上海八年级期中数学复习2

上海八年级期中复习2

选择题（共2小题）

1.如图，NACB=NDFE,BC=EF,欲证aABC也△£>££则须补充一个条件是（）

A.AB=DEB.ZACE=ZDFBC.BF=ECD.ZABC=ZDEF.

2.下列各式计算错误的是（）

A-彩后=a-bb-q（g&）2=2版F

D.V6（V3+V2）=372-2V3

二.填空题（共4小题）

3.如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么称这个三角形为“倍角三角形例如,

在△ABC中，如果N4=50°,ZB=100°,那么△ABC就是一个“倍角三角形”.如果

一个倍角三角形是一个等腰三角形，那么它的顶角的度数是.

4.函数打得x的图象经过第象限.

5.已知方程2/-％-〃=0有一根为上叵，贝ij“=

2

6.如图，在直角三角形ABC中，/C=90°,AC=6厘米，BC=8厘米，点P、Q同时由

A、C两点出发，分别沿AC、CB方向匀速运动，它们的速度都是每秒1厘米，尸点运动

秒时，△PCQ面积为4平方厘米.

7.如图，已知ACLAE,AD=AB,NC=NE,DC交AB于点0,交BE于点P,

AC交BE于点F.

c,已知〃=2,b、c是关于x的方程/-10x+〃?

=0的两个根，求，”的值.

9.解方程：(4x-l)2-10(4x7)-24=0.

10.已知，点O到AABC的两边AB、AC所在的直线的距离相等，且OB=OC.

(1)如图(1)所示，若点。在边8c上，求证：4B=AC；

(2)如图(2)所示，若点。在△A8C的内部，求证：AB=AC.

(3)若点。在△ABC的外部，结论“AB=4C”还成立吗？(只要填“成立”

或“不成立”，不需证明过程.)

11.如图，在△ABC中，4E平分NBAC,交BC于点E,。是8c边上点，且。E=CE,点

产在AE上，联结。凡满足。尸=4C,

求证：DF//AB.

2

(2)已知x=—、==,求工Y时Z的值.

3+2V2x-3

13.已知：如图，AB=AC,AO=AE,NBAE=NCAD,8。与CE相于点F.

求证：(1)NB=NC；(2)FB=FC.

14.已知：CP是等边△ABC的外角NACE的平分线，点。在射线BC上，以。为顶点，

D4为一条边作NAQF=60°,另一边交射线CP于F.

（1）如图，若点。在线段BC上，求证：①NBAO=NCDF,@AD=FD-,

（2）若点。在线段BC的延长线上，（1）中的两个结论还一定成立吗？若成立，请证明.

15.将一条长为20。”的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.

（1）要使这两个正方形的面积之和等于170层，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是

多少？

（2）两个正方形的面积之和可能等于12cs2吗？若能，求出两段铁丝的长度：若不能，

请说明理由.

2

16.在实数范围内分解因式：2?-3xy-3-.

17.用20米长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形仓库（如图所示），若要求围成的长方形面

积为60米2,并且这堵墙长10米，在与墙平行的一边，开一扇宽2米的门（门不占用篱

笆材料），问：该长方形相邻两边长要取多少米？

/////////

18.如图，已知CB_LA8,点E在A8上，且CE平分N8CZ),OE平分NAZJC,ZEDC+Z

£>CE=90°,求证：DALAB.

19.已知：在AABC中，AC=BC,NACB=90°，点。是AB的中点，点E是A8边上一

点.

(1)直线8尸垂直于直线CE于点凡交C£>于点G(如图1),求证：AE^CG,

(2)直线AH垂直于直线CE,垂足为点”，交CD的延长线于点M(如图2),找出图

中与BE相等的线段，并证明.

20.如图，点。是等边△ABC内一点，NAOB=UO°,NBOC=a.将△BOC绕点C按顺

时针方向旋转60°得△AOC,连接。£>.

(1)求证：△C03是等边三角形；

(2)当a=150°时，试判断△AO。的形状，并说明理由；

(3)探究：当a为多少度时，△40。是等腰三角形？

21.如图，在等边△ABC中，AM为BC边上的中线，动点。在直线AM上时，以CQ为边

在CD的下方作等边△€1£>£,联结8E.

(1)NCAM=度；

(2)当点O在线段4W上时，求证：△ADC四△BEC；

(3)当动点。在直线AM上时，设直线8E与直线AM的交点为0,试判断NAOB的度

数是否会发生变化？请说明理由.

