线性代数练习册期末复习题及答案

练习1.1

（1.1矩阵及其运算）

一、填空

1.则

()1A—28+3C=

‘3-6-42、

2.若矩阵X满足1594,则丫=

[433%

,3、

3.(1,2,3)2=

问：1.AB=BA吗？2.

(A+B>=A2+2A8+B?吗？3.(A+8)(4—3)=42—^2吗?

三、计算下列乘积:

T1、

(2140102

1.34)1

(1-11

、4一24

‘1-23、

四、设/(》)=3》2-2x+5,4=2-41，求/⑷.

、3-52,

‘410、

五、设4=021求A*.

、00%

练习1.2

（1.2行列式及其计算）

一、填空

201111

1.1-4-1abc

-183a2b2c2

2.四阶行列式中含有因子q得23的项为

11101-11x-1

11011-1X+1-1

10111X-11-1

0111X+1-11-1

a2(a+1—(a+2/(a+3)2

b2(〃+1)23+2产S+3)2

二、证明：=0

c2(c+1)2(c+2)2(c+3)2

d2(J+l)23+2)23+3产

三、计算下列各行列式（。人为女阶行列式）：

a1

1.Dn=,其中对角线上元素都是a,未写出的元素都是0；

1a

200800…0

002008…0

2.Dn=

000…2008

020080…0

123…n-\n

133…n-1n

125•••n-1n

3.

Dn=

123・・・2H-3n

123…n-12n-l

2nn0…00

n2nn…00

()n2〃…00

4.D.=

000・••2nn

000…n2n

1+a1.・・1

11+a1

2,其中0.

5.Dn=ala2---all

11•••l+«„

练习1.3

（1.3方阵的逆）

一、填空题

1.设A为4阶矩阵，且|A|=L则|(3A)T-2A*|=

2

'0012、

0001

2.设A=则解=(A*)r=.

3300

、2100,

01)(10、

3.已知矩阵X满足21-1X=02则X=.

J-121-2

二、计算题

'02-1、。11、

1.设4=112求A，2.设AT121,求(4*尸.

、一1-1-LJ13,

"1000'

0100

三、设A的伴随矩阵A*=,且A3A-I+3E,其中E为4阶

1010

、0-308,

单位矩阵，求矩阵8.

四、证明题

1.设方阵X满足X2—X—2E=0,证明X,X+2E都可逆，并求XT,（X+2E）T.

2.若A,5为同阶可逆矩阵，则（AB）*=3*A*.

练习1.4

(1.4Gramer法则)

一、填空

A%1+&+入3=0

1.,齐次线性方程组(%+〃&+£=0有非零解？

X|+2〃工2+工3=0

(4=1或〃=())

(1—丸)X]_2X7+4七—0

2.齐次线性方程组<2Xj+(3—丸)4+刍=0有非零解，则；1=

X1+%2+(1—4)“3=0

(2=0,2或4=3)

二、利用克拉默法则解下列线性方程组:

2$+々+工3+工4=2

X[+2X+X3+X4=-1

1.2

X1+%+3X3+x4=7

X]++当+4%-2

5x,+6X2=1

Xj+5X2+6X3=0

2.4x2+5X3+6%=0

x3+5X4+6X5=0

x4+5X5=1

5600016000

1560005600

解

,/D=01560=665,D1=01560=1507

0015600156

0001510015

5100056100

1060015000

=—1145=703

D2=00560­。3=01060

0015600056

0101500115

5601056001

1560015600

2=01500=—395,D5=01560=212,

0010600150

0001500011

15071145703395212

X,=--------=——,X.=-------,x.=-----

16656656651665'665

第二章矩阵的初等变换与线性方程组

2.1-2.3初等变换与初等矩阵、逆矩阵

一、用初等变换将下列矩阵化为标准形：

f17-13、

'1-1210、

32-4]-1402

2-2420

1.32—4；2.17-13;3.

2—1306-11

13-1-1-1

、3063

C13

解：利用矩阵的等价的阶梯形矩阵与行最简阶梯形矩阵及标准型的非零行行数不变的性

质，用初等变换将矩阵化为标准形时，只需化到阶梯形矩阵，求得非零行行数即可写出其标

准型。

’322-1、00、

1.32-1-1，非零行行数为2,所以其标准型为010

J200,、000,

7

-14

2.17

3-1

1

(1000、

0100

其对应的阶梯形矩阵的非零行行数为3,所以其标准型为000

0000

^0000；

3.类似于以上做法，易得对应的阶梯形矩阵的非零行行数为3

’10000、

01000

所以其标准型为：

00100

、00000,

二、填空题

1.设A为4阶矩阵，且|A|=J,则|(3A)T-2A*1=________

2

解：•.•AA*=|A|E,jaA可逆，/.A*=|A|A-1=-A-1

2

得|(3A尸-2A*=1：A-1-A-】HJA-1|=(-今|1|=普.2=||

333olol

(0012、

0001,,

2.设A=，则AT=,(A*『=

3300

(2100J

’001

000

解：令4=

330a

、210

/1

001

3

Bi、2

A-l00-1

0,3

10

00)

