(完整版)高一函数大题训练附答案

(完整版)高一函数大题训练附答案一、解答题1．已知函数有两个不同的零点.（1）求的取值范围；（2）记两个零点分别为，且，已知，若不等式恒成立，求的取值范围.2．已知函数.（1）当时，求函数的零点.（2）当，求函数在上的最大值；（3）对于给定的正数，有一个最大的正数，使时，都有，试求出这个正数的表达式.3．对于函数，若存在定义域中的实数，满足且，则称函数为“类”函数.（1）试判断，是否是“类”函数，并说明理由；（2）若函数，，为“类”函数，求的最小值.4．对于函数，若存在正常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“同比不减函数”．（1）求证：对任意正常数，都不是“同比不减函数”；（2）若函数是“同比不减函数”，求的取值范围；（3）是否存在正常数，使得函数为“同比不减函数”，若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．5．已知集合M是满足下列性质的函数的全体；在定义域内存在实数t，使得．（1）判断是否属于集合M，并说明理由；（2）若属于集合M，求实数a的取值范围；（3）若，求证：对任意实数b，都有．6．定义：若存在常数，使得对定义域D内的任意两个不同的实数，均有：成立，则称在D上满足利普希茨(Lipschitz)条件．（1）试举出一个满足利普希茨(Lipschitz)条件的函数及常数的值，并加以验证；（2）若函数在上满足利普希茨(Lipschitz)条件，求常数的最小值；（3)现有函数，请找出所有的一次函数，使得下列条件同时成立：①函数满足利普希茨(Lipschitz)条件；②方程的根也是方程的根，且；③方程在区间上有且仅有一解．7．已知函数（1）当时，求函数在的值域；（2）若存在零点，求的取值范围.8．定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称函数是上的有界函数，其中称为函数的上界.已知函数.（1）当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界函数，请说明理由；（2）若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数的取值范围；（3）若，函数在上的上界是，求的解析式.9．已知函数.（1）当时，求函数的零点；（2）若不等式至少有一个负解，求实数的取值范围.10．已知定义在上的偶函数和奇函数，且.（1）求函数，的解析式；（2）设函数，记.探究是否存在正整数，使得对任意的，不等式恒成立？若存在，求出所有满足条件的正整数的值；若不存在，请说明理由.11．对于函数f（x），若f（x0）=x0，则称x0为f（x）的“不动点”；若f[f（x0）]=x0，则称x0为f（x）的“稳定点”满足函数f（x）的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即A={x|f（x）=x}，B={x|f[f（x）]=x}．（Ⅰ）设f（x）=x2-2，求集合A和B；（Ⅱ）若f（x）=x2-a，且满足∅A=B，求实数a的取值范围．12．已知集合M是满足下列性质的函数的全体：在定义域内存在使得成立．（1）函数是否属于集合M？请说明理由；（2）函数M，求a的取值范围；（3）设函数，证明：函数M．13．已知函数，(1)分别求的值:(2)讨论的解的个数:(3)若对任意给定的,都存在唯一的,满足，求实数的取值范围.14．一般地，我们把函数称为多项式函数，其中系数，，…,．设，为两个多项式函数，且对所有的实数等式恒成立．（）若，．①求的表达式；②解不等式．（）若方程无实数根，证明方程也无实数解．15．若函数满足:对于任意正数，都有，且，则称函数为“L函数”．（1）试判断函数与是否是“L函数”；（2）若函数为“L函数”，求实数a的取值范围；（3）若函数为“L函数”，且，求证：对任意，都有．【参考答案】一、解答题1．（1）（2）【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）方程在有两个不同跟等价于函数与函数的图像在上有两个不同交点,对进行求导，通过单调性画出的草图，由与有两个交点进而得出的取值范围;（Ⅱ）分离参数得：,从而可得恒成立；再令,从而可得不等式在上恒成立，再令，从而利用导数化恒成立问题为最值问题即可．