22.已知m———n———求m2-nm+n2的值.

2+V523

23.小惠到眼镜店调查了近视眼镜的度数和镜片焦距的关系如表:

镜片焦距x(cm)502512.5108…

眼镜度数y(度)20040080010001250…

(1)根据上表体现出来的规律，请写出眼镜度数y(度)与镜片焦距x(cm)之间的函

数关系式;

(2)若小惠所戴眼镜度数为500度，求该镜片的焦距.

24.如图，直线y=“x(a>0)与双曲线丫=上>(4>0)交于A、8两点，且点A的坐标为(4,

x

2),点B的坐标为(〃，-2).

(1)求〃，n的值；

(2)若双曲线y=y=K(k>0)的上点C的纵坐标为8,求△AOC的面积.

x

25.解不等式：y/Sx+\>2x+43

26.先化简，再求值：.一鱼其中

a+2a2_aV5+2

27.已知：如图点4(6,8)在正比例函数图象上，点8坐标为(12,0),联结AB,AO=

AB=10,点C是线段AB的中点，点P在线段BO上以每秒2个单位的速度由点8向点

。运动，点。在线段AO上由点A向点O运动，P、。两点同时运动，同时停止，运动

时间为f秒

(1)求该正比例函数的解析式：

(2)当f=l秒，且SAOPQ=6时，求点。的坐标：

(3)联结CP,在点P、Q运动过程中，△OPQ与aBPC是否全等？如果全等，请求出

点。的运动速度；如果不全等，请说明理由

29.已知，如图，在△A8C中，NA8c=90°,BO是斜边AC上的中线，求证：BD=^AC.

2

30.如图，在△ABC中，NABC=45°,在高A。上截取QH=£>C,连结BH并延长交AC

于点E,求证：BHA.AC.

A

31.解不等式：V2X-3<A/3X.

32.解下列关于x的方程

(1)4(x-1)2=(x+2)2

(2)(%-5)2+4(x-5)=0

(3)/+8x-2=0

(4)2J?-3x-4=0.

33.在实数范围内将关于x的二次三项式因式分解：2?-3xy-7y2.

34.已知：如图，在aABC中，若A8=AC,点。是BC上一动点，点E,F分别在AC、

AB上，且C£>=BRBD=CE,则NE£)F与乙4在数量上有什么关系？请证明你的猜想.

A

BC

D

上海八年级期中复习2

参考答案与试题解析

选择题（共2小题）

1.如图，NACB=NDFE,BC=EF,欲证aABC段△£>£；下,则须补充一个条件是（）

A.AB=DEB.NACE=NDFBC.BF=ECD.NABC=/DEF.

【分析】根据全等三角形的判定方法逐项判断即可.

【解答】解：

■:NACB=NDFE,BC=EF,

.•.当AB=OE时，满足的是SSA,不能判定△ABC也△。砂，故A不可以；

当NACE=NDFB时，仍然得到的是NAC8=/OFE,只有两组量对应相等，不能判定

△ABC且ADEF,故B不可以；

当BF=EC时，可求得BC=EF,同上也只有两组量相等，无判定△A8C乡△QEF,故C

不可以；

当N4BC=NDE尸时，满足AS4,可以判定△ABCg△£>£「，故。可以，

故选：D.

【点评】本题主要考查全等三角形的判定方法，掌握全等三角形的判定方法是解题的关

键，即SSS、SAS.ASA.AAS和HL.

2.下列各式计算错误的是（）

A.层后=jB.近近-2近）2=2a71

C.D.而子（炳+&）=W^-2点

【分析】利用二次根式的性质对4、B、C进行判断；利用分母有理化对。进行判断.

【解答】解：A、原式=|〃|-|旬，所以A选项的计算错误；

B、原式=|遥-2&=2&-泥，所以B选项的计算正确；

C、原式=J,所以c选项的计算正确；

D、原式=雁「二娓（V3-V2）=3&-2、e，所以。选项的计算正确.

V3+V2

故选：A.

【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并

同类二次根式即可.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式

的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍.

二.填空题（共4小题）

3.如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么称这个三角形为“倍角三角形例如,

在△ABC中，如果N4=50°,ZB=100°,那么△ABC就是一个“倍角三角形”.如果

一个倍角三角形是一个等腰三角形，那么它的顶角的度数是90°或36°♦

【分析】分顶角是底角的2倍、底角是顶角的2倍两种情况，根据三角形内角和定理列

方程计算即可.

