复系数与实系数多项式的因式分解

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§4最大公因式§5因式分解§6重因式§10多元多项式§11对称多项式§3整除的概念§2一元多项式§1数域§7多项式函数§9有理系数多项式§8复、实系数多项式的因式分解第一章多项式1一、复系数多项式二、实系数多项式§1.8复系数与实系数21.

代数基本定理一、复系数多项式若则在复数域上必有一根．

推论1若则存在使即，在复数域上必有一个一次因式．3推论2复数域上的不可约多项式只有一次多项式，即

则可约．2.复系数多项式因式分解定理若则在复数域上可唯一分解成一次因式的乘积．

4推论1推论2若则在其中是不同的复数，

上具有标准分解式复根（重根按重数计算）．

若

，则有n个5二、实系数多项式命题：若是实系数多项式的复根，则的共轭复数也是的复根．

若为根，则两边取共轭有

∴也是为复根．

证：设6实系数多项式因式分解定理，若，

则可唯一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积．

证：对的次数作数学归纳．①

时，结论显然成立.

②假设对次数<n的多项式结论成立．设，由代数基本定理,有一复根．

若为实数,

则，其中

7若不为实数，则也是的复根，于是

设，则

即在R上是

一个二次不可约多项式．从而

由归纳假设、可分解成一次因式与二次不可约多项式的乘积．由归纳原理，定理得证．

8在R上具有标准分解式推论1其中且，即为R上的不可约多项式.

9推论2实数域上不可约多项式只有一次多项式和某些二例1求在上与在上的标准分解式.

1)在复数范围内有n个复根，次不可约多项式，所有次数≥3的多项式皆

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