试题解析：（I）依题意，函数的定义域为，所以方程在有两个不同跟等价于函数与函数的图像在上有两个不同交点.又，即当时，；当时，,所以在上单调递增，在上单调递减.从而.又有且只有一个零点是1，且在时，，在时，，所以的草图如下：可见，要想函数与函数在图像上有两个不同交点，只需.（Ⅱ）由（I）可知分别为方程的两个根，即，，所以原式等价于.因为，，所以原式等价于.又由，作差得，，即.所以原式等价于.因为，原式恒成立，即恒成立.令，则不等式在上恒成立.令，则，当时，可见时，，所以在上单调递增，又在恒成立，符合题意；当时，可见当时，；当时，，所以在时单调递增，在时单调递减.又，所以在上不能恒小于0，不符合题意，舍去.综上所述，若不等式恒成立，只须，又，所以.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值，单调性，不等式恒成立问题，考查分类讨论思想，转化思想，考查学生灵活运用所学知识分析解决问题的能力，本题综合性较强，能力要求较高，属于难题，其中（2）问中对两根的处理方法非常经典，将两个参数合并成一个参数，然后再构造函数，利用导函数进行分类讨论求解.2．（1）零点为和1；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）将代入，令，去掉绝对值直接求解即可得出零点；（2）依题意，最大值在中取得，然后分类讨论即可得出答案；（3）问题可转化为在给定区间内恒成立，分及讨论得出答案．【详解】（1）当时，，令，解得：或(舍)；令，解得：；函数的零点为和；（2）由题意得：，其中，，最大值在中取.当，即时，在上单调递减，；当，即时，在上单调递增，上单调递减，；当，即时，在上单调递减，上单调递增，；，；综上所述：；（3）时，，，，问题转化为在给定区间内恒成立.，分两种情况讨论：当时，是方程的较小根，即时，；当时，是方程的较大根，即时，；综上所述：.【点睛】本题考查函数的最值及其几何意义，函数的零点与方程根的关系，属于难题.3．（1）不是.见解析（2）最小值为7.【解析】（1）不是，假设为类函数，得到或者，代入验证不成立.（2），得到函数的单调区间，根据题意得到，得到，得到答案.【详解】（1）不是.假设为类函数，则存在，使得，则，或者，，由，当，时，有，，所以，可得，不成立；当，时，有，，所以，不成立，所以不为类函数.（2），则在单调递减，在单调递增，又因为是类函数，所以存在，满足，由等式可得：，则，所以，则，所以得，从而有，则有，即，所以，则，由，则，令，当时，，且，，且连续不断，由零点存在性定理可得存在，使得，此时，因此的最小值为7.【点睛】本题考查了函数的新定义问题，意在考查学生对于函数的理解能力和应用能力.4．（1）证明见解析（2）（3）存在，【解析】【分析】（1）取特殊值使得不成立，即可证明；（2）根据“同比不减函数”的定义，恒成立，分离参数，构造函数，转化为与函数的最值关系，即可求出结果；（3）去绝对值化简函数解析式，根据“同比不减函数”的定义，取，因为成立，求出的范围，然后证明对任意的，恒成立，即可求出结论.【详解】证明：（1）任取正常数，存在，所以，因为，即不恒成立，所以不是“同比不减函数”.（2）因为函数是“同比不减函数”，所以恒成立，即恒成立，对一切成立.所以.（3）设函数是“同比不减函数”，，当时，因为成立，所以，所以，而另一方面，若，（Ⅰ）当时，因为，所以，所以有成立.（Ⅱ）当时，因为，所以，即成立.综上，恒有有成立，所以的取值范围是.【点睛】本题考查新定义的理解和应用，考查等价转化思想，考查从特殊到一般的解决问题方法，属于较难题.5．（1）不属于,理由详见解析；（2）；（3）详见解析.【解析】【分析】（1）利用f（x）＝3x+2，通过f（t+2）＝f（t）+f（2）推出方程无解，说明f（x）＝3x+2不属于集合M；（2）由属于集合M，推出有实解，即（a﹣6）x2+4ax+6（a﹣2）＝0有实解，对参数分类讨论，利用判断式求解即可；（3）当f（x）＝2x+bx2时，方程f（x+2）＝f（x）+f（2）⇔3×2x+4bx﹣4＝0，令g（x）＝3×2x+4bx﹣4，则g（x）在R上的图象是连续的，当b≥0时，当b＜0时，判断函数是否有零点，证明对任意实数b，都有f（x）∈M．