【解答】解：当顶角是底角的2倍时，

设顶角为尤，则底角为

2

由题意得，jc+—x=180°，

22

解得，x=90°,

当底角是顶角的2倍时，

设顶角为x，则底角为2x,

由题意得，x+2x+2x=180”,

解得，x=36°,

故答案为：90°或36°.

【点评】本题考查的是三角形内角和定理，掌握三角形的内角和等于180°是解题的关键,

解答时，注意分情况讨论思想的应用.

4.函数尸_Zx的图象经过第二、四象限.

【分析】根据正比例函数中/=-2进行判断即可.

5

【解答】解：•.•函数行上K中*=-2<°，

55

...此函数的图象经过二、四象限.

故答案为：二、四.

【点评】本题考查的是正比例函数的性质，即正比例函数)，=履中，当4<0时，函数图

象经过二、四象限.

5.已知方程27-X-4=0有一根为12^1,则〃=.

2―2-

【分析】将、=上叵代入方程2/-x-a=0可得关于。的方程，解之即可.

2

【解答】解：根据题意，将》=上近代入方程2，-》-。=0,

2

得：2X4-2^-lZ^--a=0,

42

解得：〃=三叵

2

故答案为：殳返.

2

【点评】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数

的值.

6.如图，在直角三角形A8C中，ZC=90°,AC=6厘米，BC=8厘米，点P、。同时由

A、C两点出发，分别沿AC、CB方向匀速运动，它们的速度都是每秒1厘米，P点运动

2或4秒时,△PCQ面积为4平方厘米.

【分析】设P点运动x秒时，△PCQ面积为4平方厘米，则AP=xa〃，PC=(6-x)cm,

CQ^xcm,根据△PCQ的面积为4平方厘米列出方程，求出符合题意的值即可.

【解答】解：设P点运动x秒时，△PC。面积为4平方厘米.

由题意得：—X(6-x)*x=4,

2

x2-6x+8=0,

解得xi=2,X2=4.

所以，尸点运动2或4秒时，△PC。面积为4平方厘米.

故答案为2或4.

【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键在于表示出三角形面积进而得出等

量关系求解.

三.解答题(共28小题)

7.如图，已知AO_LA2,ACLAE,AD=AB,NC=NE,DC交AB于点O,交BE于点尸,

AC交BE于点F.

【分析】根据全等三角形的判定证明即可.

【解答】证明：•.•ADLAB,ACLAE,

：.ZDAB=ZEAC,

，ZDAB+ZBAC=ZEAC+ZBAC,

即ND4C=NE48,

在△D4C与△E4B中，

'/C=NE

"AD=AC，

ZDAC=ZEAB

.•.△D4C丝△EAB(ASA),

:.ND=NB,

VZD+ZAOD=90°,ZAOD=ZBOP,

NB+/BOP=90°,

：.DC1.BE.

【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，在判定三角形全等时，关键是选择恰

当的判定条件.

8.设等腰三角形的三条边长分别为a、b、c,已知a=2,仄c是关于x的方程7-10x+m

=0的两个根，求〃?的值.

【分析】根据等腰三角形的性质知①方程/-10x+m=0有一个根为2,将x=2代入可

得m的值，再解方程，由三角形三边关系判断是否符合题意;②若h=c,则方程x2-\Qx+m

=0有两个相等的实数根，由根的判别式可得，"的值，检验此时方程的根是否符合题意.

【解答】解：根据题意知①若》=2或c=2,则方程x2-10x+〃?=0有一个根为2,

将x=2代入得4-20+/«=0,

解得：，〃=16,

此时方程为7-10x+16=0,即(x-2)(x-8)=0,

解得：x=2或x=8,

V2+2<8,不能构成三角形舍去；

若b=c,则方程10x+〃?=0有两个相等的实数根，

(-10)2-4m=0,

解得：机=25,

此时方程为10x+25=0,即(x-5)2=0,

解得：x=5,

V2+5>5,

可以构成三角形，

故m—25.

【点评】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形三边的关系、根的判别式及解方程的

能力，根据题意分类讨论思想的运用是解题的关键.

9.解方程：(4x7)2-10(4x7)-24=0.

【分析】先令4x-l=y,得V-lOy-24=0,求得y再得出x即可.

