2.5 等腰三角形的轴对称性 苏科版数学八年级上册素养检测(含解析)

第2章轴对称图形2.5等腰三角形的轴对称性基础过关全练知识点1等腰三角形的性质1.在等腰三角形ABC中,若∠A=80°,则∠B的度数是()A.20°B.50°C.80°D.20°或50°或80°2.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,∠BAD=28°,且AD=AE,求∠EDC的度数()知识点2等腰三角形的判定3.【教材变式·P73T8】如图所示,在△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线交于点P,过点P作MN∥BC交AB于点M,交AC于点N,那么下列结论:①BP=CP;②MN=BM+CN;③△BMP和△CNP都是等腰三角形;④△AMN的周长=AB+AC.其中正确的有()()A.4个B.3个C.2个D.1个4.在△ABC中,∠A=80°,当∠B的度数为时,△ABC是等腰三角形.()

5.【新独家原创】如图,在△ABC中,AB=BC,点D在边AB的延长线上,过点D作DF⊥AC于F,交BC于E,求证:BD=BE.知识点3等边三角形的概念、性质和判定6.【新独家原创】如图,两个全等的等边三角形的边长均为1cm,一个微型机器人由A点开始按A-B-C-D-B-E-A的顺序沿两个等边三角形的边循环运动,行走2023cm停下,则这个微型机器人停在()A.点A处B.点B处C.点C处D.点E处7.(2022吉林长春期末)如图,在等边△ABC中,点D在边BC上,过点D作DE∥AB交AC于点E,过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F.(1)求∠F的度数;(2)求证:DC=CF.知识点4直角三角形斜边上的中线的性质8.(2023江苏兴化月考)如图,木杆AB斜靠在墙壁上,P是AB的中点,当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时,木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动,则下滑过程中OP长度的变化情况是()()A.逐渐变大B.不断变小C.不变D.先变大再变小9.(2022江苏高邮期中)如图,△ABC中,∠ACB=90°,点D是边BC上一点,DE⊥AB于点E,点F是线段AD的中点,连接EF,CF.(1)求证:EF=CF;(2)若∠BAC=30°,AD=6,求C,E两点间的距离.能力提升全练10.(2022江苏淮安中考,8,★☆☆)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC的平分线交BC于点D,E为AC的中点,若AB=10,则DE的长是()()A.8B.6C.5D.411.(2022浙江湖州中考,8,★☆☆)如图,已知在锐角△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,E是AD上一点,连接EB,EC.若∠EBC=45°,BC=6,则△EBC的面积是()()A.12B.9C.6D.3212.(2022海南中考,9,★☆☆)如图,直线m∥n,△ABC是等边三角形,顶点B在直线n上,直线m交AB于点E,交AC于点F,若∠1=140°,则∠2的度数是()A.80°B.100°C.120°D.140°13.【新定义型试题】(2022江苏苏州中考,12,★★☆)定义:一个三角形的一边长是另一边长的2倍,这样的三角形叫做“倍长三角形”.若等腰△ABC是“倍长三角形”,底边BC的长为3,则腰AB的长为.

14.【一题多解】(2023江苏常州期中,24,★★☆)如图,在△ABC中,∠C=2∠B,∠1=∠2,求证:AB=AC+CD.15.(2022浙江温州中考,20,★★☆)如图,BD是△ABC的角平分线,DE∥BC,交AB于点E.(1)求证:∠EBD=∠EDB;(2)当AB=AC时,请判断CD与ED的大小关系,并说明理由.素养探究全练16.【推理能力】定义:顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做对顶三角形.如图1,在△OAB与△OCD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD.(1)如图1,△OAB与△OCD是对顶三角形,且A,O,C三点共线,请判断AB与CD的位置关系,并说明理由;(2)如图2,△OAB与△OCD是对顶三角形,∠AOB=∠COD=90°,连接AC,BD,试探究线段AC,BD之间的关系,并说明理由;(3)如图3,△OAB与△OCD是对顶三角形,∠AOB=∠COD=90°,连接AD,BC,取AD的中点E,连接EO并延长,交BC于点F,延长OE至点G,使EG=OE,连接AG,求证:EF⊥BC.图1图2图317.【推理能力】【运算能力】已知在等边三角形ABC中,点E在AB上,点D在CB的延长线上,且ED=EC.(1)【特殊情况,探索结论】如图1,当点E为AB的中点时,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论:AEDB(填“>”“<”或“=”).

