Ia]a2+〃

w=Ia1+加。2+力生

代入〃.(vxw)得

w•(vxw)

=u-[(/m-〃z7)(qX6f2)+(tnn-nm^a2x%)+(〃/-In\a2xa3)]

=〃(/加一〃〃卜+/伍/一〃/)Q+〃7(〃7

iir

=mmm£1.

nnn

将上式代入(1)得

//'/"

mmtn-±1.

nnn

解法二：

设为=x〃+yy+zw,当以匕w为基矢时，xj,z应取整数值，将

〃=//+ma2+，

v=/(7)+/%+〃％，

W=/4]+相。2+〃。3•

代入％=xw4-yv+zw得

+yv+zw=(x/+M+zlH+\xm+ym+zm/2+(w+y〃+znh.

xl+yl4-zl=1

由此得方程组xm+ym4-zm=0

xn+yn+zn=0

解方程得

1//

1”

x=-0Mmm

△c，“

0〃〃

1/"

1

y=­m0m

.A

n0n

1

1

z=­mm0

A

nn0

N=mmm

nnn

由于x/,z的表示式中的三分子的行列式的值均为整数，羽y,z为整数，因此

〃，匕VV可选作基矢的充分条件是

mmm=±1

nnn

15.对于面心立方晶体，已知晶面族的密勒指数为（成/）,求对应的原胞坐标中

的面指数（九〃2〃3）若已知伉〃2〃3）求对应的密勒指数（成/）。

［解笠

由《固体物理教程》（1。3）式和（1。4）两式得面心立方晶体原胞坐标系中的

倒格基矢4，&,伉与晶胞坐标系中的倒格基矢。*,6*,c*的关系为

瓦-之"(一j+j+k)=(-a*+b*+c*\

a

b2=二。-/+左)=(，-b*+c]

a

b.=~(z+j-k)=(a*+ZT-c]

a

也即

a*=争=¥瓦+4),

b*=至j=；®+b),

a2

c*=子女=g(4+优)

与晶面族垂直的倒格矢

Khkl=ha+kb*+lc=1[伏+/姒+(/+。»2+伍+人为3]

=gpK帅曲=gp(%b[+h2b2+她),

K贴的与晶面族(”也为)正交，因此，若已知晶面族的密勒指数(〃初则原胞坐标

系中的面指数

(他2久)=[{(左+/乂/+秋〃+左)}

P

其中P是(％+/),(/+〃),优+%)的公约数

同样

K岫的=皿+h2b2+毋3=(-九+〃2+〃3X+依-〃2+〃3»*+(4+〃2-〃3Y

=P,K麻/=p(ha*+kb*+lc')

K的与晶面族(hkl)正交，因此，若已知晶面族的面指数伍也力3)则晶胞坐标

系中的面指数

(硼=_L{(_%+均+4%-饱+小跖+4-均)}，

P

其中P是(一%+色+〃3)，(%-〃2+43)，(〃|+42-名)的公约数。

16.证明不存在5度旋转对称轴。

[解答]

如下面所示，A,B是同一晶列上0格点的两个最近邻格点，

如果绕通过0点并垂直于纸面的转轴顺时针旋转。角，则A格点转到A

点，若此时晶格自身重合，点处原来必定有一格点，如果再绕通过0点的转轴

逆时针旋转6角，则晶格又恢复到未转动时的状态，但逆时针旋转。角，B格

点转到8'处，说明8'处原来必定有一格点，可以把格点看成分布在一族相互

平行的晶列上，由图1.16可知，AB晶列与AB晶列平行.平行的晶

列具有相同的周期，若设该周期为“则有

图1.16晶格的旋转对称性

AB-26t|cos0|-ma,

其中加为整数，由余弦的取值范围可得

jcos^l=y<1.

于是可得

71371

m=0:8=

7i244万54

m-\\0

333T

m=2:0=万,2%.

因为逆时针旋转2,生,2分别等于顺时针旋转工，如，

233233

所以晶格对称转动所允许的独立转角为

2TC7t

——.