【解答】解：令4x-l=y,得10),-24=0,

(y-12)(y+2)=0,

12=0或)，+2=0,

—y2—-2,

当y=12时，4x-l=^2,x=坦；

4

当y--2时，4x-1=-2,x--—,

4

方程的解为xi=1员，

44

【点评】本题考查了用换元法解一元二次方程，找到整体是解题的关键.

10.己知，点O到△ABC的两边AB、AC所在的直线的距离相等，且O8=OC.

(1)如图(1)所示，若点。在边8c上，求证：AB=AC；

(2)如图(2)所示，若点。在△4BC的内部，求证：AB=AC.

(3)若点。在△ABC的外部，结论“AB=AC”还成立吗？成立(只要填“成立”

或“不成立”，不需证明过程.)

【分析】(1)如图1中，作OE_LAB于E,OF_LAC于F,连接A0.只要证明RtZ\OEB

丝RtZXOFC,推出8E=CF,RtAAOE^RtAAOF,推出AE=4E即可证明.

(2)结论仍然成立.作。E_LAB于E,OF_L4C于F,连接A0.方法类似(1).

(3)结论仍然成立.作0ELA8于E,OFLAC于F,连接A0.方法类似(1).

【解答】(1)证明：如图1中，作OE_LAB于E,OF1ACTF,连接A0.

VOEA.AB,OF1AC,OE=OF,

：.ZOEB=ZOFC=9Qa,

在RtAOEB和RtAOFC中，

[0E=0F,

IBO=OC'

.,.RtAOFB^RtAOFC(HL),

：.BE=CF,

在RtAAOE和RtAAOF中，

[0A=0A,

idE=0F'

.•.RtAAOE^RtAAOF(HL),

：.AE=AF,

：.BE+AE=CF+AF,即AB=AC.

(2)证明：如图2中，作OE_LAB于E,OF_LAC于F,连接A0.

图2

VOELAB,0F1AC,OE=OF,

.•./OE8=NOFC=90°,

在RtAOEB和RtAOFC中，

[OE=OF,

1BO=OC'

ARtAOEB^RtAOFC(HL),

：.BE=CF,

在RtAAOE和RtAAOF中，

[0A=0A,

idE=OF'

ARtAAOE^RtA/lOF(HL),

：.AE=AF,

：.BE+AE=CF+AF,BPAB=AC.

(3)解：结论不一定成立.如图3中.AB^AC'

【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、线段的和差定义等知识，解题的关键是利

用於判定两个三角形全等，属于中考常考题型.

11.如图，在△ABC中，4E平分NBAC,交BC于点E,。是8c边上点，且。E=CE,点

F在AE上，联结。F,满足。F=AC,

求证：DF//AB.

【分析】延长FE到G,使EG=EF.连接CG,由于已知条件通过SAS证得△DE/g4

CEG得至IJ。尸=6(7,NDFE=NG,由。尸=4C得到NG=NC4E,继而由角平分线的性

质可求得NBAEn/DEF,可证明OF〃A8.

【解答】证明：

如图，延长尸E到G,使EG=EF,连接CG.

在△£>£：尸和ACEG中

'DE=EC

'NDEF=NCEG，

.FE=EG

/.△DEF^ACEG(SAS).

：.DF=GC,ZDFE=ZG.

"：DF=AC,

，NG=/C4E,

平分/B4C

:.NBAE=NCAE.

J.ZG^ZBAE,

:.NBAE=NDFE,

：.DF//AB.

【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，通过作辅助线，构造全等三角形进行

求解是正确解决本题的关键.

12.(1)计算：(岳_4陌1)+邑

V2V2W3V3

2

(2)已知x=—1；=,求三一62+2的值.

3+2&x-3

【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式和除法运算化为乘法运算，然后把括号

内合并后进行二次根式的乘法运算：

（2）先分母用理化得到x=3-2a,则x-3=-2近，两边平方可得/-6x=-1,然

后利用整体代入的方法计算原式的值.

【解答】解：⑴原式=Ga-2&-加-«）•«

--V3-73

=-3；

(2)•.”=—

3+2加

；.x=3-2&,

••x-3=-2y1"2.

(x-3)2=8,即f-6x=-l,

.,.原式=-1+2-一返

-2V24

【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次

根式的乘除运算，然后合并同类二次根式.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特

点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍.

13.已知：如图，AB=AC,AD-AE,NBAE=NCAD,8。与CE相于点尺

求证：(1)NB=NC；(2)FB=FC.

【分析】（1）由已知条件证得丝Z\ACE,从而证得.

