(人教A版（2019）选择性必修第一册)高二上学期数学 1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题 教案

第一章空间向量与立体几何1.4空间向量的应用1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题一、教学目标1、熟练掌握空间向量在空间直角坐标系中的表示，正确快速求取平面的法向量；2、熟练掌握空间中直线、平面的平行和垂直在空间直角坐标系下的证明； 3、学会利用空间向量解决距离问题、夹角问题；4、通过空间向量的应用，培养求知探索精神，提高数学综合素养.二、教学重点、难点重点：利用空间向量解决距离问题、夹角问题.难点：熟练掌握利用空间向量解决距离问题、夹角问题.三、学法与教学用具1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标.2、教学用具：多媒体设备等四、教学过程（一）创设情景，揭示课题【问题】空间中的距离包括点与点、点到直线、点到平面、两条平行直线、两个平行平面的距离等，如何通过空间向量有效解决上述问题？（二）阅读精要，研讨新知【发现】空间中两点间的距离已知，则空间中点到直线的距离直线的单位方向向量为，在直线上的投影向量，则点到直线的距离为两条平行线的距离转化为点到直线的距离空间中点到平面的距离是平面的法向量，，则点到平面的距离为两个平行平面间的距离转化为点到平面的距离【例题研讨】阅读领悟课本例6（用时约为2分钟，教师作出准确的评析.）例6如图1.4-18，

在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点.（1）求点到直线的距离；（2）求直线到平面的距离.解：如图，以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则

，.所以（1）取，则所以，点到直线的距离为（2）因为，所以,所以平面.所以点到平面的距离即为直线到平面的距离.设平面的法向量为,则，令，则，所以是平面的一个法向量，又所以点到平面的距离为因此直线到平面的距离为.【发现】用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题;（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题;（3）把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论【小组互动】完成课本练习1、2、3，同桌交换检查，老师答疑.【练习答案】【例题研讨】阅读领悟课本例7（用时约为2分钟，教师作出准确的评析.）例7如图1.4-19，

在棱长为1的正四面体(四个面都是正三角形)

中，分别为的中点，求直线和夹角的余弦值.解：【化为向量问题】如图，以作为基底，则设向量与的夹角为，则直线和夹角的余弦值等于.所以又均为等边三角形，所以所以【回到图形问题】所以直线和夹角的余弦值为.【发现】异面直线所成角的向量求解两条异面直线所成的角为，方向向量分别为，则直线与平面所成角的向量求解直线与平面交于点，直线与平面所成角为，直线方向向量为，平面的法向量为，则平面与平面的夹角的向量求解平面与平面相交，形成的四个角中不大于的二面角称为平面与平面的夹角.平面的法向量分别为，夹角为，则或【例题研讨】阅读领悟课本例8（用时约为2分钟，教师作出准确的评析.）

例8如图1.4-22,

在直三棱柱中，,,

为的中点，点分别在棱上,.求平面与平面夹角的余弦值.解：【化为向量问题】如图，以为原点，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系.设平面的法向量为，平面的法向量为,则平面与平面的夹角就是与的夹角或其补角.【进行向量运算】因为平面，所以平面的一个法向量为.

可知，所

以.

设，则，令，则，所以则【回到图形问题】设平面与平面的夹角为，则，即平面与平面的夹角为余弦值为.【小组互动】完成课本练习1、2、3、4，同桌交换检查，老师答疑.【练习答案】【例题研讨】阅读领悟课本例9、例10（用时约为2-4分钟，教师作出准确的评析.）例9图1.4-23

为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为.

已知礼物的质量为1

kg,每根绳子的拉力大小相同.求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小(重力加速度g取9.8,精确到0.01

N).解：如图1.4-24，

设水平面的单位法向量为，其中一根绳子的拉力为.因为，

所以在上的投影向量为.所以8根绳子拉力的合力又因为降落伞匀速下落，所以

(N).所以，所以例10如图

1.4-25，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面,

,

是的中点，作交于点.（1）求证：平面；（2）求证：

平面；（3）求平面与平面的夹角的大小.解：如图，以为原点，所在直线分别为轴，

轴，轴，建立空间直角坐标系，设.（1）证明:连接,交于点,连接.

则.由已知，点是正方形的中心，所以，且

，所以即，而平面,且平面,因此平面.（2）证明：依题意得，所以所以由已知,且,所以平面.（3）解：已知,由（2）可知,故是平面与平面的夹角.由（2）可知点，则因为,所以，所以设，则，所以，.又，所以所以，所以即平面与平面的夹角的大小为.【小组互动】完成课本练习1、2、3，同桌交换检查，老师答疑.【练习答案】（三）探索与发现、思考与感悟1.已知矩形，若将其沿对角线折成直二面角，则异面直线与所成角的余弦值为____________.解：如图，过作垂足分别为所以所以，所以异面直线与所成角的余弦值为.答案：2.如图，四棱锥中，底面，，，，为线段上一点，，为的中点．（1）证明平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.解：（1）由已知得，取的中点，连接，由为中点知，.又，故，四边形为平行四边形，于是.因为平面，平面，所以平面.（2）取中点为，连结，由得，从而，且，以为原点，方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，则，设为平面的法向量，则，所以，令，则，所以是平面的一个法向量，所以.因此直线与平面所成角的正弦值为3.如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，．是底面的内接正三角形，为上一点，．（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值．解：【坐标系选择1】设正的边长为，圆的半径为.则，由，所以，（1）如图，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系.则所以，所以所以，又所以平面.（2）设是平面的法向量，则令，则，所以是平面的一个法向量.设是平面的法向量，则令，则，所以是平面的一个法向量.所以所以二面角的余弦值为.【坐标系选择2】（1）如图，过作交于点，因为平面，以O为坐标原点，为轴，为轴建立空间直角坐标系，，则，，所以，，.所以所以，又所以平面.（2）设是平面的法向量，则，令，则，所以是平面的一个法向量设是平面的法向量，则令，则，所以是平面的一个法向量.故，所以二面角的余弦值为.（四）归纳小结，回顾重点空间中两点间的距离已知，则空间中点到直线的距离直线的单位方向向量为，在直线上的投影向量，则点到直线的距离为两条平行线的距离转化为点到直线的距离空间中点到平面的距离是平面的法向量，，则点到平面的距离为两个平行平面间的距离转化为点到平面的距离异面直线所成角的向量求解两条异面直线所成的角为，方向向量分别为，则直线与平面所成角的向量求解直线与平面交于点，直线与平面所成角为，直线方向向量为，平面的