(2)【特例启发,解答题目】如图2,当点E为AB边上任意一点时,确定线段AE与DB的大小关系,请你直接写出结论:AEDB(填“>”“<”或“=”);理由如下:过点E作EF∥BC,交AC于点F(请你完成后续解答过程).

(3)【拓展结论,设计新题】在等边三角形ABC中,点E在直线AB上,点D在线段CB的延长线上,且ED=EC,若△ABC的边长为1,AE=2,求CD的长(请你画出相应图形,并直接写出结果).图1图2

答案全解全析基础过关全练1.D当∠A=∠B时,∠B=80°;当∠A=∠C时,∠C=80°,∴∠B=180°-∠A-∠C=180°-80°-80°=20°;当∠B=∠C时,∵∠A+∠B+∠C=180°,即80°+∠B+∠B=180°,∴∠B=50°.综上所述,∠B的度数为20°或50°或80°.故选D.2.解析∵AB=AC,AD⊥BC,∴∠DAE=∠BAD=28°,∠ADC=90°.∵AD=AE,∴∠ADE=12(180°-∠=12∴∠EDC=90°-∠ADE=90°-76°=14°.3.B∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点P,∴∠MBP=∠PBC,∠PCN=∠PCB.∵MN∥BC,∴∠PBC=∠MPB,∠NPC=∠PCB,∴∠MBP=∠MPB,∠NPC=∠PCN,∴BM=MP,PN=CN,∴MN=MP+PN=BM+CN,△BMP和△CNP都是等腰三角形,故②③正确.∵△AMN的周长=AM+AN+MN,MN=BM+CN,∴△AMN的周长=AB+AC,故④正确.当∠ABC≠∠ACB时,2∠PBC≠2∠PCB,∴∠PBC≠∠PCB,∴BP≠CP,故①错误.故选B.4.答案20°或50°或80°解析①若∠A是顶角,则∠B=(180°-∠A)÷2=50°.②若∠A是底角,∠B也是底角,则∠B=∠A=80°.③若∠A是底角,∠B是顶角,则∠A=∠C=80°,∴∠B=180°-80°×2=20°.∴当∠B的度数为20°或50°或80°时,△ABC是等腰三角形.故答案为20°或50°或80°.5.证明∵DF⊥AC,∴∠DFA=∠EFC=90°.∵AB=BC,∴∠A=∠C,∴∠EFC-∠A=∠DFA-∠C.∵∠D=∠EFC-∠A,∠CEF=∠DFA-∠C,∴∠D=∠CEF.∵∠BED=∠CEF,∴∠D=∠BED,∴BD=BE.6.B∵两个全等的等边三角形的边长均为1cm,∴机器人由A点开始按A-B-C-D-B-E-A的顺序沿两个等边三角形的边循环运动一圈的路程为6cm,∵2023÷6=337……1,∴这个微型机器人停在B处.故选B.7.解析(1)∵△ABC是等边三角形,∴∠B=60°.∵DE∥AB,∴∠EDC=∠B=60°.∵DE⊥EF,∴∠DEF=90°,∴∠F=90°-∠EDC=90°-60°=30°.(2)证明:∵△ABC是等边三角形,∴∠ACB=60°,∴∠EDC=∠ECD=60°,∴△DEC是等边三角形,∴CE=CD.∵∠ECD=∠F+∠CEF,∠F=30°,∴∠CEF=∠ECD-∠F=30°=∠F,∴EC=CF,∴DC=CF.8.C∵P是AB的中点,∠AOB=90°,∴OP=12∵木杆AB的长是定值,∴OP的长度不变.故选C.9.解析(1)证明:∵DE⊥AB,∴∠DEA=90°.∵点F是线段AD的中点,∴EF=12∴EF=CF.(2)如图,连接CE,由(1)得EF=AF=CF=12∴∠FEA=∠FAE,∠FCA=∠FAC,∴∠EFC=2∠FAE+2∠FAC=2∠BAC=2×30°=60°,∴△EFC是等边三角形,∴CE=EF=3,∴C,E两点间的距离是3.能力提升全练10.C∵AB=AC=10,AD平分∠BAC,∴AD⊥BC,∴∠ADC=90°.∵E为AC的中点,∴DE=12AC=5.