（2）连接BC,要证/8=FC,可利用等式性质来证得.

【解答】证明：（1）,：ZBAE^ZCAD（已知），

.•.NBAE+/EAD=NCA£»+NZME（等式性质），即N8A£>=NCAE.（1分）

'AB=AC（已知）

在AAB。和△ACE中，，ZBAD=ZCAE（已证）

AD二AE（已知）

...△A8。之△ACE（SAS）.（1分）

...NA8O=/4CE（全等三角形对应角相等）.（1分）

（2）连接BC.（1分）

'：AB=AC（已知），

.../48C=N4C8（等边对等角）.（1分）

NAB£）=ZACE（已证），

；.NABC-N4BO=NACB-NACE（等式性质），即/PBCn/FCB.（1分）

:.FB=FC（等角对等边）.（1分）

【点评】本题主要考查了两个三角形的判定和性质，（1）从证得△ABO丝Z\ACE而得到

所证.（2）由等式性质来求证.难度一般.

14.已知：CP是等边△ABC的外角N4CE的平分线，点。在射线BC上，以。为顶点，

D4为一条边作NAQF=60°,另一边交射线CP于F.

（1）如图，若点。在线段8c上，求证：®ZBAD=ZCDF,@AD=FD；

（2）若点。在线段BC的延长线上，（1）中的两个结论还一定成立吗？若成立，请证明.

p

AOE=NB+NBAD,并由/4OE在图形中分成的两角和得出NCDF；

②利用外角平分线得：/ACP=NPCE=60°,证明A、D、C、尸四点共圆，从而得出

△AOF是等边三角形，所以A£>=F£>；

(2)第一个结论不一定正确，第二个结论一定正确，理由是：如图2,同理连接AF,根

据角的和差得：NBA£)=60°+ZCAD,NCDF=60°+ZADC,而且而。是射线BC上

任意一点；CO与AC不一定相等，只有相等时两角才相等；第二个结论与②同理得：A、

C、。、尸四点共圆，则△4。尸是等边三角形，所以AQ=FQ.

【解答】证明：(1)如图1,①;△ABC是等边三角形，

：./B=NACB=NBAC=60°,

"：ZADE=ZB+ZBAD,ZADE=ZCDF+ZADF,

：.NB+NBAD=ZCDF+ZADF,

\"ZADF=6QQ,

:.NB=NADF,

:.NBAD=NCDF；

②连接AF,

\'ZACB=60°,

：.ZACE=\20°,

平分/4CE,

AZACP=ZPCE=60°,

/ACP=60°,

.♦.4、D、C、尸四点共圆，

：.ZAFD=ZACB=60°,

AZADF=ZAFD=60°,

.,.ZDAF=60°,

・•・ZVI。尸是等边三角形，

：.AD=FD；

（2）若点。在线段8C的延长线上，（1）中的第一个结论不一定正确，第二个结论一定

正确，理由是：

如图2,连接AF,

VZBAD=ZBAC+ZCAD,ZBAC=60°,

：.ZBAD=60°+NC4。，

ZCDF=ZADC+ZADF,ZADF=60°,

：.ZCDF=60°+ZADC,

只有当NC4O=NADC时，第一个结论正确，即/班O=NCDF,而只有CO=AC时两

角才相等；而。是射线8c上任意一点；

同（1）得：ZADF=ZACF=60°,

，A、C、D、F四点共圆，

：.ZFAD=ZFCD=60°,

ZAFD=60°,

**.AA£）F是等边三角形，

：.AD=FD.

B

D

图2

图1

【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定及三角形的外角定理，知道等边三角形的

三边相等，且各角为60°；本题多次运用了外角定理和角的和差关系得出角的大小关系;

同时本题利用了四点共圆，若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，则四点共圆；

本题也可以过。作OG〃AC,得出结论.

I5.将一条长为2051的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.

(1)要使这两个正方形的面积之和等于We*/,那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是

多少？

(2)两个正方形的面积之和可能等于12c/吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，

请说明理由.

【分析】(1)这段铁丝被分成两段后，围成正方形.其中一个正方形的边长为xcm,则

另一个正方形的边长为丝丝=(5-x),根据“两个正方形的面积之和等于17cH2”作

4

为相等关系列方程，解方程即可求解；

(2)设两个正方形的面积和为》可得二次函数)=/+(5-x)2=2(x-旦)2+空，

22

利用二次函数的最值的求法可求得y的最小值是12.5,所以可判断两个正方形的面积之

和不可能等于12C/»2.