【详解】解：（1）当时，方程此方程无解，所以不存在实数t，使得，故不属于集合M﹒（2）由，属于集合M，可得方程有实解有实解有实解，若时，上述方程有实解；若时，有，解得，故所求a的取值范围是．（3）当时，方程，令，则在上的图像是连续的，当时，，，故在内至少有一个零点当时，，，故在内至少有一个零点故对任意的实数b，在上都有零点，即方程总有解，所以对任意实数b，都有．【点睛】本题考查抽象函数的应用，函数的零点以及方程根的关系，考查转化思想以及计算能力．6．（1），见解析；（2）（3）【解析】【分析】（1）令可以满足题意，一次函数和常值函数都可以满足；（2）根据定义化简，得出k的最小值；（3）由于所有一次函数均满足（1）故设是的根，推得，若符合题意，则也符合题意，可以只考虑的情形，分①若，②若，分别验证是否满足题意，可得k的范围.【详解】（1）例如令由知可取满足题意（任何一次函数或常值函数等均可）．（2）在为增函数对任意有（当时取到）所以（3）由于所有一次函数均满足（1）故设是的根，又若符合题意，则也符合题意，故以下仅考虑的情形．设①若，则由且所以，在中另有一根，矛盾．②若，则由所以，在中另有一根，矛盾．以下证明，对任意符合题意．当时，由图象在连接两点的线段的上方知当时，当时，综上：有且仅有一个解，在满足题意．综上所述：,故得解.【点睛】本题考查运用所学的函数知识解决新定义等相关问题，关键在于运用所学的函数知识，紧紧抓住定义，构造所需要达到的定义式，此类题目综合性强，属于难度题.7．（1）；（2）【解析】【分析】（1）当时，函数，转化为二次函数问题，利用二次函数的性质，即可求解；（2）由（1）转化为二次函数存在零点，利用二次函数的图象与性质，即可求解．【详解】（1）当时，，令，，则，故，，故值域为.（2）关于的方程有解，等价于方程在上有解记当时，解为，不成立；当时，开口向下，对称轴，过点，不成立；当时，开口向上，对称轴，过点，必有一个根为正，所以，.【点睛】本题主要考查了函数值域的求解，以及函数的零点问题的应用，其中解答中合理转化为二次函数，利用二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及分类讨论思想的应用，属于基础题．8．（1）见解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）通过判断函数的单调性，求出的值域，进而可判断在上是否为有界函数；（2）利用题中所给定义，列出不等式，换元，转化为恒成立问题，通过分参求构造函数的最值，就可求得实数的取值范围；（3）通过分离常数法求的值域，利用新定义进而求得的解析式．【详解】（1）当时，，由于在上递减，∴函数在上的值域为，故不存在常数，使得成立，∴函数在上不是有界函数（2）在上是以3为上界的有界函数，即，令，则，即由得，令，在上单调递减，所以由得，令，在上单调递增，所以所以；（3）在上递减，，即，当时，即当时，当时，即当时，∴.【点睛】本题主要考查学生利用所学知识解决创新问题的能力，涉及到函数求值域的有关方法，以及恒成立问题的常见解决思想．9．（1）；（2）【解析】【分析】（1）由，有，即，即可求得函数的零点；（2）不等式可化为，分别作出抛物线在轴上方的部分和抛物线在轴下方的部，结合图象求得两个临界位置，即可得到答案.【详解】（1）当时，函数，令，有，即，则，解得，即，故函数的零点为；（2）不等式可化为，如图所示，曲线段和分别是抛物线在轴上方的部分和抛物线在轴下方的部，因为不等式至少有一个负解，由图象可知，直线有两个临界位置，一个是与曲线段相切，另一个是通过曲线段和轴的交点，后者显然对应于；前者由可得到方程，由，解得，因此当时，不等式至少有一个负解，故实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，以及利用函数的图象求解不等式的有解问题，其中解答中熟记函数零点的概念，以及合理利用函数的图象是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.10．