323

上面的转角可统一写成

2乃.--,」

—,n—1,2,3,4,6

n

称〃为转轴的度数，由此可知，晶格的周期性不允许有5度旋转对称轴.

17.利用转动对称操作，证明六角晶系介电常数矩阵为

£]]00

£-0£220.

_0043_

[解答]

由《固体物理教程》（1。21）式可知，若A是一旋转对称操作，则晶体的介电

常数£满足£=A'sA.

对六角晶系，绕x（即a）轴旋180°和绕z（即c）轴旋120。都是对称操作,

坐标变换矩阵分别为

_ioo_

Ax=0-10

00-1

22

00

假设六角晶系的介电常数为

则由£=人叽.得

£\\£\2£】3

£22二-41^22

*32/3__一%2533

可见£设二°，£l3=0，/1=°。

00

即£二0£22。

0邑2邑3_

将上式代入£=晨风.得

00

°*22*31

°232*33

6V3

一彳川+722

31

+f

一7"+『227f11722一尹

由上式可得

^23=°，邑2=°，£口-£22

于是得到六角晶系的介电常数

£“00

£=0J］0.

00邑3

18.试证三角晶系的倒格子也属三角晶系，

［解答］

对于三角晶系，其三个基矢量的大小相等。且它们相互间的夹角也相等。即

C

同=.|=同=瓦|=||=|。31=4

a-p-y-6.

利用正倒格子的关系，得

27[生x%]2加2sin。

l^i1=

QQ

2乃[%Xa\]271a2sin。

QQ

x2^72sin。

冈27rM/]

设仇与打的交角为仇2,4与仇的交角为。23，&与友的交角为%则有

b{-b2=b~cos^12

=萼［（%x%AHxaJ］

-«3X«2•%）一（49腐]

-cos。）

由（1）和（2）式得

„COS?e-cos。cosO（l-cos。）-cos。

cos%=.=--------------L=-------

sin-61-cos261+cos。

由b2-b3和打也可得

一cos。

cos0

2i1+cos3

-cos。

cos%=

1+cos6

可见倒格基矢a与灯的交角，&与与的交角也与a的交角都相等，这表明三

个倒格基矢的长度不仅相等，且它们之间的夹角也相等，所以三角晶系的倒格子

也属于三角晶系.

19.讨论六角密积结构，X光衍射消光的条件.

［解答］

图1.17示出了六角密积结构的一个晶胞，一个晶胞包含两个原子，它们的位置

矢量分别是

。=0,

2332

图1.17六角密积晶胞

因为是密积结构，所以原子散射因子＜=/,=/.将上述结果代入几何因子

F=2,+/吗）

>1

（胸/）晶面族引起的衍射光的总强度

I0C

=/2+/2+2/2cosn^\-h+-k+l

（33

2f<1+cos++/J>.

由上式知，只有当

〃乃(g/z+'l%+/)=奇数，

时，才出现衍射消光.现将h,k,l的取值范围讨论如下：

(a)当〃为奇数时，若/为偶数，则〃/也为偶数，为保证

“万(g〃+g左+/)=奇数，

成立，须有

［左］=奇数，

由此知

2〃(2/?+左)=3、奇数=奇数.

但由于h,k为整数，上式左端是偶数，右端是奇数，显然是不成立的，矛盾的

产生是/为偶数的条件导致的，所以1不能为偶数，而只能为奇数，因而

"万+|'左)=偶数

即24+左=±x整数=整

n

(b)当n为偶数时，由

〃万+g左+/)=奇数

得〃(4〃+2左+3/)=3乂奇数=奇数

上式左端是偶数，右端是奇数，显然也不成立，矛盾的产生是n为偶数的条

件导致的，所以n不能为偶数，

由上述讨论可知，衍射消光条件为

n-奇数

/=奇数

T.

2。+左=±x整数(=整数)

H

20.用波长为1.5405A的X光对铝金属粉末作衍射分析，测得布拉格角大

小为序的五条衍射线，见表1-1

序号12345

。(。)19.61128.13635.15641.15647.769

已知但金属为体心结构，求

(1)衍射晶面族的晶面指数；

(2)晶格常数。

［解答］

(1)对于立方晶体，晶面族(hkl)的面间距

九，病

布拉格反射公式

2九sin0=nA

相应化为

sin^=—+(〃%)2+(〃/)2.