【解答】解：(1)设其中一个正方形的边长为XC”则另一个正方形的边长为(5-X)C/M,

依题意列方程得了+(5-%)2=17,

整理得：?-5x+4=0,

(x-4)(x-1)=0,

解方程得冗1=1,X2=4,

1X4=4C〃7,20-4=16cm；

或4X4=1657,20-16=4cwz.

因此这段铁丝剪成两段后的长度分别是4cm、16cm；

（2）两个正方形的面积之和不可能等于12C,"2.

理由：

设两个正方形的面积和为y,则

y=/+（5-x）2=2（x-—）2+^-,

22

：。=2>0,

.•.当欠=”时，y的最小值=12.5>12,

2'

两个正方形的面积之和不可能等于12c〃P；

（另解：由（1）可知7+（5-x）2=12,

化简后得2?-10_r+13=0,

:△=（-10）2-4X2X13=-4<0,

...方程无实数解；

所以两个正方形的面积之和不可能等于12c）

【点评】此题等量关系是：两个正方形的面积之和=17或12.读懂题意，找到等量关系

准确的列出方程是解题的关键.

16.在实数范围内分解因式：2?-3--y2.

【分析】将原式配方成2（x-Wy）2_乌2,再利用平方差公式分解即可得.

4-8

【解答】解：原式=2（/-2。+旦/_且2）2

2'16'16'

=2（X-Wy）2-IL/

4-8

=（扬+叵温）（小一叵曲“.

44

【点评】本题主要考查因式分解的能力，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的

关键.

17.用20米长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形仓库（如图所示），若要求围成的长方形面

积为60米2,并且这堵墙长10米，在与墙平行的一边，开一扇宽2米的门（门不占用篱

笆材料），问：该长方形相邻两边长要取多少米？

【分析】设仓库的垂直于墙的一边长为X米，而与墙平行的一边开一道2米宽的门，现

有能围成20米长的篱笆，那么平行于墙的一边长为(20-2X+2)米，而仓库的面积为

60米2,由此即可列出方程，解方程就可以解决问题.

【解答】解：设仓库的垂直于墙的一边长为x米，

依题意得(20-2x+2)x=60,

x2-llx+30=0,

(x-6)(x-5)=0,

.".xi=6或X2=5,

当XI=6时，20-2%+2=10；

当X2=5时，20-2%+2=12>10,不合题意舍去.

答：该长方形相邻两边长要取10米，6米.

【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是弄懂题意，找出题目中的等量关

系，要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解.

18.如图，已知CB_L43,点E在上，且CE平分N8CD,QE平分NAOC,ZEDC+Z

【分析】根据角平分线的定义可得/AOC=2/EZ)C,ZBCD=2ZDCE,然后求出/AOC+

ZBCD=180°,根据同旁内角互补，两直线平行可得AO〃BC,再根据两直线平行，同

旁内角互补证明即可.

【解答】证明：CE分别平分NAOC、/BCD,

：.ZADC^2ZEDC,NBCD=2NDCE,

VZEDC+ZDCE=90°,

AZADC+ZBCD=2X90°=180°,

J.AD//BC,

又

；.NB=90°,

.*.ZA=180°-90°=90°,

：.AB±DA.

【点评】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定与性质，以及垂直的定义，熟记性

质并准确识图是解题的关键.

19.已知：在△ABC中，AC=BC,NACB=90°,点。是AB的中点，点E是AB边上一

点.

(1)直线B尸垂直于直线CE于点F,交CD于点、G(如图1),求证：AE=CG；

(2)直线AH垂直于直线CE,垂足为点H,交C£＞的延长线于点M(如图2),找出图

中与BE相等的线段，并证明.

【分析】(1)首先根据点。是AB中点，ZACB=90Q,可得出/4C£>=N8CZ)=45°,

判断出△AECg^CGB,即可得出AE=CG,

(2)根据垂直的定义得出NCM4+NMCH=90°,ZBEC+ZMCH=90c，,再根据AC

=BC,ZACM=ZCBE=45°,得出△BCE丝ZkCAM,进而证明出BE=CM.

【解答】(1)证明：：点。是AB中点，AC=BC,

N4C8=90°,

J.CDLAB,NACO=NBC£)=45°,

：.ZCAD=ZCBD=45°,

：.ZCAE^ZBCG,

XVBF1CE,

：.ZCBG+ZBCF=90°,

XVZACE+ZBCF=90°,

NACE=ZCBG,

在△AEC和ACGB中,

'/CAE=/BCG

<AC=BC

,ZACE=ZCBG

:.4AEC必CGBCASA),

：.AE=CG,

(2)解：BE=CM.