故选11.B∵AB=AC,AD是△ABC的角平分线,∴BD=CD=12BC=3,AD⊥在Rt△EBD中,∠EBC=45°,∴ED=BD=3,∴S△EBC=12BC·ED=12×6×3=9.12.B如图,∵△ABC是等边三角形,∴∠A=60°.∵∠1=∠A+∠AEF=140°,∴∠AEF=140°-60°=80°,∴∠DEB=∠AEF=80°.∵m∥n,∴∠2+∠DEB=180°,∴∠2=180°-80°=100°.故选B.13.答案6解析∵等腰△ABC是“倍长三角形”,BC是底边,∴AB=2BC或BC=2AB.若AB=2BC=6,则△ABC的三边长分别是6,6,3,符合题意,∴腰AB的长为6.若BC=3=2AB,则AB=1.5,△ABC的三边长分别是1.5,1.5,3,∵1.5+1.5=3,∴此时不能构成三角形,这种情况不存在.综上所述,腰AB的长是6.故答案为6.14.证明方法1(截长法):如图,在AB上取一点E,使AE=AC,连接DE.∵AE=AC,∠1=∠2,AD=AD,∴△AED≌△ACD(SAS),∴ED=CD,∠AED=∠C=2∠B.又∵∠AED=∠B+∠BDE,∴∠B=∠BDE,∴EB=ED,∴BE=ED=CD,∴AB=AE+EB=AC+CD.方法2(补短法):如图,延长AC到E,使CE=CD,连接DE,则∠CDE=∠E,∴∠ACB=∠CDE+∠E=2∠E.∵∠ACB=2∠B,∴∠B=∠E.∵∠1=∠2,AD=AD,∴△ABD≌△AED(AAS),∴AB=AE=AC+CD.15.解析(1)证明:∵BD是△ABC的角平分线,∴∠CBD=∠EBD.∵DE∥BC,∴∠CBD=∠EDB,∴∠EBD=∠EDB.(2)CD=ED.理由如下:∵AB=AC,∴∠C=∠ABC.∵DE∥BC,∴∠ADE=∠C,∠AED=∠ABC,∴∠ADE=∠AED,∴AD=AE,∴CD=BE.由(1)得∠EBD=∠EDB,∴BE=DE,∴CD=ED.素养探究全练16.解析(1)AB∥CD.理由:∵OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD,∴∠OCD=∠ODC=12(180°-∠∠OAB=∠OBA=12(180°-∠∴∠OCD=∠OAB.∵A,O,C三点共线,∴AB∥CD.(2)AC=BD,AC⊥BD.理由:如图,设BD交AC于点M,交OC于点J.∵∠AOB=∠COD=90°,∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC,即∠AOC=∠BOD.在△AOC和△BOD中,OA=OB∴△AOC≌△BOD(SAS),∴AC=BD,∠OCM=∠ODJ.∵∠DJO=∠CJM,∴∠CMJ=∠DOJ=90°,即AC⊥BD.(3)证明:如题图3,∵E为AD中点,∴AE,DE,在△AEG和△DEO中,AE=DE∴△AEG≌△DEO(SAS),∴AG=OD,∠G=∠DOE,∴AG∥OD,∴∠OAG+∠AOD=180°.∵∠COD=∠AOB=90°,∴∠AOD+∠BOC=180°,∴∠GAO=∠COB.∵OD=OC,∴AG=OC.在△GAO和△COB中,AG=OC∴△GAO≌△COB(SAS),∴∠AOG=∠OBC.∵∠AOG+∠BOF=90°,∴∠OBC+∠BOF=90°,∴∠BFO=90°,即EF⊥BC.17.解析(1)当E为AB的中点时,AE=DB.(2)AE=DB.理由:如图,过点E作EF∥BC,交AC于点F,∵△ABC为等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°,AB=AC,∴∠AEF=∠ABC=60°,∠AFE=∠ACB=60°,∴△AEF为等边三角形,∴AE=AF=EF,∴BE=C