12、

00

33

1

-1000

,.1AA*=|A|E,且A可逆,/.(A*)=-A=--A=3

|A|3

-1-100

21

00

3~3

'100、

3.设方阵A,3满足：A*BA=2BA-SE,其中A=0-20E为单位矩阵，A*

、00b

为A伴随矩阵，则8=

解：因为A*BA=2BA—8E,

所以

(A*-2E)BA=-SE

=>B=-8(A*-2E)-1A2-1

=-8[A(A*-2E)r'

=-8[AA*-2A]-1

=-8[\A\E-2Ar'

=-8[-2E-2A]-1

三、计算题

’02-1、

1.设A=112求Al

、一1-1

135、

~2~2~2

1_1_1

222

011

qiP

2.设A"121,求(A*)T.

JI3,

1111

解：\A-'|=121010=2,可知,

113002

11

/.(A*)-1=—A=2A=2121（利用伴随矩阵法，可得逆矩阵如下）

|A|

J1%

’101]<10、

3.已知矩阵X满足21-1X=02，求X.

、一1-12jU—2,

a+e=1

b+f=O

0

2a+c-e=0

.•.令21

2b+d-f=2

-1

-a-c+2e=l

即：

1-e-f

X=-2+3e2+3/,(e,feR)

e,f

000、

0100

四、设A的伴随矩阵A*=]且ABA；'=BAT'+3E,其中E为4阶单位

010

、0-308,

矩阵，求矩阵6.

1000

010

解：|A*=0=8,=>|A|=^m=2

101

0-308

又(A-E/A-I=3E

0|A-E||8||AT|=3=|A-E/O,|5/0,|A-10,

知，A-E可逆

所以，=3(A-E)-'A=3[A-1(A-E)]-1=3[E-A-1f1

Ci

0

2

’10o0、1

000

1^101o0

----4*——2

|A|210i0_1

00

、0-308；2

3

004

2

1

000

2

1.

2

0

3

0-3

2

T

1oY'o

5=6=6

-12TXjX/xj

、3

00、

1

0600

=611

-6060

1-Io30

、26j、

五、证明题

1.设方阵X满足X2—X—2E=0,证明X,X+2E都可逆，并求X-1,(X+2E)T.

解：由42_人_2£=0,得A(A-£>2瓦故A可逆，且“「'(A-fi)。

2

又由A2-A-2E^0得A+2E=A2,而A可逆。故A+2E可逆，且(4+2£)7=(42尸=(«|)2=—

4

(4-E)2。

2.若为同阶可逆矩阵，贝i"A5)*=8*A*.

证明：因为A5(4B)*=|A5|E

即AB(4B)*=|A||B|E,

左乘(4B)T,得(A5)*=\A\\B\(AB)-i=\A\\B\B-lAl,

又因为=」-5*,4一|=」一A*,

|5||A|

所以，(AB)*=\A\\B\B-'A-1=|A||B|——A*=B*A*«

2.4矩阵的秩

一、证明同型矩阵A与B等价的充分必要条件是它们的秩相等.

证明：设A、B的标准型为分别入，程

A~3="=产“=R(A)=R(B)

二、求下列矩阵的逆矩阵

‘3-105、'101-1、

'217

20502010

53-1；2.;3.

31543120

-4-32

\7、3052；、一3104,

解：用初等行变换法求逆矩阵

'217mo0、'217；100、

1.53-l；010->101；011

「42；00•J、--32；00

、4

/101；01101；011、

->2i7；100015：1-2-2

-4-32；001)W-36；04

101；01101：011

015-2-2->015：1-2-2

0021；3-2-1701；3/21-2/21-1/21?

232,2、

1002_

~21

212A'-32322)

632371

->010A-*=——6-32-37

21212121

3-2-1

321

001

212121>

r016--7-55、

1-521-1

三、求A的秩火(A):A=

-1-1154-4

、26--3-37>

'1-521-1、'1-521-P

2令016-7--55rl+r3016-7-55

解：A--->——>

-1-1154-4-2日0-1675-5

126-3--37)、016-7-59,

1-521-r

r\2+r3016-7-55

——>，故(4)=3。

-2e+为00000

00004>

1-12、

四、设A=213当攵取何值时,R(A)=3；当左取何值时，R(A)<3.