证明：'JCHLHM,CDLED,

：.ZCMA+ZMCH=90°,NBEC+NMCH=90°,

：.ZCMA=ZBEC,

又：NACM=NCBE=45°,

fZBEC=ZCMA

在ABCE和△CAM中，，ZACM=ZCBE«

,BC=AC

：./\BCE^ACAM(44S),

：.BE=CM.

【点评】本题主要考查了全等三角形的判定方法以及全等三角形对应边相等的性质，难

度适中.

20.如图，点O是等边△ABC内一点，/AOB=UO°,NBOC=a.将△BOC绕点C按顺

时针方向旋转60°得△4OC,连接OD

(1)求证：△CO。是等边三角形；

(2)当a=150°时，试判断△A。。的形状，并说明理由；

(3)探究：当a为多少度时，△AOO是等腰三角形？

A

D

B匕--------------------

【分析】（1）根据旋转的性质可得出oc=。。，结合题意即可证得结论；

（2）结合（1）的结论可作出判断；

（3）找到变化中的不变量，然后利用旋转及全等的性质即可做出解答.

【解答】（1）证明：•••将△80C绕点C按顺时针方向旋转60°得AADC,

：.CO=CD,ZOCD=60°,

.♦.△COZ）是等边三角形.

(2)解：当a=150°时，△A。。是直角三角形.

理由是：•.•将△80C绕点C按顺时针方向旋转60°得△AQC,

.,.△BOC^AADC,

.•.NAZ)C=N2OC=150°,

又•••△COD是等边三角形，

：.ZODC=60°,

ZADO=ZADC-NOZ)C=90°,

；/a=150°/AOB=UO°,/COZ)=60°,

...NAOO=360°-/a-/AO8-NCO£)=360°-150°-110°-60°=40°,

.♦.△AOO不是等腰直角三角形，即△A。。是直角三角形.

(3)解：①要使AO=A£>,需/AO£)=NA。。，

VZAOD=360°-110°-60°-a=190°-a,ZAD(?=a-60°,

.•.190°-a=a-60°,

/.a=125°；

②要使OA=OD,需NO4O=NA。。.

•.•/OA£>=180°-(ZAOD+/AOO)=180°-(190°-a+a-60°)=50°,

；.a-60°=50°,

.,.a=110°；

③要使。。=4。，需NOA£>=/A。。.

VZAOD=36QQ-1100-60°-a=190°-a,

NOAD=]40。_（口―60。）=]20。,

22

A1900-a=120。,

2

解得a=140°.

综上所述：当a的度数为125°或110°或140°时，△A。。是等腰三角形.

【点评】本题以“空间与图形”中的核心知识（如等边三角形的性质、全等三角形的性

质与证明、直角三角形的判定、多边形内角和等）为载体，内容由浅入深，层层递进.试

题中几何演绎推理的难度适宜，蕴含着丰富的思想方法（如运动变化、数形结合、分类

讨论、方程思想等），能较好地考查学生的推理、探究及解决问题的能力.

21.如图，在等边△ABC中，AM为8C边上的中线，动点。在直线AM上时，以CO为边

在CD的下方作等边△€1£>£,联结8E.

（1）/C4M=30度;

（2）当点。在线段4M上时，求证：AADC注ABEC；

（3）当动点。在直线AM上时，设直线BE与直线AM的交点为。，试判断/4OB的度

数是否会发生变化？请说明理由.

E

备用图备用图

【分析】（1）根据等边三角形的性质可以直接得出结论.

（2）根据等边三角形的性质就可以得出AC=AC,DC=EC,NACB=/OCE=60°,

由等式的性质就可以NBCE=NACD,根据SAS就可以得出

（3）分情况讨论：当点。在线段AM上时，如图1,由（2）可知△ACQgZkBCE,就

可以求出结论；当点。在线段AM的延长线上时，如图2,可以得出△ACD四△B"而

有NC8E=NC4O=30°而得出结论；当点。在线段M4的延长线上时，如图3,通过

得出△ACO乌ABCE同样可以得出结论.

【解答】解：（1）如图1中，•••△ABC是等边三角形，

：.ZBAC=60°.

:线段AM为8c边上的中线

ZCAM^^-ZBAC,

2

.../C4M=30°.