（1）见解析；（2）【解析】【分析】(1)已知，结合函数的奇偶性可得，解方程组即可得函数解析式；（2）由函数奇偶性的性质可知为奇函数，图象关于对称，则的图象关于点中心对称，利用对称性可得，然后利用恒成立问题解即可.【详解】（1），函数为偶函数，为奇函数，，，.（2）易知为奇函数，其函数图象关于中心对称，函数的图象关于点中心对称，即对任意的，成立.，.两式相加，得.即..，即..，恒成立.令，.则在上单调递增.在上单调递增..又已知，.【点睛】本题考查由函数奇偶性求函数解析式，考查由函数的对称性求值问题，考查恒成立问题的解法，属于中档题.11．（Ⅰ）A={-1，2}；B={-，-1，，3}（Ⅱ）[-，]【解析】【分析】（Ⅰ）由f（x）=x得x2-x-2=0，解得x=-1，x=2，故A={-1，2}；由f（f（x））=x，可得f（x2-2）=x，即（x2-2）2-（x2-2）-2=x；求解x可得集合B．（Ⅱ）理解A=B时，它表示方程x2-a=x与方程（x2-a）2-a=x有相同的实根，根据这个分析得出关于a的方程求出a的值．【详解】（Ⅰ）由f（x）=x得x2-x-2=0，解得x=-1，x=2，故A={-1，2}；由f（f（x））=x，可得f（x2-2）=x，即（x2-2）2-（x2-2）-2=x；即x4-2x3-6x2+6x+9=0，即（x+1）（x-3）（x2-3）=0，解得x=-1，x=3，x=，x=-，故B={-，-1，，3}；（Ⅱ）∵∅A=B，∴x2-a=x有实根，即x2-x-a=0有实根，则△=1+4a≥0，解得a≥-由（x2-a）2-a=x，即x4-2ax2-x+a2-a=0的左边有因式x2-x-a，从而有（x2-x-a）（x2+x-a+1）=0．∵A=B，∴x2+x-a+1=0要么没有实根，要么实根是方程x2-x-a=0的根．若x2+x-a+1=0没有实根，则a＜；若x2+x-a+1=0有实根且实根是方程x2-x-a=0的根，由于两个方程的二次项系数相同，一次项系数不同，故此时x2+x-a+1=0有两个相等的根-，此时a=方程x2-x-a=0可化为：方程x2-x-=0满足条件，故a的取值范围是[-，]．【点睛】本题考查对新概念的理解和运用的能力，同时考查了集合间的关系和方程根的相关知识，解题过程中体现了分类讨论的数学思想．12．（1）见解析；（2）；（3）见解析【解析】【分析】（1）直接进行验证或用反证法求解；（2）由M得到方程在定义域内有解，然后转化成二次方程的问题求解；（3）验证函数满足即可得到结论成立．【详解】（1）．理由如下：假设，则在定义域内存在，使得成立，即，整理得，∵方程无实数解，∴假设不成立，∴．（2）由题意得，在定义域内有解，即在实数集R内有解，当时，，满足题意；当时，由，得，解得且，综上，∴实数a的取值范围为．（3）证明：∵，∴，又函数的图象与函数的图象有交点，设交点的横坐标为a，则，∴，其中，∴存在使得成立，∴．【点睛】本题以元素与集合的关系为载体考查函数与方程的知识，解题的关键是根据题意中集合元素的特征将问题进行转化，然后再结合方程或函数的相关知识进行求解，考查转化能力和处理解决问题的能力．13．(1)-1,0.(2)解:解:解:解.(3).【解析】【分析】（1）直接由分段函数求得，的值；（2）求出函数的解析式并作出图象，数形结合可得的解的个数；（3）由题意可得的取值必须大于1，然后根据的范围分析关于的二次函数的值域，从而可得实数的取值范围．【详解】（1）∵，∴．∵，∴．（2），画图的图象如图，由图可知，当时，方程有0解；当时，方程有2解；当时，方程有4解；当时，方程有3解．（3）要使对任意给定的，都存在唯一的，满足，则的取值必须大于1；即当时，的值域包含于；当时，，舍去；当时，，；当时，，舍去；综上所述【点睛】本题主要考查了分段函数的应用，关键是可以把当作是一个整体，然后再确定数的大小后再把它作为一个关于的函数求解，是难题．14．（）①．②或．（）证明见解析．【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）根据已知条件f[g（x）]=g[f（x）]直接代入求解即可．（Ⅱ）证明无解考虑用反证法证明，假设有解，与已知条件推出矛盾．试题解析：（Ⅰ）①∵，即有