4k1,

'1-12、-*+4m+小1-12

-24+乃

解：A------>03-1-------->03故，QM7时,R(A)=3,k=17

F+口A:-17

0k+4-7;00

、3)

时,R(4)=2<3。

2.5线性方程组有解的判定定理

一、判断下列线性方程组是否有解,并在有解时求解

2/一与+3X3=3

2Xj+工2一犬3+冗4=1

X1+2%—8%3=—3

•2.

%1+2X2+£-=2；

4^|-x2+x3=3

X]+尤2+2X3+x4=3

%]+3X2-13X3=-6

X1-2X2+3X3一4X4=4

x-x-bx=-3

3.234

芭+3X2-3X4=1

—7元2+3刍+X4=-1

解:

第二章自测题

一、选择题

a\2a\3a\3a\2+a\3a\\’001、

aa+〃23a

设4=。2122。23,B=〃23222\，6=010

al〃33

<«31。3233)。32+033^31>J00)

'100'

舄=010,则必有(D).

、011,

(A)B=P,P2A(B)B=P2PtA

(C)B=AP,P2(D)B=AP2Pt

“22+2%3

a2\。23’010、

B=。31。32+33。33，6=001

Mi《2+屹3J00)

'100、

舄=010,则(A).

、0k1,

(A)A=P；'BP；'(B)A=P；'BP；'

(C)A=Pi-'P；'B(D)A=BP；'P；'

3.当P=[]时,

/\

%]%2。13%4-3〃3142-3。32〃133。33〃|4-3。34

P*a2\a22a23a24

a2]a22。23。24

a32a33〃34)〃32〃33%4>

'100、<10-3、

(A)P=010(B)P=010

、-301;N01>

<00-3、q00、

(C)P=010(D)P=010

<101，、0-3

解：选B

4.设均为〃阶非零矩阵，且A8=0,则它们的秩满足（).

(A)必有一个等于零(B)都小于〃

(C)一个小于"，一个等于〃(D)都等于n

解：选B

二、填空题

21(20

仅011axa2%、(010)

1.B—010b]b>I2100—

booj[001J

<C1C2C3)

a0

\2。13《J°〕

2.设4=〃21〃22,则8=a10A=_

。23。241J

0

。32。33

3.设4则与A乘积可交换的矩阵B=.

1-111、

4.设4=3―21—3/,且R(A)=2,贝卜=

t—35一2,

%hhb、

babb

三、求4=的秩.

hbab

3bba)

■ir

四、设A为三阶方阵，其逆矩阵为A-'121,求A-I的伴随矩阵(A-，*.

J13,

X]+=0

+2x.+2x=1

五、问a,〃为何值时，方程组＜I：、=d，有唯一解，求出唯一解；无

-x2+(a-3)X3-2X4=b

3%j+2X2一£+cix4=-1

解；有无穷多解.

U0r

六、设矩阵A=020,矩阵X满足AX+E=A2+X,试求矩阵X.

U0V

‘2or

解：由AX+E=4?+x,得(A-E)X=42_E,而A-E可逆，故X=A+E=030

J02,

第三章3.132"维向量空间

一、选择题：

1.设%=(1,-2,1)',。2=,则如=(D)时，有%,%，%为斤的基

(A)(2,1,2)，(B)(1,0,1)7(C)(0,1,0)，(D)(0,0,1)T

解：

2.已知N中的向量元=(6,9,141,不=(1,1,1)T,&=(1,1,2)7,&=(1,2,3)、则工在

不,瓦,?3下的坐标是(A).

(A)(1,2,3)'(B)(2,1,3尸(C)(3,1,2/(D)(1,3,2了

解：

n4-1

3.下列集合构成的向量空间中，维数是［〜］的是(B).

2

(A)偶数号码的坐标相等的所有〃维向量

(B)偶数号码的坐标等于0的所有〃维向量

(C)偶数号码和奇数号码的坐标分别相等的所有〃维向量

(D)形如(。,一一。…)的所有"维向量，其中a为任意数

解：

\H(QA/a,可，口，的，&…/咏中

「八

:«,于念£广—dAy冬晒干”o

，

回生£龙，东峋浙电十|：牛隧，3

NY'S与4与Lqq彳a*T你华惘。t0)6)

侬,“"心》鹤脑由十Q小拓7/0l)T

戒断y［明世冬玉井小前尸4聿/竺7

_=7-I

也)体内乡居于0,如，gf,

*小”网T

、C)h=rn.>•>一

u3灯、OU

⑼峭,rI7心M〃N)£LJi

Ty心广"「的

国心他叫诈以豹

二、验证%=(1,-1,0)7,%=(21,3尸,。3=(3,1,2)'为代的一个基，并把

A=(5,0,7)7,/72=(-9,-8,-13尸用这个基线性表示.