2a

可见sin，与衍射面指数的平方和的开根成正比，由已知条件可知

sinl9.6ir:sin28.136°:sin35.156°:sin41.156°:sin47.769°

=1:1.405:1.7156:1.9608:2.2061.

对于体心立方晶系，衍射面指数的和〃(h+k+l)为偶数出现衍射极大，因

此，对应衍射角由小到大排列的衍射晶面族是(110),(200),(121),(220),

(310),而

712+12+0:722+0+0:712+22+12:722+22+0:732+12+0

=1:4.414:1.732:2.00:2.236.

从各衍射角的正弦之比与衍射面指数的平方和的开根之比可以看出，二者比

值是十分接近的，存在的小小偏差，可能是测量误差所致，因此，对应布拉

格角大小为序的五条衍射线的衍射晶面族是(110),(200),(121),(220),

(310)o

(2)将2=1.5405A=19.61nk»/)=(110)

代入sino--+(〃/)?

2a

得到留金属的晶格常数a=3.246A

21.铁在20°。时,得到最小三个衍射角分别为8°121,110381,14°181;

当在1000℃时，最小三个衍射角分别变成7°55',909',12°59’.已知在上

述温度范围，铁金属为立方结构。

(1)试分析在20°。和1000。。下，铁各属于何种立方结构？

(2)在20°C下，铁的密度为7860馆/加3求其晶格常数。

［解答］

(1)对于立方晶体，晶面族(胸/)的面间距为

d,M=/h2+k2+l2

布拉格反射公式2d1*1sin0=nX

ir<、,sin04

相应化为,----------------=一.

+(〃/),+(“/)’2a

可见sin。与J。/?，+(成丫+(〃/),成正比

对于体心立方元素晶体，衍射面指数和〃(h+k+l)为奇数时，衍射消光；衍射

面指数和〃(h+k+l)为偶数时，衍射极大，因此，对应最小的三个衍射面指数

依次为(110),(200),(211).这三个衍射角的衍射面指数平方和的平方根之比

为

712+12+0：A/22+0+0：A/22+12+12

=1:4,414:1.73205.

铁在2(TC时，最小的三个衍射角的正弦值之比

sin8°12':sinir38':sinl4°18'

=0.142628:0.201519:0.246999=1:1.41421:1.731777

可见，铁在20P时最小的三个衍射角的正弦值之比，与体心立方元素晶体最

小的三个衍射面指数的衍射面指数平方和的平方根之比极其接近(存在偏差一般

是实验误差所致)。由此可以推断，铁在20。。时为体心立方结构。

对于面心立方元素晶体，衍射面指数〃力，〃左〃/全为奇数或全为偶数时，衍射极

大，对应闻小三个衍射角的衍射面指数依次为(111),(200),(220)这三个衍射角

的衍射面指数平方和的平方根之比为

712+12+12:A/22+02+02:722+22+02=1:1.15470:1.63299

铁在1000。。时最小的三个衍射角的正弦值之比

sin7°55':sin909':sinl2059'