故答案为：30；

(2):△ABC与△QEC都是等边三角形

：.AC=BC,CD=CE,ZACB^ZDCE=60Q

：.ZACD+ZDCB^ZDCB+ZBCE

：.ZACD=/BCE.

在△AOC和△BEC中

'AC=BC

■ZACD=ZBCE

,CD=CE

AAACD^ABCE(SAS).

(3)/AO8是定值，ZAOB=60°,

理由如下：

①当点。在线段4M上时，如图1,由(2)可知△ACQ丝△BCE,则/CBE=/C4Z)=

30°,

又NA8C=60°

：.ZCBE+ZABC=60°+30°=90°,

「△ABC是等边三角形，线段AM为BC边上的中线

平分NBAC,即NBAM=L/8AC=LX60°=30°

22

:.NBOA=90°-30°=60°.

②当点。在线段AM的延长线上时，如图2中，

缸ABC与△OEC都是等边三角形

；.4C=BC,CD=CE,NAC8=/DCE=60°

ZACB+ZDCB=ZDCB+ZDCE

：.ZACD^ZBCE

在△ACQ和△BCE中，

'AC=BC

'NACD=/BCE，

,CD=CE

AAACD^AfiCE(SAS)

：.ZCBE=ZCAD=30°,

同理可得：NZMM=30°,

AZBOA=90°-30°=60°.

③当点D在线段MA的延长线上时，

,/XABC与△£>EC都是等边三角形

：.AC=BC,CD=CE,/ACB=/OCE=60°

ZACD+ZACE=ZBCE+ZACE=60a

：.ZACD=ABCE

在△ACQ和△BCE中，

'AC=BC

-ZACD=ZBCE)

,CD=CE

AAACD^ABCE(SAS)

：.ZCBE=ZCAD

同理可得：NCAM=30°

ZCBE=ZC4D=150°

...NCBO=30°,NB4M=30°,

AZBOA=90°-30°=60°.

综上，当动点。在直线AM上时，/AOB是定值，/4OB=60°.

图3

图1

【点评】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质的运用，直角三角形的性质

的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等

是关键.

22.己知机=—n——求的值.

2+遍2^5

【分析】先将机2-变形为2+mn,然后将〃?和〃的值代入求解即可.

【解答】解：•.“

2+V5

n=—-2-辰,

2y

•\m-mn+n

=(m-n)2+mn

=(-2+V5+2+V5)2+(-2+V5)(-2-V5)

=20-1

=19.

【点评】本题考查了二次根式的化简求值，解答本题的关键在于先将由2〃+〃2变形为

(m-n)2+mn,然后将相和"的值代入求解.

23.小惠到眼镜店调查了近视眼镜的度数和镜片焦距的关系如表：

镜片焦距x(cw)502512.5108…

眼镜度数y(度)20040080010001250…

(1)根据上表体现出来的规律，请写出眼镜度数y(度)与镜片焦距x(cm)之间的函

数关系式；

(2)若小惠所戴眼镜度数为500度，求该镜片的焦距.

【分析】(1)观察表格中的数据可知肛=10000,由此即可解决问题.

(2)把)，=200代入，函数关系式中求出x的值即可.

【解答】解：(1)由题意可知：孙=10000,

.•*10000(x>0).

X

(2)当y=500时,x=20.

答：若小惠所戴眼镜度数为500度，则该镜片的焦距为20°〃?.

【点评】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决

问题.

24.如图，直线y=or(a>0)与双曲线y=k(&>0)交于A、B两点,且点A的坐标为(4,

x

2),点8的坐标为(小-2).

(I)求a,〃的值；

(2)若双曲线y=y=k(k>0)的上点C的纵坐标为8,求△AOC的面积.

x

【分析】(1)根据待定系数法即可求得a的值，根据一次函数图象上点的坐标特征即可

求得〃；

(2)由条件(1)知I,k=8,点C的纵坐标为8,求出C的坐标为(1,8),然后根据S

MOC=S^COD+S^.mACDE-SMOE=S棒形ACDE即可求得.

【解答】解：(1)•.•直线y=ar(a>0)与双曲线)，=K(k>0)交于A、8两点，

X

.平a=2,

lan=-2

解得a=—,n=-4；

2

(2)•.•双曲线y=k(%>0)经过A点，

x

.•#=4X2=8,

•双曲线y=y=K(k>0)的上点C的纵坐标为8,

x