解：作矩阵A=[a1a2a3p\0i\

1235235-9

=-1110345-17

0327327-13

1235-9

0345-17

00-224

11235-9

0345-17

1208

/_3/3

弓一4小0309

001-1

1208

0103

001-1

0023

2r2》003-3

001-1-2

故ai，a2,a3为R'的一组基，且夕产2ai+3a2-a3

〃2=3ai-3a2-2a3

三、设向量空间V由%=（1,0,-1,1）7,。2=（1，-1，0，1）7'，4=（T，L1，O）’生成，试求V

的一组标准正交基.

解：先正交化:

设尸i=ai=(l,0,-1,1)7'

（。2，01）A=(i,-i,o,i)^|(i,o,-i,if

2-

（四血）

121r

5T亏寸

（如，4）（。3，£2）

/?3=«3-

(P®（62，尸2）

-2

=(-1,1,l,0)^y(1,0,-1,I)7

2

121

■lf(3，~1，3,3)T

5

,2,6121

=(-1,1,l,0)r+y(l,0,-l,D3寸

39912

再对以上向量标准化，得标准正交基为

2爵，=3EH

四、试用向量内积的柯西一许瓦尔兹不等式证明：对于任意实数%,%「••，%，成立

区飞〃（a；+婚+.一+片）•

;=1

证:设a=（|ai|,|。小…,Ia„|）r£=（1,1,…）7

由柯面一许瓦尔兹不等式知

|（a,创引础』向

即Z1%区JlqF-i-H&J•V12H—Fl2

i=l

区6（a：+a；H—Fa：）

（=1

五、设向量组B：…，氏能由向量组A：ax,a2,--,as

线性表示为

（四,为…，以）=（即%，…,%）K

其中K为sxr矩阵，且A组线性无关.证明：B组线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩

R（K）=r.

证明：（必要性）设13组线性无关.

记B=（0..•.，br）,A=（a］，…则有

13=AK.(4.11)

山秩的性质知

R(B)=R(AK)&R(K).(4.12)

而山7?组线性无关知Z?(B)=r,故R(K)>r.

又K为rxs阶矩阵.则R(K)(min{r.s}<r.

综上知A(K)=r.

(充分性)若R(K)=r.令

X\bj+n2b2+•••+=0.(4.13)

下证方程(4.13)只有零解.为方便记方程(4.13)为

Bx=O.(4.14)

代入(4.11)式则有

AKx=0.(4.15)

山向量组A:ai,..,5线性无关，有/?(A)=r.所以方程(4.15)只有零解：

Kx=0.(4.16)

又R(K)=r,所以方程(4.1G)只有零解:

6=0.

所以.…，外线性无关.

r

回—B：翁&…A蠹向曲A：a'a:.

如徐为

9，Z^itA）=（4'a：L'Q'）"（十R4）辰'

%K",如同”忘;装嬴B也性无关的充分级条件m阵K的哄RS”

曲K）,1叱（心）

仁K4.温中R0"'邓—k&RC4R,忤

*噜恰4，晨r；京广刖叱―（臼

岫年敢34型妫沙心迎侪处决时.

通fir^rO广并"=0言年收.Y二收/k-

5k欠*0（值小片㈠,=?0X）（.\plK）-K）-"^"不

3.3线性方程组的解

一、求解下列齐次线性方程组:

X1+尤2+2七一二0

1.〈2七+工2+一=0

2匹+2X2+当+2%4=0

%1++X3+冗4+工5=0

2x2Ki(-2/1,0/0八)4也(3。/4/

2.<

2%)+4X2+3xy+%+冬=。

-X]-2^2+与+3工4—3%=0

2X3+5X4-2X5=0

2x+3X-X3+5X=0

l24RS乂AXX屈协4

3.<3Xj+x2+2X3-7X4=0

4为+尤2-3尤3+6X4=0

%,-2X24-4X3-7X4=0

二、求解下列非齐次线性方程组:

4尤1+2X-x=2

23Q=z；R(6)=3渊

1.<3x]-lx2+2X3=10

1lx,+3X2=8

2x+3y+z=4

k(~2/I川7/2'“

x-2y+4z=-5

2.<

3x+8y-2z=13

4x-y+9z=-6

2x-i-y-z-w=l

X[+々+当=0

三、4取何值时，线性方程组《3玉+2々+疝3=。有非零解，并求解•

5x,+3X2+3X3=0

ba力0-usf0I被

~2d,0。杈J

歙》0制村4

四二26,(八⑹

。。：(外产。

11〃=-与

°°IX尸居.为

至Mg(0,-1/)，，

冗［+%2+%3=1

四、设+(2+2)々-39二3,问几为何值时，此方程组有唯一解、无解或有无穷

—3A^2+(A+2)当=—3

多解？并在有无穷多解时求解.

-

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