=0.137733:0.159020:224668

=1:1.15455:1.63118

可见，铁在1000°。时最小的三个衍射角的正弦值之比，与面心立方元素晶体

最小的三个衍射角的衍射面指数平方和的平方根之比极其接近，由此可以推断，

铁在时为面立方结构

（2）铁在时为体立心结构，一个晶胞内有两个原子，设原子的质量为m,晶

格常数为“，则质密度

2m

P=~

a

晶格常数则为

人AI55.847x10",

一个铁原子的质量m=-------------五~kg,

6.022xlO23

最后得铁在2（rc时的晶格常数

a=2.855A

22.对面心立方晶体，密勒指数为1121J的晶面族是否出现一级衍射斑点，

从光的干射说明之。

［解答］

由本章第10题可知，对于面心立方晶体，晶面族依生H）的面间距

da

J（一〃1+:2+力3）~+（九一%+〃3）2+（九+力2-63I

由本章第15题可知，对于面心立方晶体，晶面指数优〃2〃3）与晶面指数（hkl）

的转换关系为仇〃2〃3）=L｛（左+/）（/+%）（4+研

P

将上式代入前式得

,二P,a

他泗一2炉不了，

因为立方晶系密勒指数晶面族的面间距

九J/+•广

所以对于立方晶系，两套晶面指数对应的晶面族的面间距的关系为

将上式代入两套坐标中的布拉格反射公式

2公蚀sin6="/i,

2九sin6二〃

得到

In

n=­r

P

将密勒指数021）代入（1）式，得

（她一）=（301）

由上式可知，p'=l,〃=2"'这说明，对于密勒指数021J的晶面族，衍射极大

的最小级数是2,或者说，对于密勒指数021）的晶面族，它的一级衍射是消光

的，对于密勒指数（121）的晶面族，它一级衍射产生的原因可从光的干涉来解释。

图1.18示出了（121）晶面族的1级衍射情况，1与3晶面的面间距为4府对于该

晶面族的1级衍射，有

2dh1dsin。=4

对照衍射示意图lo18上式恰好是1与3晶面产生的光程差，也就是说1与3

晶面产生的光程差为1个波长，由此推论，1与3晶面的反射光的相位差为2万，

它们的确是相互加强的，但实际（对于非复式格子）的面间距为

d_弧

0%岫~0

即1与3晶面中间实际还有1个原子层，在这种情况下，相邻原子层的反射光的

相位差为万衍射光是相互抵消的，这就是密勒指

图1.18121面的一级衍射

数［121J的晶面族一级衍射产生消光的原因.

23.设有一面心立方结构的晶体，晶格常数为a.在转动单晶衍射中，已知与转轴

垂直的晶面的密勒指数为(碗/)求证

mp/L

sin。,”

ay]h2+k2+l2

其中p是一整数，外,是第m个衍射圆锥母线与(〃左/)晶面的夹角。参见图1.19

所示反射球，

图1.19反射球

［解答］

转动单晶衍射法，晶体正格子转动，倒格子也转动，倒格点可以看成分布在与转

轴垂直的，等间距的一个个倒格晶面上，由于倒格晶面旋转，落在反射面球面上

的倒格点的迹线形成一个个圆，反射球心到迹线上任一点的边线即是衍射极大

的方向反射球心到任一迹线连线构成一个个圆锥面。

设本题晶体一与转轴垂直的倒格面面指数为(“2/3)则倒格面的面间距

d»2)2zr

出以||肥+，2。+/3d

其中正格矢与倒格面垂直，即与转轴平行，由图1。19得

2

其中是的光的波矢，即反射球的半径，现在已知与转轴垂直的晶面的密勒指

数为(hkl)由题5可知，晶列

Rhki=ha+kb+lc

与转轴平行，利用面心立方结构晶胞基矢与原胞基矢的关系

a=-a}+%+%

b=a}-a2+a3

c=a]+/一%

可得

Rhki=ha+kh+/c=(—〃+左+/)t7j+(h—k+1+(0+左一

=PRIM

其中p是(一〃+左+/),(0-%+/),(〃+%-/)公约数，由立方晶体的

22

|7?M/|=\ha+kb+lc\=a-J(/z+k~+/)

可得

24.在20。。时铜粉末样品的一级衍射角是47.75°在1000。。时是

46.60。，求铜的线胀系数。

［解答］

设铜的衍射面指数为(hkl)在20°。时的面间距为dhkl,在1000℃时的

面间距为d,hkl则由布拉格反射公式得

2dtMsin47.75°=2

2dlMsin46.60°=2

由以上两式得

d,sin47.75°

hkl1.019.

d卜1dsin46.60°

铜的线膨胀系数

(dhki-dI*)1

a=1.94X10-5/℃.

%,(1000-20)°。980°C

25.若X射线沿简立方晶胞的OZ轴负方向入射，求证：当

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